261 二次函数 同步测控综合训练含答案.docx
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261二次函数同步测控综合训练含答案
26.1二次函数(综合练习)
一、课前预习(5分钟训练)
1.次函数y=ax2+bx+c的图象如图26-1-1所示,则点A(a,b)在()
图26-1-1图26-1-2图26-1-3
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.表示二次函数通常有_____________、_____________、_____________三种.
3.已知A(0,4),B(1,-3),C(-1,-7)三点在抛物线y=ax2+bx+c上,则a-bc=______.
二、课中强化(10分钟训练)
1.如图26-1-2,抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴交于A、B两点,且OAOB=31,则m的值为()
A.
B.0C.
或0D.1
2.抛物线y=ax2+bx+c形状与y=2x2-4x-1相同,对称轴平行于y轴,且x=2时,y有最大值-5,该抛物线关系式为___________________.
3.如图26-1-3,抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的表达式是_________.
4.已知一抛物线与x轴两交点间的距离为2,且经过P(0,-16),顶点在直线y=2上,求它的关系式.
5.已知一个矩形的宽为x,长比宽多1,面积为y.用解析式、表格、图象三种方式表示y与x的关系,并体会三种方法各自不同的优点.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.抛物线y=ax2+bx+c经过(5,4),(-3,4)两点,则该抛物线的对称轴为____________.
2.如图26-1-4,杠高2.2米,两立柱之间的距离为1.6米,将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线状.
(1)如图
(1)所示,一身高为0.7米的小孩站在离立柱0.4米处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到地面的距离;
(2)如图
(2)所示,为供孩子们打秋千,把绳子剪断后,中间系一块长0.4米的木板.除掉系木板用的绳子后,两边的绳子恰好各为2米,木板与地面平行,求这时木板到地面的距离.(供选用数据:
≈1.8,3.6
4≈1.9,
≈2.1)
图26-1-4
3.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点
在坐标轴上,求该抛物线的关系式.
4.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0)与(2,5)两点.
(1)求这个二次函数关系式;
(2)请你换掉题目中的部分已知条件,重新设计一个求二次函数y=ax2+bx+c关系式的题目,使所求得的关系式与
(1)相同.
5.某校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高
m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3m.
(1)建立如图26-1-5所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截,已知
乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
图26-1-5
6.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次
函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
此时每日销售利润是多少元?
7.图26-1-6是多边形的边数及对角线条数的图,仔细分析后完成下面的题目.
图26-1-6
(1)按图中的规律填写下表:
边数n
4
5
6
7
8
对角线的条数s
2
5
9
(2)根据表中的数据,以s为纵
坐标,n为横坐标,描点并用平滑的曲线连结后观察其形状;
(3)能否用关系式表示s与n的关系?
8.已知二次函数y=4x2+bx+
(b2+b),当b取任何实数时,它的图象是一条抛物线.
(1)现在有如下两种说法:
①b取任何不同的数值时,所对应的抛物线都有着完全相同的形状;
②b取任何不同的数值时,所对应
的抛物线都有着不相同的形状.你认为哪一种说法正确,为什么?
(2)若取b=-1,b=2时对应的抛物线的顶点分别为A、B,请你求出直线AB的解析式,并判断:
当b取其他实数值时,所对应的抛物线的顶点是否在这条直线上?
说明理由.
(3)在
(2)中所确定的直线上有一点C且点C的纵坐标为-1,问在x轴上是否存在点D使△COD为等腰三角形?
若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,简单说明理由.
参考答案
一、课前预习(5分钟训练)
1.次函数y=ax2+bx+c的图象如图26-1-1所示,则点A(a,b)在()
图26-1-1
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解析:
看图得a<0,又
>0,所以b>0.所以A点在第二象限.
答案:
B
2.表示二次函数通常有_____________、_____________、_____________三种.
解析:
解析式、表格、图象三种方式是表示函数关系常用的方法.
答案:
解析式法表格法图象法
3.已知A(0,4),B(1,-3),C(-1,-7)三点在抛物线y=ax2+bx+c上,则a-bc=______.
解析:
把A(0,4),B(1,-3),C(-1,-7)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得方程组
所以a-bc=-9-2×4=-17.
