复变函数长沙理工大学.docx
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复变函数长沙理工大学
课程教学大纲
“常微分方程
（一）”课程教学大纲
大纲执笔人：
梅宏大纲审核人：
王芳
课程编号：
0701000025
英文名称：
OrdinaryDifferentialEquations（I）
学分：
3
总学时：
48。
其中，讲授48学时
适用专业:
数学与应用数学、信息与计算科学专业本科学生。
先修课程：
数学分析，高等代数与解析几何
一、课程性质与教学目的
本课程适用于数学与应用数学、信息与计算科学专业本科学生。
本课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的专业基础课程，必修。
通过本课程的教学，使学生熟练掌握常微分方程的基本概念和基本理论、基本解法，对已学过的数学分析与高等代数知识有更深刻的认识，培养应用常微分方程的知识解决实际问题的能力；并了解现代数学如定性与稳定性的一些基本思想和方法，以利于进一步学习相关后续课程：
数学物理方程，泛函分析，数学模型，数学实验，常微分方程
（二）等。
二、基本要求
1．学习常微分方程基本理论时，学生要注意了解学科的理论特征，理解其思维方式，掌握基本的推理方法；
2．常微分方程的求解方法主要包含在初等积分法，线性方程与线性方程组的代数解法中，这是学习常微分方程的基本功，要求学生熟练掌握；
3．线性系统理论是常微分方程理论中不多见的比较完整的理论，其内容与线性代数的有关知识有密切关系，通过这部分内容的学习，使学生在高等代数有关理论的框架下，对常微分方程线性系统理论有更深层次的理解，有助于学生对数学理论的统一性加深理解；
4．定性和稳定性理论是常微分方程近代理论中重要的研究方向，本课程简略介绍问题的背景、解决问题的方法和重要结果，以此引发学生进一步深入学习常微分方程的兴趣；
5．由于常微分方程是一门与实际问题联系紧密的学科，在教学中，尽量多安排一些在物理、化学、生态学及几何学中常见的与之有关的实际问题，培养学生把实际问题转化成为数学问题的能力。
三、重点与难点
1．重点内容
五种基本初等积分法，解的存在与唯一性定理，常系数线性微分方程组的解法，n阶常系数线性方程的解法，平面自治系统的奇点分析。
2．难点内容
判断方程类型采用正确解法求解，解的存在与唯一性定理的证明，常系数线性微分方程组的特征方程有重特征根情况时特解的求法，线性非齐次微分方程的特解的求法，定性与稳定性有关基本概念的理解。
四、教学方法
课堂讲授。
五、课程知识单元、知识点及学时分配
知识单元
知识点
讲课
序号
描述
序号
描述
1
初等积分法
1
微分方程和解
16
2
变量可分离方程
3
齐次方程
4
一阶线性微分方程
5
全微分方程及积分因子
6
一阶隐式微分方程
7
几种可降阶的高阶方程
8
一阶微分方程应用举例
2
基本定理
1
常微分方程的几何解释
8
2
解的存在与唯一性定理
3
解的延展，奇解与包络
4
解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性
3
一阶线性微分方程组
1
一阶微分方程组
10
2
一阶线性微分方程组的一般概念
3
一阶线性齐次方程组的一般理论
4
一阶线性非齐次方程组的一般理论
5
常系数线性微分方程组的解法
4
n线性微分方程
1
n阶线性微分方程的一般理论
10
2
n阶常系数线性齐次方程解法
3
n阶常系数线性非齐次方程解法
4
二阶常系数线性方程与振动现象
5
拉普拉斯变换，幂级数解法大意
5
定性和稳定性理论简介
1
稳定性概念，李雅普诺夫第二方法
平面自治系统的定性方法
4
2
平面定性理论简介
6
总计
48
六、实验、上机与实训教学条件及内容（无）
七、作业要求
每两周交一次作业，每次12道题左右。
八、考核方式与要求
1．知识考核
占总成绩的80%，主要采用期末书面考试的方式评定：
闭卷考试。
2．能力考核
占总成绩的20%，主要根据作业、质疑、课堂讨论、出勤情况进行评定。
九、教材与主要参考书
1．推荐教材：
[1]黄启昌．常微分方程[M]．高等教育出版社，2008
2．主要参考书：
[1]王高雄．常微分方程[M]．高等教育出版社，2008
[2]丁同仁．常微分方程教程[M]．高等教育出版社，2008
[3]金福临．应用常微分方程[M]．复旦大学出版社，1991
