第九章第一节电磁感应现象 楞次定律资料.docx
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第九章第一节电磁感应现象楞次定律资料
[2017高考导航]
考点内容
要求
真题统计
命题规律
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
1.电磁感应现象
Ⅰ
2015年T19
2014年T14
2013年T17
2013年T25
2015年T15
2014年T18
2014年T25
2013年T16
2013年T19
1.楞次定律、右手定则判断感应电流的方向;
2.感应电动势方向的判断和大小的计算;
3.与图象结合考查电磁感应现象;
4.电磁感应与力学、电路、能量相结合的综合考查
2.磁通量
Ⅰ
3.法拉第电磁感应定律
Ⅱ
4.楞次定律
Ⅱ
5.自感、涡流
Ⅰ
第一节 电磁感应现象 楞次定律
一、磁通量
1.定义:
在磁感应强度为B的匀强磁场中,与磁场方向垂直的面积S和B的乘积.
2.公式:
Φ=B·S.
3.单位:
1Wb=1_T·m2.
4.标矢性:
磁通量是标量,但有正、负.
1.(单选)如图所示,正方形线圈abcd位于纸面内,边长为L,匝数为N,过ab中点和cd中点的连线OO′恰好位于垂直纸面向里的匀强磁场的右边界上,磁感应强度为B,则穿过线圈的磁通量为( )
A.
B.
C.BL2D.NBL2
答案:
A
二、电磁感应
1.电磁感应现象
当穿过闭合电路的磁通量发生变化时,电路中有电流产生,这种现象称为电磁感应现象.
2.产生感应电流的条件
(1)电路闭合;
(2)磁通量变化.
3.能量转化
发生电磁感应现象时,机械能或其他形式的能转化为电能.
无论回路是否闭合,只要穿过线圈平面的磁通量发生变化,线圈中就有感应电动势产生.
2.(多选)下列情形中金属框或线圈中能产生感应电流的是( )
答案:
BCD
三、感应电流方向的判断
1.楞次定律
(1)内容:
感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化.
(2)适用情况:
所有的电磁感应现象.
2.右手定则
(1)内容:
伸开右手,使拇指与其余四个手指垂直,并且都与手掌在同一个平面内,让磁感线从掌心进入,并使拇指指向导体运动的方向,这时四指所指的方向就是感应电流的方向.
(2)适用情况:
导体切割磁感线产生感应电流.
3.(单选)如图所示,当磁场的磁感应强度B增强时,内、外金属上的感应电流的方向应为( )
A.内环顺时针,外环逆时针
B.内环逆时针,外环顺时针
C.内、外环均为顺时针
D.内、外环均为逆时针
答案:
A
考点一 电磁感应现象的判断
判断电路中能否产生感应电流的一般流程
磁场变化引起的感应电流[学生用书P192]
(单选)现将电池组、滑动变阻器、带铁芯的线圈A、线圈B、电流计及开关按如图所示连接.下列说法中正确的是( )
A.开关闭合后,线圈A插入或拔出都会引起电流计指针偏转
B.线圈A插入线圈B中后,开关闭合和断开的瞬间,电流计指针均不会偏转
C.开关闭合后,滑动变阻器的滑片P匀速滑动,会使电流计指针静止在中央零刻度
D.开关闭合后,只有滑动变阻器的滑片P加速滑动,电流计指针才能偏转
[解析] 线圈A插入或拔出,都将造成线圈B处磁场的变化,因此线圈B处的磁通量变化,产生感应电流,故A正确;开关闭合和断开均能引起线圈B中磁通量的变化而产生感应电流,故B错误;开关闭合后,只要移动滑片P,线圈B中磁通变化而产生感应电流,故C、D错误.
[答案] A
“有效”面积变化引起的感应电流[学生用书P192]
(单选)如图所示,闭合圆线圈放置在匀强磁场中,线圈平面与磁场平行,其中ac、bd分别是平行、垂直于磁场方向的两条直径.试分析使线圈做如下运动时,能产生感应电流的是( )
A.使线圈在纸面内平动
B.使线圈平面沿垂直纸面方向向纸外平动
C.使线圈以ac为轴转动
D.使线圈以bd为轴转动
[解析] 使线圈在纸面内平动、沿垂直纸面方向向纸外平动或以ac为轴转动,线圈中的磁通量始终为零,不变化,无感应电流产生;以bd为轴转动时,与磁场垂直的面积不断变化,线圈中的磁通量不断变化,能产生感应电流,所以D选项正确.