答案:
-17
二、课中强化(10分钟训练)
1.如图26-1-2,抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴交于A、B两点,且OAOB=31,则m的值为()
图26-1-2
A.
B.0C.
或0D.1
解析:
二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开,当点A在原点右侧时,xA=OA;当点A在原点左侧时,xA+OA=0(注:
点A在x轴上).设OB=x,则OA=3x(x>0),则B(-x,0),A(3x,0).
∵-x、3x是方程-x2+2(m+1)x+m+3=0的根,
∴-x+3x=2(m+1),-x·3x=-m-3.
解得m1=0,m2=
.又∵x>0,∴m=
不合题意.∴m=0.
答案:
B
2.抛物线y=ax2+bx+c形状与y=2x2-4x-1相同,对称轴平行于y轴,且x=2时,y有最大值-5,该抛物线关系式为___________________.
解析:
两个抛物线形状相同,二次
项系数相同或互为相反数.
因为y有最大值,所以a=-2,y=ax2+bx+c,顶点为(2,-5),
∴y=-2(x-2)2-5=-2(x2-4x+4)-5=-2x2+8x-13.
答案:
y=-2(x-2)2-5
3.如图26-1-3,抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的表达式是_________.
图26-1-3
解析:
解法一:
根据图象得所求抛物线与x轴的交点为(-1,0)、(-3,0),
所以y=a(x+1)(x+3),又由与y轴的交点为(0,3),所以y=x2+4x+3.
解法二:
先求已知图象的解析式,再把一次项系数改变符号就可以了.
答案:
y=x2+4x+3
4.已知一抛物线与x轴两交点间的距离为2,且经过P(0,-16),顶点在直线y=2上,求它的关系式.
解法一:
∵抛物线顶点纵坐标为2,∴设抛物线关系式为y=a(x-h)2+2.
抛物线与x轴两交点间距离为2,则与x轴两个交点为(h+1,0)、(h-1,0).
由题意,得
∴y=-2(x+3)2+2或y=-2(x-3)2+2.
即y=-2x2-12x-16或y=-2x2+12x-16.
解法二:
设抛物线的关系式为y=ax2+bx+c.由题意得
解之,得
∴y=-2x2+12x-16或y=-2x2-12x-16.
注意:
抛物线在x轴上截得的线段长为d,顶点横坐标为h,与x轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),则x1=h+
,x2=h-
.
5.已知一个矩形的宽为x,长比宽多1,面积为y.用解析式、表格、图象三种方式表示y与x的关系,并体会三种方法各自不同的优点.
解:
用解析式为y=x(x+1),
用表格表示:
x
1
2
3
4
5
6
7
x+1
2
3
4
5
6
7
8
y
2
6
12
20
30
42
56
用图象表示:
如图.
三种方法各自不同的优点分别是:
函数的表格可以清楚、直接地表示函数值,
图象更加形象直观地表示函数的变化关系,
解析式能全面完整精确地表示函数关系.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.抛物线y=ax2+bx+c经过(5,4),(-3,4)两点,则该抛物线的对称轴为____________.
解析:
抛物线过(x1,y)、(x2,y),则对称轴为直线x=
=1.
答案:
直线x=1
2.如图26-1-4,杠高2.2米,两立柱之间的距离为1.6米,将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线状.
图26-1-4
(1)如图
(1)所示,一身高为0.7米的小孩站在离立柱0.4米处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到地面的距离;
(2)如图
(2)所示,为供孩子们打秋千,把绳子剪断后,中间系一块长0.4米的木板.除掉系木板用的绳子后,两边的绳子恰好各为2米,木板与地面平行,求这时木板到地面的距离.(供选用数据:
≈1.8,3.6
4≈1.9,
≈2.1)
解:
(1)如图,建立平面直角坐标系.
由已知条件,知A(0,2.2),B(1.6,2.2),D(0.4,0.7).
设二次函数
关系式为y=ax2+bx+c.把A(0,2.2),B(1.6,2.2),
D(0.4,0.7)代入上式,得
解这个方程组,得
∴y=
x2-5x+2.2.
=0.2,
即顶点C的纵坐标为0.2.
∴绳子最低点到地面距离为0.2米.
