复变函数与积分变换总结.docx
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复变函数与积分变换总结
[复变函数与积分变换][总结]
《复变函数与积分变换》复习要点
（1）复数的运算和复函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数）值的计算；
（2）判别复函数的连续性、可导性和解析性（包括Cauchy－Riemann方程）；（3）求复积分（包括利用Cauchy－Goursat基本定理和留数定理）；（4）求共轭调和函数；
（5）求复函数的Taylor级数和Laurent级数；（6）求留数及其在积分中的应用；
（7）Fourier正逆变换公式以及七条常用性质（线性、位移、微分、积分、卷积、乘积、相似性质）；（8）Laplace正逆变换公式以及七条常用性质（线性、微分、积分、位移、延迟、卷积、相似性质）；（9）利用Laplace变换求解线性微分方程（组）；
（10）1,t,u（t）,et,（t）,sinkt,coskt的Fourier变换公式和Laplace变换公式．Fourier变换公式
12（）；t2j（）；u（t）1t2（j）；（t）1；（）；ejsinktj[（k）（k）]；coskt[（k）（k）]．
Laplace变换公式
1111；t2；u（t）；
ssset1kscoskt；（t）1；sinkt2；．
ssk2s2k2计算题．例1．计算
Ln（1i）,sin（i），ii．
1ln2i（2k）；24解Ln（1i）ln1iiArg（1i）1iz1i（i）11izi（i）sin（i）（ee）[ee]（ee）i；
2i2i2ziie
iiLniei[lniiArgi]e2k2,（kZ）．
（大写L）（大写Z）
例2．问函数f（z）yix在何处连续？
何处可导？
何处解析？
（zxiy）．解uy2,vx2．
22u（x,y）,v（x,y）在实平面处处连续，f（z）在复平面处处连续．
f（z）仅在直线xy0上可导；但直线不含邻域，f（z）无
ux0vy0xy0，uy2yvx2x处解析．例3．计算I解记f（z）1dzz，其中曲线Ｃ为（a）圆周的正向；（b）圆周z2的正向．
C（zi）3（z3i）21．
（zi）3（z3i）（a）f（z）在曲线Ｃ内部解析，根据Cauchy－Goursat基本定理，I0．（b）f（z）有奇点z1i，三级极点．利用留数定理，
I2iRes[f（z）,i]2i例4．
1（zi）lim．2!
zi（zi）3（z3i）323P103．30
（2）,（3）．（共轭调和函数）PP例5．143．11（4），12（3）,16（3）,（5）．
例6．183．1
（2）,（7）,8（3）,9（5）．
例7．《积分变换》例8．
P29．3
（1）,16．
P51．3,5（3）,（6）．
t5（3）据P12例1，Fe1u（t）,（0），利用线性性质和象函数位移性质得
jFe
t1j0tj0ttcos0tu（t）F（ee）eu（t）
11j0ttF{e[eu（t）]}F{ej0t[etu（t）]}
221111jj22象函数位移性质2j2（j）００0 5（6）
．
F[ej0ttu（t）]象函数F[tu（t）]象函数jF[[jtu（t）]位移性质0微分性质0
1j（）j例9．
0112j（）j（0）．20（0）P92．1
（2）,（3）,（8）,3
（1）（利用性质计算）．PP10．51（10）．
例10．100．3（3）,（7）,
例11．135．1（6）,4
（2）．
P201*/201*学年第一学期《复变函数与积分变换B》课程考核试卷A√、B□
课程代码2201*142学分/学时数5/40任课教师_______
课程性质必修□、限选□、任选□考试形式开卷□、闭卷√
适用年级/专业_全校工科类各专业_考试时间100分钟……………………………………………………………………………………………………………………
学号姓名__________得分_______________
注意务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分．
一．填空题（每小题5分，共15分．可以增补一个中间式）
1．计算函数值cos（2i）=_______________________________________________________________；
3i=_______________________________________________________________________________．
2．函数f（t）1在z01处的Taylor级数为___________________________________________；2z其收敛半径为________________________________________________________________________．3．若C是圆周z10的正向，则二．（10分）试问函数f（z）e三．（12分）计算积分I=C1sindz的值为_________________________________．z1C4yix4（其中zxiy）在何处连续？
何处可导？
何处解析？
为什么？
zdz，其中曲线C为2（z3i）（z1）（a）圆周z0.5的正向；（b）圆周z11的正向．四．（8分）试将函数f（z）5在区域1z1内展开成Laurent级数．
（z1）（z2）五．（10分）试指出f（z）sinz在有限复平面内的孤立奇点及其类型，并求各孤立奇点处的留数．
z（z5i）六．（16分）
（1）试求f（t）2u（t3）cos（4t）的Fourier变换；
（2）试求f（t）e3jt（t2）t的Fourier变换．
七．（16分）
（1）设函数f（t）以2为周期，且f（t）kt,t[0,2]．试求f（t）的Laplace变换（k为常数）；
（2）试求
f（t）t（t）sinktdt
0t的Laplace变换（k为常数）．
八．（13分）试用积分变换法求解初值问题
xx2x2,（其中xx（t）为未知函数）．
x（0）0,x（0）2,
201*/201*学年第一学期《复变函数与积分变换A》课程考核试卷A√、B□
课程代码2201*141学分/学时数3/48任课教师________
课程性质必修□、限选□、任选□考试形式开卷□、闭卷√
适用年级/专业_全校工科类各专业_考试时间_100分钟…………………………………………………………………………………………………………………
学号姓名__________得分_______________
注意务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分．
一．填空题（每小题6分，共18分．可以增补一个中间式）
1．复数Ln（2i）=_______________________________，其主值为______________________________．2．f（z）cos（z2）在z0＝0处的Taylor级数为_____________________________________________；收敛半径为___________________________________________________________________________．3．计算积分
