学年高中数学第一章计数原理11第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案新人教A版选修23.docx
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学年高中数学第一章计数原理11第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案新人教A版选修23
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.通过实例，能总结出分类加法计数原理，分步乘法计数原理． 2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”． 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
分步乘法计数原理的理解
分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（ ）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．（ ）
（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（ ）
（4）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）√ （4）√
某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（ ）
A．3种 B．4种
C．7种D．12种
答案：
C
已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则（x，y）可表示不同的点的个数是（ ）
A．1B．3
C．6D．9
答案：
D
某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．
答案：
3
加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
答案：
120
探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【解】 法一：
按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）．
法二：
按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）．
[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？
解：
当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25（个）.
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生人数
女生人数
总人数
高三
（1）班
30
20
50
高三
（2）班
30
30
60
高三（3）班
35
20
55
（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三
（1）班、
（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解：
（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高三
（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三
（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法．
（2）从高三
（1）班、
（2）班男生或高三（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三
（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三
（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三
（1）班、
（2）班男生或高三（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法．
探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]
从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？
【解】 由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；
b的值也有5种选法；c的值有4种选法．
由分步乘法计数原理得：
5×5×4＝100（条）．
1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？
解：
需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．
2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆
＋
＝1的参数m，n，则可以组成椭圆的个数是多少？
解：
据条件知m>0，n>0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6（个）．
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
（1）三位数；
（2）三位偶数．
解：
（1）分三步：
第1步，排个位，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
（2）第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．
探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]
甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，
（1）若借1本书，则有多少种借法？
（2）若每科各借1本书，则有多少种借法？
（3）若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？
【解】
（1）需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．
（2）需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．
（3）需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：
第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；
第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；
第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．
根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．
利用两个计数原理的解题策略
用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
解：
（1）分三类：
第一类，选出的是医生，有3种选法；
第二类，选出的是护士，有5种选法；
第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10（种）选法．
（2）分三步：
第一步，选1名医生，有3种选法；
第二步，选1名护士，有5种选法；
第三步，选1名麻醉师，有2种选法．
根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30（种）选法．
1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（ ）
A．8 B．15
C．18D．30
解析：
选A.共有5＋3＝8种不同的选法．
2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为（ ）
A．5B．6
C．10D．12
解析：
选B.完成这件事可分两步：
第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．
3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有（ ）
A．12种B．7种
C．14种D．49种
解析：
选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，
第一步进体育场，第二步出体育场，
第一步进门有4＋3＝7种方法；
第二步出门也有4＋3＝7种方法，
由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．
4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
（1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
（2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
解：
（1）从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．
（2）从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000种选法．
（3）①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2100种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1500种选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860种选法．
知识结构
深化拓展
两个计数原理的联系与区别
加法计数原理
乘法计数原理
共同点
两个原理都是计算完成某项工作的方法种数，最后的目的都必须完成某件事
区别一
完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立地完成这件事，每一种办法都是独立的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
[A 基础达标]
1．（2018·西安一中高二检测）完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是（ ）
A．5B．4
C．9D．20
解析：
选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9（种）．故选C.
2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是（ ）
A．18B．16
C．14D．10
解析：
选C.分两类：
第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6（个）第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8（个）第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14（个）不同的点．
3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．81B．64
C．48D．24
解析：
选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81（种），故选A.
4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对（x，y）的个数是（ ）
A．15B．12
C．5D．4
解析：
选A.分情况讨论：
①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；
②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；
③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对（x，y）的个数是6＋5＋4＝15.
5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有（ ）
A．24种B．16种
C．12种D．10种
解析：
选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.
6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．
解析：
分两种情况：
当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7（种）．
答案：
7
7．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．
解析：
小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．
答案：
54
8．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
解析：
若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22（条），
即所求的不同的直线共有22条．
答案：
22
9．（2018·云南丽江测试）现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：
（1）分四类：
第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；
第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；
第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；
第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．
所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34（种）．
（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040（种）．
（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；
从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；
从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；
从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；
从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；
从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（种）．
10．
（1）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？
（2）如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？
解：
（1）只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5（种）接通电源使电灯发光的方法．
（2）只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6（种）不同的接通方法使电灯发光．
[B 能力提升]
11．（2018·郑州高二检测）从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．3B．4
C．6D．8
解析：
选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×（2＋1＋1）＝8（个）．
12．（2018·长沙高二检测）满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A．14B．13
C．12D．10
解析：
选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．
若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时（a，b）的取值有4个；
若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，
此时（a，b）的取值为（－1，0），（－1，1），（－1，－1），（－1，2），（1，1），（1，0），（1，－1），（2，－1），（2，0），共9个．
所以（a，b）的个数为4＋9＝13.故选B.
13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P（a，b）表示平面上的点（a，b∈M）．
（1）点P可以表示平面上的多少个不同点？
（2）点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？
（3）点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？
解：
（1）完成这件事分为两个步骤：
a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36（个）不同点．
（2）根据条件，需满足a＜0，b＞0.
完成这件事分两个步骤：
a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上3×2＝6（个）第二象限的点．
（3）因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30（个）不在直线y＝x上的点．
14．（选做题）某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：
抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：
（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17400种结果．
（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400种结果．
因此共有不同结果17400＋11400＝28800种．
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