届高三数学一轮复习单元检测试题1集合与常用逻辑用语人教A.docx

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届高三数学一轮复习单元检测试题1集合与常用逻辑用语人教A

2012届高三数学一轮复习单元检测试题

（1）：

集合与常用逻辑用语（人教A）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

）

1．（文）（2011·巢湖市质检）设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是（　　）

A．A⊆B　　　　　　　B．A∩B＝{2}

C．A∪B＝{1,2,3,4,5}D．A∩（∁UB）＝{1}

[答案]　D

（理）（2011·安徽百校联考）已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是（　　）

A．M＝NB．MN

C．NMD．M∩N＝∅

[答案]　C

[解析]　∵a、b∈M且a≠b，∴a＝－1时，b＝0或1，x＝0或－1；a＝0时，无论b取何值，都有x＝0；a＝1时，b＝－1或0，x＝－1或0.综上知N＝{0，－1}，∴NM.

2．（2011·合肥质检）“a＝1”是“函数f（x）＝lg（ax＋1）在（0，＋∞）上单调递增”的（　　）

A．充分必要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　a＝1时，f（x）＝lg（x＋1）在（0，＋∞）上单调递增；若f（x）＝lg（ax＋1）在（0，＋∞）上单调递增，∵y＝lgx是增函数，∴y＝ax＋1在（0，＋∞）上单调递增，

∴

，∴a>0，故选C.

3．（2011·福州期末）已知p：

|x|<2；q：

x2－x－2<0，则綈p是綈q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　∵p：

－2

x≤－2或x≥2；

q：

－1

x≤－1或x≥2，

∴綈p是綈q的充分不必要条件．

4．（2011·福州期末）在△ABC中，“

·

＝

·

”是“|

|＝|

|”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，则|

|＝|

|·cos∠CAB，|

|＝|

|·cos∠CBA，

·

＝

·

⇔|

|·|

|·cos∠CAB＝|

|·|

|·cos∠CBA⇔|

|·cos∠CAB＝|

|·cos∠CBA⇔|

|＝|

|⇔|

|＝|

|，故选C.

5．（文）（2011·山东日照调研）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：

若α∥β，l⊂α，m⊂β则l∥m；命题q：

l∥α，m⊥l，m⊂β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是（　　）

A．p或qB．p且q

C．綈p或qD．p且綈q

[答案]　C

[解析]　p为假命题，q为假命题，故p或q，p且q，p且綈q均为假命题，选C.

（理）（2011·辽宁省丹东四校联考）已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：

若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：

若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是（　　）

A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假

C．命题“p或q”为假D．命题“綈p且綈q”为假

[答案]　C

[解析]　如图

（1），正方体中，相邻三个面满足β⊥α，β⊥γ，但α⊥γ，故p为假命题；如图

（2），α∩β＝l，直线AB，CD是α内与l平行且与l距离相等的两条直线，则直线AB，CD上任意一点到平面β的距离都相等，三点A、B、C不共线，且到平面β的距离相等，故命题q为假命题，

∴“p或q”为假命题．

6．（2011·宁夏银川一中检测）下列结论错误的是（　　）

A．命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题

B．命题p：

∀x∈[0,1]，ex≥1，命题q：

∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∨q为真

C．“若am2

D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题

[答案]　C

[解析]　根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题p是真命题，命题q是假命题，故p∨q为真命题，选项B中的结论正确；当m＝0时，a

7．（文）（2011·福州期末）已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于（　　）

A．（0,1），（1,2）B．{（0,1），（1,2）}

C．{y|y＝1或y＝2}D．{y|y≥1}

[答案]　D

[解析]　由集合M、N的代表元素知M、N都是数集，排除A、B；又M＝{y|y≥1}，N＝R，∴选D.

（理）（2011·陕西宝鸡质检）已知集合A＝{x|y＝

，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B为（　　）

A．∅B．{1}

C．[0，＋∞）D．{（0,1）}

[答案]　B

[解析]　由1－x2≥0得，－1≤x≤1，∵x∈Z，∴A＝{－1，0,1}，当x∈A时，y＝x2＋1∈{2,1}，即B＝{1,2}，∴A∩B＝{1}．

8．（2011·天津河西区质检）命题p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≤1，则（　　）

A．p是假命题，綈p：

∃x0∈[0，＋∞），（log32）x0>1

B．p是假命题，綈p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≥1

C．p是真命题，綈p：

∃x0∈[0，＋∞），（log32）x0>1

D．p是真命题，綈p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≥1

[答案]　C

[解析]　∵0”，故选C.

9．（2010·广东湛江模拟）“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题是（　　）

A．若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0.

B．若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0.

C．若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0.

D．若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0.

[答案]　D

10．（2011·四川资阳市模拟）“cosθ<0且tanθ>0”是“θ为第三角限角”的（　　）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　∵cosθ<0，∴θ为第二或三象限角或终边落在x轴负半轴上，∵tanθ>0，∴θ为第一或三象限角，∴θ为第三象限角，故选A.