[4]叶彦谦．常微分方程讲义[M]．人民教育出版社，1983
[5]王柔怀．常微分方程讲义[M]．人民教育出版社，1979
[6]林武忠．常微分方程[M]．科学出版社，2003
[7]钱祥征．常微分方程解题方法[M]．湖南科技出版社，1984
[8]王树禾．微分方程模型与混沌[M]．中国科技大学出版社，1999
“抽象代数”课程教学大纲
大纲执笔人：
赵康大纲审核人：
刘文军
课程编号：
0701000035
英文名称：
AbstractAlgebra
学分：
3
总学时：
48。
其中讲授48学时
适用专业:
数学与应用数学专业本科学生
先修课程：
高等代数
一、课程性质与教学目的
本课程是数学与应用数学专业的基础课程，必修。
抽象代数是现代数学的基础,既是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生必修的重要基础课。
抽象代数，包含有群、环、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
抽象代数与高等代数相比，在理论和思想方面有本质的飞跃，所涉及的概念都比高等代数及其他数学课程要抽象的多，这使的初学者倍感困难。
通过本课程的教学，使学生较好的掌握群、环等数学概念，强化对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
同时，也为学生进一步学习其它数学分支如代数学、群论、环论等学科研究提供必不可少的基础知识。
二、基本要求
要求学生理解映射、变换、代数运算的概念及运算律、代数系统的同态与同构、同构、自同构和等价关系、等价关系及集合的分类的关系、群的定义、群的单位元、逆元的性质、有限群及性质、群同态、群同构、变换群、置换群和循环群的有关概念及性质、子群、陪集、不变子群、商群的概念及相关性质、群的基本同态定理、群同态与不变子群的本质联系、环的定义及基本性质、整环、除环和域的概念及相关性质、无零因子环的特征及性质、子环的概念及相关性，理解环同态的概念、挖补定理、多项式环的构造及有关性质、理想、剩余类环、环同态、最大理想、环的商域的构造方法等概念和基本性质。
通过本课程的教学，使学生熟练掌握群、环和域的基本概念和基本理论等现代数学的基本内容，对已学过的代数知识有更深刻的认识以及对代数学的理论系统有初步的认识，并了解现代数学思想和方法，以利于进一步学习。
同时，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
学习本课的同学应当有具备初等代数，高等代数的背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。
三、重点与难点
1．教学重点
映射的基本概念，等价关系和集合的分类；群的基本概念与基本性质，循环群，置换群，子群和不变子群，商群及群的同态；环的基本概念与基本性质，无零因子环的特征，理想和最大理想的概念及其性质，整环的基本性质。
2．教学难点
群的定义，变换群的概念，不变子群，商群及群同态基本定理，一个群与其商群的子群对应关系定理；环的定义，子环和理想的概念，商环及环同态基本定理、环与其商环的子环之间的对应关系定理。
四、教学方法
在教法上注重课程基本概念的解释、基本理论和方法的介绍。
在教学中应重视相关历史背景知识的介绍，适当淡化抽象代数一些概念的抽象性，弱化部分定理的证明。
以教师讲授为主，采取自学与讲授相结合的方法，布置课后思考题，充分发挥学生的主动性。
对难理解的概念与定理证明尽量做到讲授的直观易懂与严密论证相结合，注重与高等代数的联系。
五、课程知识单元、知识点及学时分配
知识单元
知识点
讲课
序号
描述
序号
描述
1
基本概念
1
集合、映射、代数运算
8
2
代数运算的运算律
3
一一映射、变换、同态
4
同构、自同构、等价关系与集合的分类
2
群论
1
群的定义，单位元，逆元，消去律，掌握群的定义及其相关的基本概念
18
2
有限群的另一定义，群的同态，掌握有限群的概念，通过同态映射了解群与群之间的关系
3
变换群，掌握一类最简单的抽象群
4
置换群，掌握一类有限的非交换群
5
循环群，掌握循环群的结构及其性质，并掌握对循环的分类情况
6
子群及其陪集，掌握子群的判定条件，利用子群的陪集了解群的结构
7
不变子群、商群，掌握群的一类特殊子群并利用其来考察群的结构
8