[答案] D
综合因素引起的感应电流[学生用书P192]
(单选)如图所示,一个U形金属导轨水平放置,其上放有一个金属导体棒ab,有一个磁感应强度为B的匀强磁场斜向上穿过轨道平面,且与竖直方向的夹角为θ.在下列各过程中,一定能在轨道回路里产生感应电流的是( )
A.ab向右运动,同时使θ减小
B.使磁感应强度B减小,θ角同时也减小
C.ab向左运动,同时增大磁感应强度B
D.ab向右运动,同时增大磁感应强度B和θ角(0°<θ<90°)
[解析] ab向右运动,回路面积增大,θ减小,cosθ增大,由Φ=BScosθ知,Φ增大,故A正确;同理可判断B、C、D中,Φ不一定变化,不一定产生感应电流.
[答案] A
判断能否产生电磁感应现象,关键是看回路的磁通量是否发生了变化.磁通量的变化量ΔΦ=Φ2-Φ1主要有下列四种形式:
1.S、θ不变,B改变,这时ΔΦ=ΔB·Ssinθ;
2.B、θ不变,S改变,这时ΔΦ=ΔS·Bsinθ;
3.B、S不变,θ改变,这时ΔΦ=BS(sinθ2-sinθ1).
4.B、S、θ中的两个或三个量变化引起的磁通量变化.
考点二 楞次定律的理解及应用
1.楞次定律中“阻碍”的含义
2.应用楞次定律判断感应电流方向的步骤
线圈(框)类感应电流方向的判断[学生用书P193]
(单选)长直导线与矩形线框abcd处在同一平面中静止不动,如图甲所示.长直导线中通以大小和方向都随时间做周期性变化的交流电:
i=Imsinωt,i-t图象如图乙所示.规定沿长直导线向上的电流为正方向.关于最初一个周期内矩形线框中感应电流的方向,下列说法正确的是( )
A.由顺时针方向变为逆时针方向
B.由逆时针方向变为顺时针方向
C.由顺时针方向变为逆时针方向,再变为顺时针方向
D.由逆时针方向变为顺时针方向,再变为逆时针方向
[解析] 在0~
内,导线中电流向上且逐渐增大,线框处B的方向向内且逐渐增大,磁通增大,由楞次定律知,感应电流为逆时针方向;在
~
内,导线中电流向上且逐渐减小,感应电流为顺时针方向;在
~
内,导线中电流向下且逐渐增大,线框处B的方向向外且逐渐增大,感应电流为顺时针方向;在
~T内,导线中电流向下且逐渐减小,感应电流为逆时针方向,故D正确.
[答案] D
导体切割类感应电流方向的判断[学生用书P193]
(单选)如图所示,MN、GH为光滑的水平平行金属导轨,ab、cd为跨在导轨上的两根金属杆,垂直纸面向外的匀强磁场垂直穿过MN、GH所在的平面,则下列说法正确的是( )
A.若固定ab,使cd向右滑动,则abdc回路有电流,电流方向为a→b→d→c→a
B.若ab、cd以相同的速度一起向右滑动,则abdc回路有电流,电流方向为a→c→d→b→a
C.若ab向左、cd向右同时运动,则abdc回路中的电流为零
D.若ab、cd都向右运动,且两杆速度vcd>vab,则abdc回路有电流,电流方向为a→c→d→b→a
[解析] 由右手定则可判断出A项做法使回路产生顺时针方向的电流,故A项错误;若ab、cd同向运动且速度大小相同,ab、cd所围面积不变,磁通量不变,故不产生感应电流,故B项错误;若ab向左,cd向右,则abdc回路中有顺时针方向的电流,故C项错误;若ab、cd都向右运动,且两杆速度vcd>vab,则ab、cd所围面积发生变化,磁通量也发生变化,由楞次定律可判断出,abdc回路中产生顺时针方向的电流,故D项正确.