11．（文）（2011·湖南长沙一中月考）设命题p：

∀x∈R，|x|≥x；q：

∃x∈R，

＝0.则下列判断正确的是（　　）

A．p假q真B．p真q假

C．p真q真D．p假q假

[答案]　B

[解析]　∵|x|≥x对任意x∈R都成立，∴p真，∵

＝0无解，∴不存在x∈R，使

＝0，∴q假，故选B.

（理）（2011·福建厦门市期末）下列命题中，假命题是（　　）

A．∀x∈R,2x－1>0B．∃x∈R，sinx＝

C．∀x∈R，x2－x＋1>0D．∃x∈N，lgx＝2

[答案]　B

[解析]　对任意x∈R，总有|sinx|≤1，∴sinx＝

无解，故选B.

12．（2011·辽宁大连期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}与B＝{x|x＝2n，n∈N}，则正确表示集合A、B关系的韦恩（Venn）图是（　　）

[答案]　A

[解析]　n＝0时，20＝1∈A，但1∉B,2×0＝0∈B，但0∉A，又当n＝1时，2∈A且2∈B，故选A.

[点评]　自然数集N中含有元素0要特别注意，本题极易因忽视0∈N导致错选C.

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）

13．已知命题甲：

a＋b≠4，命题乙：

a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．

[答案]　既不充分也不必要

[解析]　当a＋b≠4时，可选取a＝1，b＝5，故此时a≠1且b≠3不成立（∵a＝1）．同样，a≠1且b≠3时，可选取a＝2，b＝2，此时a＋b＝4，因此，甲是乙的既不充分也不必要条件．

[点评]　也可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件．

14．方程

＋

＝1表示曲线C，给出以下命题：

①曲线C不可能为圆；

②若1

③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1

.

其中真命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．

[答案]　③④

[解析]　显然当t＝

时，曲线为x2＋y2＝

，方程表示一个圆；而当1

时，方程表示椭圆；当t<1或t>4时，方程表示双曲线，而当1

时，4－t>t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为③④.

15．（文）函数f（x）＝logax－x＋2（a>0且a≠1）有且仅有两个零点的充要条件是________．

[答案]　a>1

[解析]　若函数f（x）＝logax－x＋2（a>0，且a≠1）有两个零点，即函数y＝logax的图象与直线y＝x－2有两个交点，结合图象易知，此时a>1；当a>1时，函数f（x）＝logax－x＋2（a>0，且a≠1）有两个零点，∴函数f（x）＝logax－x＋2（a>0，且a≠1）有两个零点的充要条件是a>1.

（理）（2010·济南模拟）设p：

，q：

x2＋y2>r2（x，y∈R，r>0），若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是________．

[答案]　

[解析]　设A＝{（x，y）|

}，B＝{（x，y）|x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}，则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心，以r为半径的圆的外部，设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，则d＝

＝

，∵p是q的充分不必要条件，∴AB，则0

.

16．（2011·河南豫南九校联考）下列正确结论的序号是________．

①命题∀x∈R，x2＋x＋1>0的否定是：

∃x∈R，x2＋x＋1<0.

②命题“若ab＝0，则a＝0，或b＝0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”．

③已知线性回归方程是

＝3＋2x，则当自变量的值为2时，因变量的精确值为7.

④若a，b∈[0,1]，则不等式a2＋b2<

成立的概率是

.

[答案]　②

[解析]　∀x∈R，x2＋x＋1>0的否定应为∃x∈R，x2＋x＋1≤0，故①错；对于线性回归方程

＝3＋2x，当x＝2时，y的估计值为7，故③错；对于0≤a≤1,0≤b≤1，满足a2＋b2<

的概率为p＝

＝

，故④错，只有②正确．

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）（文）（2011·重庆南开中学期末）已知函数f（x）＝

的定义域是集合A，函数g（x）＝lg[x2－（2a＋1）x＋a2＋a]的定义域是集合B.

（1）分别求集合A、B；

（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．

[解析]　

（1）A＝{x|x≤－1或x>2}

B＝{x|xa＋1}．

（2）由A∪B＝B得A⊆B，因此

所以－1

（理）已知函数f（x）＝

的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（－x2＋2x＋m）的定义域为集合B.