2i0zezdz的值_____________________________________________________________．
二．（10分）试求解析函数f（z）u（x,y）iv（x,y），其中zxiy，v（x,y）2（x1）y，f（0）1．
ez三．（13分）计算积分I=dz，其中曲线C为2Cz（zi）（a）圆周z10.5的正向；（b）圆周z5的正向．四．（9分）试将函数f（z）10在区域1z2内展开成Laurent级数．
（z1）（z2）x2dx五．（5分）计算广义积分I＝．
16x
六．（16分）
（1）求f（t）t（t2）1的Fourier变换；
（2）求f（t）e2tjtcos（2t）的Fourier变换．七．（16分）
（1）试求f（t）e2tu（t3）sin4t的Laplace变换；
（2）按照积分变换第二章，计算卷积u（t）t2．
x2xxe2t1八．（13分）试用积分变换法求解初值问题
x（0）0,x（0）2,（其中xx（t）为未知函数）．
寄语当代大学生“刻苦学习，勇于实践，立志创业”。
扩展阅读复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点
（一）复数的概念
复数的概念zxiy，x,y是实数,
xRez,yImz.i2
注一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.复数的表示1）模zx2y2；
2）幅角在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于（,]中的幅角。
3）argz与arctany之间的关系如下
xy；xyxyx当x0,
argzarctany0,argzarctan当x0,y0,argzarctan；
4）三角表示zzcosisin，其中argz；注中间一定是“+”号。
5）指数表示z
（二）复数的运算
加减法若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2乘除法
1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；
zei，其中argz。
z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2z1ei1,z2z2ei2,
。
2）若z1则
z1z2z1z2e1i2；z1z2z1z2e1i2
乘幂与方根1）若z2）若zn1nz（cosisin）zei，则znz（cosnisinn）zeinnn。
z（cosisin）zei，则
2k2kzzcosisinnn（k0,1,2n1）（有n个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2．复初等函数
1）指数函数ezexcosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ezez。
注ez是以2i为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）3）对数函数
Lnzlnzi（argz2k）（k0,1,2）（多值函数）；
主值lnzlnziargz。
（单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处
解析，且lnz1；
z注负复数也有对数存在。
（与实函数不同）
3）乘幂与幂函数abebLna（a0）；zbebLnz（z0）
注在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb1。
eizeizeizeizsinzcosz,cosz,tgz,ctgz4）三角函数sinz2i2coszsinz
sinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz
注有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）
4）双曲函数
shzezezezezshz,chz22；
平面内解析，且
奇函数，chz是偶函数。
在sh,zchzzshzc,hzchz。
shz
（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导
fz0=limfz0zfz0zz0；
2）区域可导fz在区域内点点可导。
2．解析函数的概念
1）点解析fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点解析；2）区域解析fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若f（z）在z0点不解析，称z0为fz的奇点；
3．解析函数的运算法则解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件fzux,yivx,y在zxiy可导
ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件
uvyxuv,xy此时，有fzuiv。
xx2．函数解析的充要条件fzux,yivx,y在区域内解析
ux,y和vx,y在x,y在
uv；yxD内可微，且满足
CD条件
uv,xy此时fzuiv。
xx注意若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y在区域D内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f（z）uiv一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数fz是以z的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
1．复变函数积分的概念cfzdzlimfkzk，c是光滑曲线。
nk1注复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2．复变函数积分的性质1）2）
nfzdzccc1fzdz（c1与c的方向相反）；
cc[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常数；
123）若曲线c由c1与c2连接而成，则cfzdzcfzdzcfzdz。
3．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分cfzdzcudxvdyicvdxudy；（常用于理论证明）2）参数方法设曲线c
zzt（t），其中对应曲线c的起
点，对应曲线c的终点，则cfzdz[f）。
