推理与证明练习题.docx

推理与证明练习题.docx

《推理与证明练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《推理与证明练习题.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

推理与证明练习题

第一章　推理与证明练习题

1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是：

；

2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为：

；

3．证明<1＋＋＋＋…＋1），当n＝2时，中间式等于：

；

4．否定结论“至多有两个解”的说法是：

；

5．三角形的面积为S＝（a＋b＋c）r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为：

；

6．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f

（1）种走法，从平地上到第二级台阶时有f

（2）种走法……则他从平地上到第n级（n≥3）台阶时的走法f（n）等于：

；

7．已知f（x）＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f（a）＋f（b）＋f（c）的值一定：

；

8．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2013等于：

；

9．一个数列{an}的前n项为，，，，，….则猜想它的一个通项公式为an＝________.

10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形．

图1

11．用反证法证明命题“若x2－（a＋b）x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．

12．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：

________________.

13．已知a＋b＋c＝0，比较ab＋bc＋ca的大值与0的大小；

14．观察下列等式：

13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．

15．（本小题满分12分）若a1>0，a1≠1，an＋1＝（n＝1,2，…）．

（1）求证：

an＋1≠an；

（2）令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.

16．（2014·银川模拟）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（　　）

A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确（k∈N＋）

B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确（k∈N＋）

C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确（k∈N＋）

D．假设n≤k（k≥1）时正确，再推n＝k＋2时正确（k∈N＋）

17．f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），经计算得f

（2）＝，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞.推测：

当n≥2时，有____________．

18．（2014·陕西文，14）已知f（x）＝，x≥0，若f1（x）＝f（x），fn＋1（x）＝f（fn（x）），n∈N＋，则f2014（x）的表达式为________．

19．（本小题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．

图2

（1）求出f（5）的值；

（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n＋1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式；

（3）求＋＋＋…＋的值．

20．（本小题满分14分）函数列{fn（x）}满足f1（x）＝（x>0），fn＋1（x）＝f1[fn（x）]．

（1）求f2（x），f3（x）；

（2）猜想fn（x）的表达式，并证明．

21．已知数列{an}，a1＝5且Sn－1＝an（n≥2，n∈N＋）．

（1）求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；

（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．

22．（山东高考）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点（n，Sn）均在函数y＝bx＋r（b>0且b≠1，b，r均为常数）的图像上．

（1）求r的值；

（2）当b＝2时，记bn＝2（log2an＋1）（n∈N＋），证明：

对任意的n∈N＋，不等式··…·>成立．

[解析]　

（1）解：

因为对任意n∈N＋，点（n，Sn）均在函数y＝bx＋r（b>0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，所以Sn＝bn＋r.当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－（bn－1＋r）＝bn－bn－1＝（b－1）bn－1，

又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，an＝（b－1）bn－1.

（2）证明：

当b＝2时，an＝（b－1）bn－1＝2n－1，

bn＝2（log2an＋1）＝2（log22n－1＋1）＝2n，

则＝，所以··…·＝···…·.

下面用数学归纳法证明不等式：

··…·>.

①当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．

②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，

即···…·>.则当n＝k＋1时，

左边＝···…··

>·＝

＝

＝>，

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②可得，不等式对任何n∈N＋都成立，

即··…·>恒成立．

【解】　

（1）f（5）＝41.

（2）因为f

（2）－f

（1）＝4＝4×1，

f（3）－f

（2）＝8＝4×2，

f（4）－f（3）＝12＝4×3，

f（5）－f（4）＝16＝4×4，

…

由以上规律，可得出f（n＋1）－f（n）＝4n，

因为f（n＋1）－f（n）＝4n，所以f（n＋1）＝f（n）＋4n，所以f（n）＝f（n－1）＋4（n－1）＝f（n－2）＋4（n－1）＋4（n－2）＝f（n－3）＋4（n－1）＋4（n－2）＋4（n－3）

＝…

＝f[n－（n－1）]＋4（n－1）＋4（n－2）＋4（n－3）＋…＋4[n－（n－1）]

＝2n2－2n＋1.

（3）当n≥2时，＝＝（－），

所以＋＋＋…＋

＝1＋（1－＋－＋－＋…＋－）

＝1＋（1－）＝－.

