学年高中数学苏教版 选修22教师用书第1章 14 导数在实际生活中的应用 Word版含答案.docx

学年高中数学苏教版 选修22教师用书第1章 14 导数在实际生活中的应用 Word版含答案.docx

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学年高中数学苏教版选修22教师用书第1章14导数在实际生活中的应用Word版含答案

1.4　导数在实际生活中的应用

1．能应用导数解决实际问题．（重点）

2．审清题意，正确建立函数关系式．（难点）

3．忽视变量的实际意义，忽略函数定义域．（易错点）

[基础·初探]

教材整理　导数在生活中的应用

阅读教材P35～P38“练习”以上部分，完成下列问题．

1．导数的实际应用

导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．

2．用导数解决实际生活问题的基本思路

1．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为____m.

【解析】　设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝

.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·

＋x2＝

＋x2.S′＝2x－

，令S′＝0，得x＝8，

因此h＝

＝4（m）．

【答案】　4

2．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（200－x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．

【解析】　利润为S（x）＝（x－30）（200－x）

＝－x2＋230x－6000，S′（x）＝－2x＋230，

由S′（x）＝0，得x＝115，这时利润达到最大．

【答案】　115

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_______________________________________________

解惑：

_______________________________________________

疑问2：

_______________________________________________

解惑：

_______________________________________________

疑问3：

_______________________________________________

解惑：

_______________________________________________

[小组合作型]

面积、体积的最值问题

　请你设计一个包装盒，如图141，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．

图141

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

【精彩点拨】　弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．

【自主解答】　设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.

由已知得a＝

x，h＝

＝

（30－x），0＜x＜30.

（1）S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

（2）V＝a2h＝2

（－x3＋30x2），V′＝6

x（20－x）．

由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝20.

当x∈（0,20）时，V′＞0；当x∈（20,30）时，V′＜0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时

＝

，即包装盒的高与底面边长的比值为

.

1．解决面积、体积最值问题的思路

要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

2．解决导数在实际应用时应注意的问题

（1）列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；

（2）一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点或函数f（x）在开区间上只有一个点使f′（x）＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．

[再练一题]

1．将一张2×6m的矩形钢板按如图142所示划线，要求①至⑦全为矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为xm，容积为ym3.

图142

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）x取何值时，水箱的容积最大．

【解】　

（1）由水箱的高为xm，

得水箱底面的宽为（2－2x）m，长为

＝（3－x）m.

故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x（0

（2）由y′＝6x2－16x＋6＝0，

解得x＝

（舍去）或x＝

.

因为y＝2x3－8x2＋6x（0

内单调递增，在

内单调递减，

所以当x的值为

时，水箱的容积最大．

用料最省、成本（费用）最低问题

　位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图143所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．

图143

【精彩点拨】　可设CD＝x，则CE＝3－x，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．

【自主解答】　设CD＝xkm，则CE＝（3－x）km.

则所需电线总长

l＝AC＋BC＝

＋

（0≤x≤3），

从而l′＝

－

.

令l′＝0，即

－

＝0，

解得x＝1.2或x＝－6（舍去）．

因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，

所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2km处时，所需电线总长最短．

1．用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′（x）＝0时，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值．

[再练一题]

2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/时）的函数关系是P＝

v4－

v3＋15v，

（1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；

（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？

并求此时运输成本的最小值.

【导学号：

01580020】

【解】　

（1）Q＝P·

＝

·

＝

·400

＝

－

v2＋6000（0

（2）Q′＝

－5v，

令Q′＝0，则v＝0（舍去）或v＝80，

当0

当800，

∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q（80）＝

（元）．

[探究共研型]

利润最大、效率最高问题

探究　在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？

【提示】　根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．

　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝

＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

【精彩点拨】　

（1）根据x＝5时，y＝11求a的值．

（2）把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．

【自主解答】　

（1）因为x＝5时，y＝11，所以

＋10＝11，a＝2.

（2）由

（1）知，该商品每日的销售量

y＝

＋10（x－6）2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f（x）＝（x－3）

＝2＋10（x－3）（x－6）2,3＜x＜6，

从而，f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]

＝30（x－4）·（x－6），

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（3,4）

4

（4,6）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点，

所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.

故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

1．经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．

2．关于利润问题常用的两个等量关系

（1）利润＝收入－成本．

（2）利润＝每件产品的利润×销售件数．

[再练一题]

3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：

p＝24200－

x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x（元）．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

最大利润是多少？

【解】　每月生产x吨时的利润为

f（x）＝

x－（50000＋200x）

＝－

x3＋24000x－50000（x≥0），

由f′（x）＝－

x2＋24000＝0，解得x＝200或x＝－200（舍去）．

因为f（x）在[0，＋∞）内只有一个点x＝200使f′（x）＝0，故它就是最大值点，且最大值为f（200）＝－

×2003＋24000×200－50000＝3150000（元），故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．

[构建·体系]

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：

℃）为f（x）＝

x3－x2＋8（0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是________．

【解析】　原油温度的瞬时变化率为f′（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），

所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值为－1.

【答案】　－1

2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.

【导学号：

01580021】

【解析】　设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.

则y＝（10－2x）（16－2x）x（0

＝4x3－52x2＋160x，

∴y′＝12x2－104x＋160.

令y′＝0，得x＝2或x＝

（舍去），

∴ymax＝6×12×2＝144（cm3）．

【答案】　144

3．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝

x3－

x2－40x（x>0），为使耗电量最小，则其速度应定为________．

【解析】　由题设知y′＝x2－39x－40，

令y′>0，解得x>40，或x<－1，

故函数y＝

x3－

x2－40x（x>0）在[40，＋∞）上递增，在（0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．

由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.

【答案】　40

4．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：

y1＝17x2（x＞0），生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：

y2＝2x3－x2（x＞0），为使利润最大，应生产________千台．

【解析】　设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝－2x3＋18x2（x＞0），

∴y′＝－6x2＋36x＝－6x（x－6）．

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．

【答案】　6

5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：

元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

【解】　

（1）若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，

由题意知24＝k·22，得k＝6.

若记商品在一个星期的获利为f（x），则依题意有

f（x）＝（30－x－9）·（432＋6x2）＝（21－x）（432＋6x2），

所以f（x）＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．

（2）根据

（1）有f′（x）＝－18x2＋252x－432

＝－18（x－2）（x－12）．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（0,2）

2

（2,12）

12

（12,30）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故x＝12时，f（x）取得极大值，因为f（0）＝9072，f（12）＝11664，f（0）＜f（12），所以定价为30－12＝18（元）能使一个星期的商品销售利润最大．

我还有这些不足：

（1）_______________________________________________

（2）_______________________________________________

我的课下提升方案：

（1）_______________________________________________

（2）_______________________________________________