tdtz]t（z（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西古萨基本定理设fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则
fzdz0
c2．复合闭路定理设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn为边界的区域全含于D内，则
fzdz,其中c与ck均取正向；①fzdzk1cckn1②fzdz0，其中由c及c（k1,2,n）所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分设fz在单连域B内解析，Gz为fz在B内的一个原函数，则zz21fzdzGz2Gz1（z1,z2B）
说明解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式设fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于
4
D，z0为c内任意一点，则
zzdz2ifz
c00fz6．高阶导数公式解析函数fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为
fz2idzc（zz）n1n!
0fnz0（n1,2）
其中c为fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。
7．重要结论
2i,1dzn1（za）0,cn0n0。
（c是包含a的任意正向简单闭曲
线）
8．复变函数积分的计算方法
1）若fz在区域D内处处不解析，用一般积分法
fzdzcf[zt]ztdt
2）设fz在区域D内解析，
c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，cfzdz0c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有
z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1
3）设fz在区域D内不解析
fzdz2ifz0czz0曲线c内仅有一个奇点（f（z）在c内解析）fzdz2ifnz0c（zz）n1n!
0n曲线c内有多于一个奇点fzdz（ci内只有一个奇fzdzck1ck
点zk）
或fzdz2iRes[f（z）,zk]（留数基本定理）
ck1n若被积函数不能表示成算。
fz（zzo）n1，则须改用第五章留数定理来计
（八）解析函数与调和函数的关系
1．调和函数的概念若二元实函数（x,y）在D内有二阶连续偏导数
22且满足220，
xy（x,y）为D内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系
解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。
两个调和函数u与v构成的函数f（z）uiv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西
黎曼方程，则uiv一定是解析函数。
3．已知解析函数fz的实部或虚部，求解析函数fzuiv的方法。
1）偏微分法若已知实部uux,y，利用CR条件，得v,v；
xy对vu两边积分，得vudygx（*）
yxx再对（*）式两边对x求偏导，得vxudygxxx（**）
gx；
由CR条件，uv，得uyxyudygx，可求出xx
代入（*）式，可求得虚部vudygx。
x2）线积分法若已知实部
dvvvuudxdydxdy，xyyxx,y00uu,xy，利用
CR条件可得
故虚部为vx,yudxudyc；
yx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x0,y0与x,y是解析区域中的两点。
3）不定积分法若已知实部uux,y，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，
fzuvuuiixyxy将此式右端表示成z的函数Uz，由于fz仍为解析函数，故
fzUzdzc（c为实常数）注若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1．复数列的极限
1）复数列{n}{anibn}（n1,2）收敛于复数abi的充要条件为
limana,nlimbnb
n（同时成立）
2）复数列{n}收敛实数列{an},{bn}同时收敛。
2．复数项级数
1）复数项级数n（nanibn）收敛的充要条件是级数an与bn同
n0n0n0时收敛；
n0。
2）级数收敛的必要条件是limn
注复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。
（十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念表达式cn（zz0）或cnzn为幂级数。
nn0n02．幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理（Abel）如果幂级数cnzn在z00n0处收敛，那么对满足zz0的一切z，该级数绝对收敛；如果在的一切z，级数必发散。
z0处发散，那么对满足zz02）幂级数的收敛域圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。
3）收敛半径的求法收敛圆的半径称收敛半径。
cn1比值法如果limncn0，则收敛半径R1；
根值法
limcn0，则收敛半径Rn1；
如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛；
如果，则R0；说明仅在zz0或z0点收敛；
注若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。
（如cnz2n）
n03．幂级数的性质
1）代数性质设anz,bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记
nn0n0RminR1,R2，
则当zR时，有
nn（an0nbn）zanzbnzn
n0n0（线性运算）
（乘积运算）
（anz）（bnz）（anb0an1b1a0bn）znnnn0n0n02）复合性质设当且gzr，
则当zr时，fannn0，当zR时，gz解析
R时，f[gz]an[gz]n。
n03）分析运算性质设幂级数anzn的收敛半径为R0，则
n0其和函数fzanzn是收敛圆内的解析函数；
n0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且
zR
fznanzn1
n0
在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；0fzdzzR
zann1zn0n1
（十一）幂函数的泰勒展开泰勒展开设函数fz在圆域zz0可以展开成幂级数fzn0R内解析，则在此圆域内fzfnz0n!