18．（本小题满分14分）函数列{fn（x）}满足f1（x）＝（x>0），fn＋1（x）＝f1[fn（x）]．

（1）求f2（x），f3（x）；

（2）猜想fn（x）的表达式，并证明．

解：

（1）f1（x）＝（x>0），

f2（x）＝＝，

f3（x）＝＝＝.

（2）猜想fn（x）＝，下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，命题显然成立．

②假设当n＝k时，fk（x）＝，那么fk＋1（x）＝＝＝.

这就是说，当n＝k＋1时命题成立．

由①②，可知fn（x）＝对所有n∈N＋均成立．

20．已知数列{an}，a1＝5且Sn－1＝an（n≥2，n∈N＋）．

（1）求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；

（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．

[分析]　利用不完全归纳法猜想归纳出an，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak＋1和Sk与Sk＋1之间的关系．

[解析]　

（1）由已知，得a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，an＝.

（2）①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，表达式成立．

当n＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n≥2时结硫化亦成立．

②假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时表达式成立，即ak＝5×2k－2，

则当n＝k＋1时，由已知条件和假设有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak

＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2

＝5＋

＝5×2k－1

＝5×2（k＋1）－2.故当n＝k＋1时，表达式也成立．

由①②可知，对一切n（n≥2，n∈N＋）都有an＝5×2n－2.

[点评]　本题先用不完全归纳法猜想出通项，然后用数学归纳法证明，考查了由特殊到一般的数学思想，也考查了数列知识，在高考中这类题往往是压轴题．解决方法是观察与分析法，也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成数列的规律，同时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律．

21．（山东高考）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点（n，Sn）均在函数y＝bx＋r（b>0且b≠1，b，r均为常数）的图像上．

（1）求r的值；

（2）当b＝2时，记bn＝2（log2an＋1）（n∈N＋），证明：

对任意的n∈N＋，不等式··…·>成立．

[解析]　

（1）解：

因为对任意n∈N＋，点（n，Sn）均在函数y＝bx＋r（b>0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，所以Sn＝bn＋r.当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－（bn－1＋r）＝bn－bn－1＝（b－1）bn－1，

又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，an＝（b－1）bn－1.

（2）证明：

当b＝2时，an＝（b－1）bn－1＝2n－1，

bn＝2（log2an＋1）＝2（log22n－1＋1）＝2n，

则＝，所以··…·＝···…·.

下面用数学归纳法证明不等式：

··…·>.

①当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．

②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，

即···…·>.则当n＝k＋1时，

左边＝···…··

>·＝

＝

＝>，

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②可得，不等式对任何n∈N＋都成立，

即··…·>恒成立．

第一章　推理与证明

（时间90分钟，满分120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是（　　）

A．演绎推理　　　　　B．归纳推理

C．类比推理D．以上都不对

【解析】　由部分推断全体，是归纳推理．

【答案】　B

2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为（　　）

A．25　　　　B．6C．7　　　　D．8

【解析】　将数列分组得

（1），（2,2），（3,3,3），（4,4,4,4），…，这样每一组的个数为1,2,3,4，…；其和为，令n＝6，则有＝21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.

【答案】　C

3．证明<1＋＋＋＋…＋1），当n＝2时，中间式等于（　　）

A．1B．1＋

C．1＋＋D．1＋＋＋

【解析】　中间的式子共有2n项，故n＝2时，中间的式子等于1＋＋＋.

【答案】　D

4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（　　）

A．有一个解B．有两个解

C．至少有三个解D．至少有两个解

【解析】　“至多有两个解”包含有两解，仅有一解，和无解，故其否定为至少有三个解．

【答案】　C

5．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是（　　）

A．a>bB．a

C．a＝bD．a，b大小不定

【解析】　a＝，b＝，显然a

【答案】　B

6．三角形的面积为S＝（a＋b＋c）r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（　　）

A．V＝abc

B．V＝Sh

C．V＝（S1＋S2＋S3＋S4）r（S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径）

D．V＝（ab＋bc＋ac）h（h为四面体的高）

【解析】　设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：

设四面体A－BCD的内切球的球心为O，连接OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面