[答案] D
考点三 “一定律三定则”的综合应用
1.“三个定则与一个定律”的比较
名称
基本现象
应用的定则或定律
电流的磁效应
运动电荷、电流产生磁场
安培定则
磁场对电流的作用
磁场对运动电荷、电流有作用力
左手定则
电磁感应
部分导体做切割磁感线运动
右手定则
闭合回路磁通量变化
楞次定律
2.应用技术
无论是“安培力”还是“洛伦兹力”,只要是涉及磁力方向都用左手判断.
“电生磁”或“磁生电”均用右手判断.
“因动生电”类问题的判断[学生用书P193]
(多选)如图所示,光滑平行金属导轨PP′和QQ′都处于同一水平面内,P和Q之间连接一电阻R,整个装置处于竖直向下的匀强磁场中.现垂直于导轨放置一根导体棒MN,用一水平向右的力F拉动导体棒MN,以下关于导体棒MN中感应电流方向和它所受安培力方向的说法正确的是( )
A.感应电流方向是N→M B.感应电流方向是M→N
C.安培力水平向左D.安培力水平向右
[解析] MN在外力F的作用下向右运动,由右手定则知,感应电流方向为M→P→Q→N→M,故A正确、B错误;由左手定则知,MN受到的安培力方向水平向左,故C正确、D错误.
[答案]AC
“因电而动”类问题的判断[学生用书P194]
(单选)(2016·嘉兴模拟)如图所示,通电螺线管置于水平放置的光滑平行金属导轨MN和PQ之间,ab和cd是放在导轨上的两根金属棒,它们分别静止在螺线管的左右两侧,现使滑动变阻器的滑动触头向左滑动,则ab和cd棒的运动情况是( )
A.ab向左运动,cd向右运动B.ab向右运动,cd向左运动
C.ab、cd都向右运动D.ab、cd保持静止
[解析] 由安培定则可知螺线管中磁感线方向向上,金属棒ab、cd处的磁感线方向均向下,当滑动触头向左滑动时,螺线管中电流增大,因此磁场变强,即磁感应强度变大,回路中的磁通量增大,由楞次定律知,感应电流方向为a→c→d→b→a,由左手定则知ab受安培力方向向左,cd受安培力方向向右,故ab向左运动,cd向右运动.只有A正确.
[答案] A
“因动而电”“因电而动”的综合问题[学生用书P194]
(单选)置于匀强磁场中的金属圆盘中央和边缘各引出一根导线,与套在铁芯上部的线圈A相连.套在铁芯下部的线圈B引出两根导线接在两根水平导轨上,如图所示.导轨上有一根金属棒ab处在垂直于纸面向外的匀强磁场中.下列说法正确的是( )
A.圆盘顺时针加速转动时,ab棒将向右运动
B.圆盘顺时针匀速转动时,ab棒将向右运动
C.圆盘顺时针减速转动时,ab棒将向右运动
D.圆盘逆时针加速转动时,ab棒将向左运动
[解析] 由右手定则知,圆盘顺时针加速转动时,感应电流从圆心流向边缘,线圈A中产生的磁场方向向下且磁场增强.由楞次定律知,线圈B中的感应磁场方向向上,由右手螺旋定则知,ab棒中感应电流方向由a→b.由左手定则知,ab棒受的安培力方向向左,将向左运动,故A错;同理B、D错,C对.
[答案] C
[学生用书P194])
方法技巧——巧用楞次定律推论分析电磁感应问题
楞次定律中“阻碍”的含义可以理解为感应电流的效果总是阻碍产生感应电流的原因,推论如下:
1.阻碍原磁通量的变化——“增反减同”;
2.阻碍相对运动——“来拒去留”;
3.使线圈面积有扩大或缩小的趋势——“增缩减扩”;
4.阻碍原电流的变化(自感现象)——“增反减同”.
(多选)如图所示,光滑固定的金属导轨M、N水平放置,两根导体棒P、Q平行放置在导轨上,形成一个闭合回路,一条形磁铁从高处下落接近回路时( )
A.P、Q将相互靠拢 B.P、Q将相互远离
C.磁铁的加速度仍为gD.磁铁的加速度小于g
[解析]
法一:
设磁铁下端为N极,如图所示,根据楞次定律可判断出P、Q中的感应电流方向如图所示,根据左手定则可判断P、Q所受安培力的方向.可见,P、Q将相互靠拢.由于回路所受安培力的合力向下,由牛顿第三定律知,磁铁将受到向上的反作用力,因而加速度小于g.当磁铁下端为S极时,根据类似的分析可得到相同的结果,所以,本题应选A、D;
法二:
根据楞次定律的另一种表述——感应电流的效果总要反抗产生感应电流的原因.本题中“原因”是回路中磁通量的增加,归根结底是磁铁靠近回路,“效果”便是阻碍磁通量的增加和磁铁的靠近.所以,P、Q将相互靠拢且磁铁的加速度小于g,应选A、D.