n并且此展开式是唯一的。
zz0；
注若fz在z0解析，则fz在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径Rz0a；
其中R为从z0到fz的距z0最近一个奇点a之间的距离。
2．常用函数在z00的泰勒展开式
1nz2z3zn1）ez1z
2!
3!
n!
n0n!
z12）zn1zz2zn
1zn0z
z1
（1）n2n1z3z5
（1）n2n13）sinzzzz
3!
5!
（2n1）!
n0（2n1）!
z
（1）n2nz2z4
（1）n2n4）coszz1z
（2n）!
2!
4!
（2n）!
n0z
3．解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法直接求出cn1fnz0n!
，于是fzcnzz0n。
n02）间接法利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。
（十二）幂函数的洛朗展开
洛朗级数的概念cnzz0n，含正幂项和负幂项。
n2．洛朗展开定理设函数fz在圆环域R1zz0R2内处处解析，
c为圆环域内绕z0的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆
环域内，有fzcnzz0n，且展开式唯一。
n3．解析函数的洛朗展开法洛朗级数一般只能用间接法展开。
*4．利用洛朗级数求围线积分设fz在rrzz0R内的任何一条正向简单闭曲线，则c1为f（z）在rzz0R内洛朗展开式中
zz0R内解析，c为
fzdz2ic。
其中
c11zz0的系数。
说明围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中（zz0）1的系
数。
（十三）孤立奇点的概念与分类
1。
孤立奇点的定义fz在z0点不解析,但在z0的0析。
2。
孤立奇点的类型
1）可去奇点展开式中不含
fzc0c1zz0c2zz0
2zz0内解
zz0的负幂项；
2）极点展开式中含有限项zz0的负幂项；
c（m1）gzcmc12fzcc（zz）c（zz）,01020（zz0）m（zz0）m1（zz0）（zz0）m其中gzcmc（m1）（zz0）c1（zz0）m1c0（zz0）m在z0解析，且gz00,m1,cm0；
3）本性奇点展开式中含无穷多项zz0的负幂项；
fzcmc1mcc（zz）c（zz）010m0m（zz0）（zz0）
（十四）孤立奇点的判别方法
fzc0常数；1．可去奇点zlimz0fz2．极点zlimz0fz不存在且不为。
3．本性奇点zlimz04．零点与极点的关系
1）零点的概念不恒为零的解析函数fz，如果能表示成
fz（zz0）mz，
其中z在z0解析，z00,m为正整数，称z0为fz的m级零点；2）零点级数判别的充要条件
z0是
nfz00,fz的m级零点mfz00（n1,2,m1）
1的m级极点；fz3）零点与极点的关系z0是fz的m级零点z0是4）重要结论
若za分别是z与z的m级与n级零点，则
za是zz的mn级零点；
z当mn时，za是的mn级零点；
zz当mn时，za是的nm级极点；
zz当mn时，za是的可去奇点；
z当mn时，za是zz的l级零点，lmin（m,n）
当mn时，za是zz的l级零点，其中lm（n）（
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