（1）当m＝3时，求A∩（∁RB）；

（2）若A∩B＝{x|－1

[解析]　由

－1≥0知，0

∴－1

（1）当m＝3时，B＝{x|－1

则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}

∴A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5}．

（2）A＝{x|－1

∴有－42＋2·4＋m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2

18．（本小题满分12分）（文）已知函数f（x）是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．”

（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解析]　

（1）逆命题是：

若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0，真命题．

用反证法证明：

设a＋b<0，则a<－b，b<－a，

∵f（x）是R上的增函数，

∴f（a）

∴f（a）＋f（b）

（2）逆否命题：

若f（a）＋f（b）

则a＋b<0，为真命题．

由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．

∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，

又∵f（x）在R上是增函数，

∴f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a）．

∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），∴原命题真，故逆否命题为真．

（理）（2011·厦门双十中学月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．

（1）求证：

“如果直线l过点（3,0），那么

·

＝3”是真命题．

（2）写出

（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

[解析]　

（1）设l：

x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，

·

＝x1x2＋y1y2＝（ty1＋3）（ty2＋3）＋y1y2

＝t2y1y2＋3t（y1＋y2）＋9＋y1y2

＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.

∴

·

＝3，故为真命题．

（2）

（1）中命题的逆命题是：

“若

·

＝3，则直线l过点（3,0）”它是假命题．

设l：

x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－2b＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b.

∵

·

＝x1x2＋y1y2＝（ty1＋b）（ty2＋b）＋y1y2

＝t2y1y2＋bt（y1＋y2）＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，

令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，

此时直线l过点（3,0）或（－1,0）．故逆命题为假命题．

19．（本小题满分12分）（文）（2011·华安、连城、永安、漳平龙海，泉港六校联考）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

[解析]　A＝{x|－1≤x≤3}

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）∵A∩B＝[0,3]，

∴

，

，∴m＝2.

故所求实数m的值为2.

（2）∁RB＝{x|xm＋2}

A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1.

∴m>5或m<－3.

因此实数m的取值范围是m>5或m<－3.

（理）（2011·山东潍坊模拟）已知全集U＝R，非空集合A＝{x|

<0}，B＝{x|

<0}．

（1）当a＝

时，求（∁UB）∩A；

（2）命题p：

x∈A，命题q：

x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

[解析]　

（1）当a＝

时，A＝{x|

<0}＝{x|2

}，B＝{x|

<0}＝{x|

}．

∴（∁UB）∩A＝{x|x≤

或x≥

}∩{x|2

}

＝{x|

≤x<

}．

（2）若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B，

由a2＋2>a，得B＝{x|a

当3a＋1>2，即a>

时，

A＝{x|2

，解得

；

当3a＋1＝2，即a＝

时，

A＝∅，符合题意；

当3a＋1<2，即a<

时，

A＝{x|3a＋1

，解得－

≤a<

；

综上，a∈[－

，

]．

20．（本小题满分12分）（2010·常德模拟）已知命题p：

∀x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：

∃x0∈R，使得x

＋（a－1）x0＋1<0.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

[解析]　由条件知，a≤x2对∀x∈[1,2]成立，∴a≤1；

∵∃x0∈R，使x

＋（a－1）x0＋1<0成立，

∴不等式x2＋（a－1）x＋1<0有解，∴Δ＝（a－1）2－4>0，∴a>3或a<－1；

∵p或q为真，p且q为假，

∴p与q一真一假．

①p真q假时，－1≤a≤1；

②p假q真时，a>3.

∴实数a的取值范围是a>3或－1≤a≤1.

21．（本小题满分12分）（文）已知函数f（x）＝x2－2x＋5，若存在一个实数x0，使不等式f（x0）－m>0成立，求实数m的取值范围．

[解析]　不等式f（x0）－m>0可化为m

只需m

又∵f（x）＝x2－2x＋5＝（x－1）2＋4，

∴f（x）min＝4，∴m<4.

故所求实数m的取值范围是（－∞，4）．

（理）（2011·雅安中学期末）设函数f（x）＝（x＋1）ln（x＋1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

[解析]　令g（x）＝（x＋1）ln（x＋1）－ax，则

g′（x）＝ln（x＋1）＋1－a，

令g′（x）＝0，解得x＝ea－1－1.

（1）当a≤1时，对所有x>0，g′（x）>0.

所以g（x）在[0，＋∞）上是增函数．

又g（0）＝0，所以对x≥0，有g（x）≥g（0），

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax.

（2）当a>1时，对于0

所以g（x）在（0，ea－1－1）上是减函数．

又g（0）＝0，所以对0

即f（x）

所以当a>1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上所述a的取值范围是（－∞，1]．

22．（本小题满分12分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{ai1，ai2，…，ain}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2in－1，则

（1）{a1，a3}是E的第几个子集？

（2）求E的第211个子集．

[解析]　

（1）由k的定义可知k＝21－1＋23－1＝5.

因此{a1，a3}是E的第5个子集．

（2）∵21－1＝1,22－1＝2,23－1＝4,24－1＝8，…k＝211，且211＝128＋64＋16＋2＋1，∴i1＝1，i2＝2，i3＝5，i4＝7，i5＝8，故E的第211个子集是{a1，a2，a5，a7，a8}．

[点评]　本题是新定义题型，构思新颖，视角独特，亮点明显，对考生在新情境下灵活运用所学知识分析，解决问题的能力要求较高，有较高的区分度．