[答案] AD
(单选)如图,粗糙水平桌面上有一质量为m的铜质矩形线圈.当一竖直放置的条形磁铁从线圈中线AB正上方水平快速经过时,若线圈始终不动,则关于线圈受到的支持力FN及在水平方向运动趋势的正确判断是( )
A.FN先小于mg后大于mg,运动趋势向左
B.FN先大于mg后小于mg,运动趋势向左
C.FN先小于mg后大于mg,运动趋势向右
D.FN先大于mg后小于mg,运动趋势向右
解析:
选D.根据楞次定律的推论判断.磁铁靠近线圈时,阻碍靠近.线圈受到磁场力方向为右偏下,故FN>mg,有向右运动趋势,磁铁从B点离开线圈时,线圈受到磁场力方向向右偏上,故FN [学生用书P195])
1.(考点一)(单选)
如图所示的条形磁铁的上方放置一矩形线框,线框平面水平且与条形磁铁平行,则线框在由N端匀速平移到S端的过程中,线框中的感应电流的情况是( )
A.线框中始终无感应电流
B.线框中始终有感应电流
C.线框中开始有感应电流,当线框运动到磁铁中部上方时无感应电流,以后又有了感应电流
D.开始无感应电流,当运动到磁铁中部上方时有感应电流,后来又没有感应电流
答案:
B
2.(考点二)(单选)(2016·南昌模拟)1931年英国物理学家狄拉克从理论上预言:
存在只有一个磁极的粒子,即“磁单极子”.1982年,美国物理学家卡布莱设计了一个寻找磁单极子的实验,他设想,如果一个只有N极的磁单极子从上向下穿过如图所示的超导线圈,那么,从上向下看,超导线圈上将出现( )
A.先是逆时针方向的感应电流,然后是顺时针方向的感应电流
B.先是顺时针方向的感应电流,然后是逆时针方向的感应电流
C.顺时针方向持续流动的感应电流
D.逆时针方向持续流动的感应电流
解析:
选D.当磁单极子从上向下靠近超导线圈时,线圈中的磁通量增加,且磁场方向从上向下,由楞次定律可知,感应电流的磁场方向从下向上,再由安培定则可确定感应电流方向为逆时针;当磁单极子远离超导线圈时,超导线圈中的磁通量减少,且磁场方向从下向上,由楞次定律可知,感应电流的磁场方向从下向上,再由安培定则可确定感应电流方向为逆时针,因此线圈中产生的感应电流方向不变,又由于超导线圈没有电阻,不消耗电能,所以超导线圈中的电流不会消失,选项D正确,A、B、C均错误.
3.(考点二)(多选)
两根相互平行的金属导轨水平放置于如图所示的匀强磁场中,在导轨上接触良好的导体棒AB和CD可以自由滑动.当AB在外力F作用下向右运动时,下列说法中正确的是( )
A.导体棒CD内有电流通过,方向是D→C
B.导体棒CD内有电流通过,方向是C→D
C.磁场对导体棒CD的作用力向左
D.磁场对导体棒AB的作用力向左
解析:
选BD.利用楞次定律.两个导体棒与两根金属导轨构成闭合回路,分析出磁通量增加,结合安培定则判断回路中感应电流的方向是B→A→C→D→B.以此为基础,再根据左手定则进一步判定CD、AB的受力方向,经过比较可得选项B、D正确.
4.(考点三)(多选)(2016·北京朝阳质检)
如图所示,金属导轨上的导体棒ab在匀强磁场中沿导轨做下列哪种运动时,铜制线圈c中将有感应电流产生且被螺线管吸引( )
A.向右做匀速运动 B.向左做减速运动
C.向右做减速运动D.向右做加速运动
解析:
选BC.当导体棒向右匀速运动时产生恒定的电流,线圈中的磁通量恒定不变,无感应电流出现,A错;当导体棒向左减速运动时,由右手定则可判定回路中出现从b→a的感应电流且减小,由安培定则知螺线管中感应电流的磁场向左在减弱,由楞次定律知c中出现顺时针感应电流(从右向左看),且被螺线管吸引,B对;同理可判定C对、D错.
