数学一轮复习第四章几何初步第4节等腰三角形试题.docx

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数学一轮复习第四章几何初步第4节等腰三角形试题

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数学一轮复习第四章几何初步第4节等腰三角形试题

______年______月______日

____________________部门

课标呈现指引方向

1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

探索并掌握等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

2．探索等边三角形的性质定理：

等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：

三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。

3．探索并证明角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

4．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

考点梳理夯实基础

1．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两底角，简称为“等边对”

【答案】相等　　等角

（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线；

【答案】三线合一

（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是．

【答案】底边的垂直平分线

2．等腰三角形的判定

（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对”．

【答案】两角等边

3．等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都，且都等于．

【答案】相等60°

（2）等边三角形的每条边上都有；

【答案】三线合一

（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条．

【答案】3

4．等边三角形的判定

（1）相等的三角形是等边三角形；

【答案】三边

（2）有两个角是的三角形是等边三角形；

【答案】60°

（3）有一个角为的等腰三角形是等边三角形．

【答案】60°

5．角平分线的性质和判定

（1）性质：

角平分线上的点到角两边的．

【答案】距离相等

（2）判定：

到角两边距离相等的点在这个角的．

【答案】角平分线上

6．线段的垂直平分线的性质和判定定理

（1）性质：

线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离．

【答案】相等

（2）判定：

到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．

考点精析专项突破

考点一等腰三角形的性质和判定

【例1】

（1）（20xx泰安）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（）

A．44°B．66°C．88°D．92°

【答案】D

解题点拨：

通过题中所给的条件AM＝BK，BN＝AK，以及由PA＝PB，可证∠A＝∠B所以△AKM≌△BNK，得到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出∠A与∠MKN相等，最后由三角形的内角和求出∠P的度数．

（2）（20xx巴中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，则线段DH的长为．

【答案】1

解题点拨：

由全等三角形的知识可证得△AFC是等腰三角形，所以H为FC中点，再由已知条件可得DH为△CBF的中位线，利用中位线的性质即可求出线段DH的长．

考点二等边三角形的性质与判定

【例2】如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．

（1）证明：

AG＝AD;

（2）证明：

GF＝FC＋AG．

解题点拨：

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

解：

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵DG⊥AC，

∴∠AGD＝90°，

∵∠ADG＝30°，

∴AG＝AD；

（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，

∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，

∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，

∴△ADH是等边三角形，

∴DH＝AD，

∵AD＝CE

∴DH＝CE

在△DHF和△ECF中，

，

∴△DHF≌△ECF（AAS），

∴HF＝FC，

又∵AG＝GH

∴GF＝GH＋HF＝AG＋FC．

课堂训练当堂检测

1．（20xx安顺）已知实数x、y满足，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对

【答案】B

2．（20xx武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】A

3．（20xx达州）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为　　　　　．

【答案】24＋9

4．（20xx菏泽）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，

①求证：

AD＝BE；

②求∠AEB的度数．

（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：

AE＝2CM＋BN．

解：

（1）①证明：

∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，CD＝CE．

∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．

②解：

由①得△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE．

在△ABE中，∠AEB＝180°―∠EAB―∠ABE＝180°―∠EAB―∠ABC－∠CBE＝180°―∠EAB―∠ABC－∠CAD＝180°―∠CAB－∠ABC＝180°－50°－50°＝80°．

（2）证明：

在等腰△DCE中，∵CD＝CE，∠DCE＝120°，CM⊥DE，∴∠DCM＝∠DCE＝60°，DM＝EM．

在Rt△CDM中，DM＝CM·tan∠DCM＝CM·tan60°＝CM，∴DE＝2CM．

由

（1）中②，得∠AEB＝180°―∠CAB－∠ABC＝180°―（180°－120°）＝120°，∴∠BEN＝60°．

在Rt△BEN中，sin∠BEN＝，∴BE＝BN÷sin60°＝BN．

由

（1）中①知AD＝BE，∴AD＝BN．

∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BN，即AE＝2CM＋BN．

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．（20xx荆门））如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）　　

　　A．5　　　B．6　　　C．8　　　　　D．10

【答案】C

2．（20xx黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC

＝（　　）

A．50°B．100°C．120°D．130°

【答案】B．

3．（20xx荆门）已知3是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）

　　A．7　　　B．10　　　　C．11　　　　　D．10或11

【答案】D

4．（20xx扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）

A．6B．3　　　C．2.5　　　D．2

【答案】C

二、填空题

5．（20xx资阳）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是　　　　　　．

【答案】

6．（20xx乐山）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝．

【答案】15°

7．（20xx南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝．

【答案】52°

三、解答题

8．（20xx贺州）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，求∠AOB的度数．

解：

如图：

AC与BD交于点H．

∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠DCB＝∠ACE，

在△DCB和△ACE中，，

∴△DCB≌△ACE，

∴∠CAE＝∠CDB，

∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，

∴∠AOH＝∠DCH＝60°，

∴∠AOB＝180°﹣∠AOH＝120°．

9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：

BE＝CF．

解：

（1）连接DB、DC，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴DB＝DC．

∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°

在Rt△DBE和Rt△DCF中

，

Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），

∴BE＝CF．

B组提高练习

10．（20xx内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）

A．B．C．D．不能确定

【答案】B．．

【提示】解：

如图，过点A作AG⊥BC于G，连接PA，PB，PC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，BC＝AC＝AB．

∴AG＝AB·sin60°＝3×＝

∵S△ABC＝BC·PD＋AC·PE＋AB·PF＝BC·AG

∴PD＋PE＋PF＝AG＝，

11．（20xx江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　　　　　　．

【答案】5或4或5．

解：

如图所示：

①当AP＝AE＝5时，

∵∠BAD＝90°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴底边PE＝AE＝5；

②当PE＝AE＝5时，

∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，

∴PB＝，

∴底边AP＝；

③当PA＝PE时，底边AE＝5；

综上所述：

等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；

12．（20xx沈阳）在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，BE．

（1）如图，当时，延长BE交AD于点F．

①求证：

△ABD是等边三角形；

②求证：

BF⊥AD，AF＝DF；

③请直接写出BE的长；

（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．

温馨提示：

考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

解：

（1）①证明：

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE

∴AB＝AD，∠BAD＝60°

∴△ABD是等边三角形．

②证明：

由①得△ABD是等边三角形

∴AB＝BD

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE

∴AC＝AE，BC＝DE

又∵AC＝BC

∴EA＝ED

∴点B，E在AD的中垂线上

∴BE是AD的中垂线

∵点F在BE的延长线上

∴BF⊥AD，AF＝DF．

③

由②知BF⊥AD，AF＝DF．

∴AF＝DF＝3，

∵AE＝AC＝5，

∴EF＝4，

∵在等边三角形ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6×＝3，

∴BE＝BF－EF＝3－4;

（2）13

如图所示，

∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，

∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°，

又∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，

∴∠BAE＝∠ABC，

∵AC＝BC＝AE，

∴∠BAC＝∠ABC，

∴∠BAE＝∠BAC，

∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，

∵AC＝BC，

∴AH＝BH＝AB＝3，

则DE＝2CH＝8，BE＝5，