(2)过E、F分别作AB的垂线,垂足分别为G、H,则AG=BH=
=0.6(米),
∴EG=
≈1.9(米).
∴EF到地面的距离为2.2-1.9=0.3(米).
3.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点
在坐标轴上,求该抛物线的关系式.
解法一:
(配方法):
y=x2-(a+2)x+
∴顶点为(
).当顶点在y轴上时,
=0,∴a=-2.
当顶点在x轴上时,
=0,
∴a1=-8,a2=4.
因此抛物线关系式为y=x2+9或y=x2+6x+9或y=x2-6x+9.
解法二:
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(
,
),
∴抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点为(
).
以下同解法一.
解法三:
当抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在x轴上,即该抛物线与x轴只有一个交点时,Δ=[-(a+2)]2-4×1×9=0.解得a=4或-8.
当抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在y轴上时,该抛物线对称轴为y轴.
∴-(a+2)=0,∴a=-2.
4.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0)与(2,5)两点.
(1)求这个二次函数关系式;
(2)请你换掉题目中的部分已知条件,重新设计一个求二次函数y=ax2+bx+c关系式的题目,使所求得的关系式与
(1)相同.
解:
(1)把x=1,y=0;x=2,y=5代入y=ax2+bx+c,得
∴y=x2+2x-3.
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-1,-4),与y轴交于(0,-3),求这个二次函数关系式.
5.某校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高
m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3m.
(1)建立如图26-1-5所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截,已知
乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
图26-1-5
解:
(1)由题意可知,抛物线经过(0,
),顶点坐标是(4,4).设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4,解得a=
,所以抛物线的解析式是y=
(x-4)2+4;篮圈的坐标是(7,3),只要这个点在抛物线上,球就能够投中.代入解析式得y=
(7-4)2+4=7,所以能够投中.
(2)能够获得成功就要看1m处的纵坐标是多少,大于3.1就不能成功.当x=1时,y=3,所以能够盖帽拦截成功.
6.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次
函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
此时每日销售利润是多少元?
解:
(1)设此一次函数解析式为y=kx+b,则
∴k=-1,b=40,
即一次函数解析式为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元,
w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.
7.图26-1-6是多边形的边数及对角线条数的图,仔细分析后完成下面的题目.
图26-1-6
(1)按图中的规律填写下表:
边数n
4
5
6
7
8
对角线的条数s
2
5
9
(2)根据表中的数据,以s为纵
坐标,n为横坐标,描点并用平滑的曲线连结后观察其形状;
(3)能否用关系式表示s与n的关系?
解:
(1)
边数n
4
5
6
7
8
对角线的条数s
2
5
9
14
20
(2)图略,图象是抛物线的一部分.
(3)方法一:
由规律得s=n(n-3)÷2=
n2-
n.
方法二:
设解析式为s=an2+bn+c,将(4,2),(5,5),(6,9)代入求得
a=
b=
c=0.
8.已知二次函数y=4x2+bx+
(b2+b),当b取任何实数时,它的图象是一条抛物线.
(1)现在有如下两种说法:
①b取任何不同的数值时,所对应的抛物线都有着完全相同的形状;
②b取任何不同的数值时,所对应
的抛物线都有着不相同的形状.你认为哪一种说法正确,为什么?
(2)若取b=-1,b=2时对应的抛物线的顶点分别为A、B,请你求出直线AB的解析式,并判断:
当b取其他实数值时,所对应的抛物线的顶点是否在这条直线上?
说明理由.
(3)在
(2)中所确定的直线上有一点C且点C的纵坐标为-1,问在x轴上是否存在点D使△COD为等腰三角形?
若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,简单说明理由.
解:
(1)抛物线的形状和开口方向只决定于二次项系数的值,与一次项的系数、常数项无关.所以①的说法是正确的.
(2)当
b=-1时,顶点坐标是A(
,
);当b=2时,顶点
坐标是B(
,
),所以直线AB的解析式是y=-
x.
二次函数y=4x2+bx+
(b2+b)的顶点坐标可以表示为(
),它们始终在直线y=-
x上.
(3)如图,存在三个满足条件的点,它们的坐标分别是(4,0),(
,0),(
,0).