5.(考点三)(多选)如图所示,水平放置的两条光滑轨道上有可自由移动的金属棒PQ、MN,MN的左边有一闭合电路,当PQ在外力的作用下运动时,MN向右运动,则PQ所做的运动可能是( )
A.向右加速运动B.向左加速运动
C.向右减速运动D.向左减速运动
解析:
选BC.MN向右运动,说明MN受到向右的安培力,因为ab在MN处的磁场垂直纸面向里
MN中的感应电流由M→N
L1中感应电流的磁场方向向上
;若L2中磁场方向向上减弱
PQ中电流为Q→P且减小
向右减速运动;若L2中磁场方向向下增强
PQ中电流为P→Q且增大
向左加速运动.
6.(微专题26)(单选)
如图所示,圆形导体线圈a平放在水平桌面上,在a的正上方固定一竖直螺线管b,二者轴线重合,螺线管与电源和滑动变阻器连接成如图所示的电路.若将滑动变阻器的滑片P向下滑动,下列表述正确的是( )
A.线圈a中将产生俯视顺时针方向的感应电流
B.穿过线圈a的磁通量变小
C.线圈a有扩张的趋势
D.线圈a对水平桌面的压力FN将增大
解析:
选D.通过螺线管b的电流如图所示,根据右手螺旋定则判断出螺线管b所产生的磁场方向竖直向下,滑片P向下滑动,接入电路的电阻减小,电流增大,所产生的磁场的磁感应强度增强,根据楞次定律可知,a线
圈中所产生的感应电流产生的感应磁场方向竖直向上,再由右手螺旋定则可得线圈a中的电流方向为俯视逆时针方向,A错误;由于螺线管b中的电流增大,所产生的磁感应强度增强,线圈a中的磁通量应变大,B错误;根据楞次定律可知,线圈a将阻碍磁通量的增大,因此,线圈a有缩小的趋势,线圈a对水平桌面的压力增大,C错误、D正确.
一、单项选择题
1.匀强磁场区域宽为d,一正方形线框abcd的边长为l,且l>d,线框以速度v通过磁场区域,如图所示,从线框进入到完全离开磁场的时间内,线框中没有感应电流的时间是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选B.因为磁场宽度d小于线框边长l,所以当bc边进入时线框有电流,当bc边到达磁场最右边时ad边还没有进入磁场,且离磁场还有l-d的距离,但是bc边出来且ad边还没有进入磁场这段时间是没有磁通量变化的,那么这样能持续到ad边进入磁场为止,这段时间里线框移动了l-d的距离,所以t=
=
,故选B.
2.
如图,在一水平、固定的闭合导体圆环上方,有一条形磁铁(N极朝上,S极朝下)由静止开始下落,磁铁从圆环中穿过且不与圆环接触.关于圆环中感应电流的方向(从上向下看),下列说法正确的是( )
A.总是顺时针B.总是逆时针
C.先顺时针后逆时针D.先逆时针后顺时针
解析:
选C.由题图可知,在磁铁下落过程中,穿过圆环的磁场方向向上,在磁铁靠近圆环时,穿过圆环的磁通量变大,在磁铁远离圆环时,穿过圆环的磁通量减小,由楞次定律知,从上向下看,圆环中的感应电流先沿顺时针方向,后沿逆时针方向,故C正确.
3.
如图所示,一水平放置的矩形闭合线圈abcd,在细长磁铁的N极附近竖直下落,保持bc边在纸外,ad边在纸内,从图中位置Ⅰ经过位置Ⅱ到达位置Ⅲ,位置Ⅰ和Ⅲ都很靠近Ⅱ.在这个过程中,线圈中感应电流( )
A.沿abcd流动
B.沿dcba流动
C.由Ⅰ到Ⅱ是沿abcd流动,由Ⅱ到Ⅲ是沿dcba流动
D.由Ⅰ到Ⅱ是沿dcba流动,由Ⅱ到Ⅲ是沿abcd流动
解析:
选A.由条形磁铁的磁场分布情况可知,线圈在位置Ⅱ时穿过矩形闭合线圈的磁通量最少.线圈从位置Ⅰ到Ⅱ,穿过abcd自下而上的磁通量减少,感应电流的磁场阻碍其减少,则在线框中产生的感应电流的方向为abcd,线圈从位置Ⅱ到Ⅲ,穿过abcd自上而下的磁通量在增加,感应电流的磁场阻碍其增加,由楞次定律可知感应电流的方向仍然是abcd.故本题答案为A.
4.
(2014·高考广东卷)如图所示,上下开口、内壁光滑的铜管P和塑料管Q竖直放置,小磁块先后在两管中从相同高度处由静止释放,并落至底部,则小磁块( )
A.在P和Q中都做自由落体运动
B.在两个下落过程中的机械能都守恒
C.在P中的下落时间比在Q中的长
D.落至底部时在P中的速度比在Q中的大
解析:
选C.小磁块在铜管中下落,产生电磁感应现象,根据楞次定律的推论——阻碍相对运动可知,小磁块下落过程中受到向上的电磁阻力,而在塑料管中下落,没有电磁感应现象,小磁块做自由落体运动,故C正确.
5.
美国《大众科学》月刊网站报道,美国明尼苏达大学的研究人员发现.一种具有独特属性的新型合金能够将热能直接转化为电能.具体而言,只要略微提高温度,这种合金就会变成强磁性合金,从而使环绕它的线圈中产生电流,其简化模型如图所示.A为圆柱形合金材料,B为线圈,套在圆柱形合金材料上,线圈的半径大于合金材料的半径.现对A进行加热,则( )
A.B中将产生逆时针方向的电流
B.B中将产生顺时针方向的电流
C.B线圈有收缩的趋势
D.B线圈有扩张的趋势
解析:
选D.合金材料加热后,合金材料成为磁体,通过线圈B的磁通量增大,由于线圈B内有两个方向的磁场,由楞次定律可知线圈只有扩张,才能阻碍磁通量的变化,C错误、D正确;由于不知道极性,无法判断感应电流的方向,A、B错误.
6.如图所示的装置中,cd杆原来静止,当ab杆做如下哪种运动时,cd杆将向右移动( )
A.向右匀速运动B.向右减速运动
C.向左加速运动D.向左减速运动
解析:
选D.ab匀速运动时,ab中感应电流恒定,L1中磁通量不变,穿过L2的磁通量不变,L2中无感应电流产生,cd保持静止,A错误;ab向右减速运动时,L1中的磁通量向上减小,由楞次定律知L2中感应电流产生的磁场方向向下,故通过cd的电流方向向上,cd向左移动,B错误;同理得C错误,D正确.
7.如图所示,ab是一个可以绕垂直于纸面的轴O转动的闭合矩形导体线圈,当滑动变阻器R的滑片P自左向右滑动过程中,线圈ab将( )
A.静止不动
B.逆时针转动
C.顺时针转动
D.发生转动,但因电源的极性不明,无法确定转动的方向
解析:
选C.滑片P向右滑动过程中,电流增大,线圈处的磁场变强,磁通量增大,根据“阻碍”含义,线圈将阻碍磁通量增大而顺时针转动,故C正确.
8.
如图,一质量为m的条形磁铁用细线悬挂在天花板上,细线从一水平金属圆环中穿过.现将环从位置Ⅰ释放,环经过磁铁到达位置Ⅱ.设环经过磁铁上端和下端附近时细线的张力分别为FT1和FT2,重力加速度大小为g,则( )
A.FT1>mg,FT2>mg
B.FT1<mg,FT2<mg
C.FT1>mg,FT2<mg
D.FT1<mg,FT2>mg
解析:
选A.金属环从位置Ⅰ靠近磁铁上端,因产生感应电流,故“阻碍”相对运动,知金属环与条形磁铁相互排斥,故绳的拉力FT1>mg.同理,当金属环离开磁铁下端时,金属环与磁铁相互吸引,因而绳的拉力FT2>mg,故A正确.
二、多项选择题
9.
如图所示,光滑导电圆环轨道竖直固定在匀强磁场中,磁场方向与轨道所在平面垂直,导体棒ab的两端