同态与不变子群，利用群同态和不变子群来考察群的结构
3
环与域
1
加群，环的定义
22
2
交换律、单位元、零因子、整环，掌握关于环的一些基本概念及一类特殊的环
3
除环，域，掌握几类特殊的环，并讨论其结构
4
无零因子环的特征，掌握一类特殊子环并利用其来讨论群的结构（特征）
5
子环，环的同态，利用环同态考察环的结构
6
多项式环，掌握一类特殊的环
7
理想，剩余类环，通过学习理想来进一步了解环的结构，并利用理想来考察一类特殊的环（剩余类环）
8
同态与理想，最大理想，利用理想和同态进一步考察环结构
9
商域，了解一类特殊的域
4
总计
48
六、实验、上机与实训教学条件及内容（无）
七、作业要求
独立完成，并能准确运用基本概念、性质及相关定理给出一些简单结论的证明。
八、考核方式与要求
1．知识考核
占总成绩的70%。
期末考试采用闭卷考试。
2．能力考核
占总成绩的30%，根据作业、课堂讨论等能力、素质评定。
九、教材与主要参考书
1．推荐教材：
[1]张禾瑞．近世代数基础（修订本）[M]．高等教育出版社，1978
2．主要参考书：
[1]刘绍学．近世代数[M]．高等教育出版社，2000
[2]杨子胥．近世代数[M]．高等教育出版社，2000
“复变函数”课程教学大纲
大纲执笔人：
王芳大纲审核人：
刘文军
课程编号：
0701000115
英文名称：
ComplexAnalysis
学分：
3
总学时：
48。
其中，讲授48学时
适用专业:
数学与应用数学、信息与计算科学
先修课程：
数学分析、高等代数
一、课程性质与教学目的
复变函数是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业基础课，必修。
复变函数数学与应用数学专业、信息与计算科学专业既数学分析之后的一门重要的专业基础课程。
它是数学分析微积分学在复数域上的进一步讨论与发展。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本概念和基本理论，为后续专业课程的学习打下坚实的基础。
二、基本要求
要求学生了解复数，复平面上的点集，复变函数，复球面与无穷远点；初等多值解析函数的概念及初等多值解析函数的解析分支及支点概念；解析函数与调和函数的关系；复级数的基本性质；解析函数零点的孤立性及唯一性；幅角原理及其应用；Poisson积分公式。
理解复平面上的点集和复变函数的概念；解析函数概念与Cauchy-Riemann条件；初等解析函数的性质；复积分的概念及其简单性质，Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及其推论；幂级数概念和解析函数的Tayler展开；解析函数的Laurent展式和解析函数的孤立奇点；残数概念及残数定理；解析变换的特性和线性变换的映射性质；平均值定理和极值原理。
区别复变函数的解析与可导的定义，解析函数和调和函数的概念。
通过这门课程的教学使学生掌握掌握解析函数概念与Cauchy-Riemann条件；初等多值解析函数的值；复积分的概念及其简单性质，Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及其推论；幂级数概念和解析函数的Tayler展开；解析函数的Laurent展式和解析函数的孤立奇点；残数概念及残数定理，会用残数定理计算实积分；解析变换的特性和线性变换的映射性质，会用一些初等函数作简单区域间的保形变换；平均值定理和极值原理。
熟练掌握复积分的概念及其简单性质，Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及其推论，能熟练运用Cauchy积分定理和Cauchy积分公式；幂级数概念和解析函数的Tayler展开。
三、重点与难点
1．重点内容
解析函数的概念，Cauchy定理、Cauchy积分公式，解析函数的泰勒展式与罗朗展式，残数理论，保形变换。
2．难点内容
多值解析函数的概念、解析分支的划分及求值，唯一性定理，孤立奇点邻域内函数的性质，保形变换的应用。
四、教学方法
在教法上注重课程基本概念的解释、基本理论和方法的介绍。
在教学过程中重视相关数学分析知识的回顾，注重两门课程之间的联系与区别，要力求对在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法进行重点讲解，适当淡化复变函数一些概念的抽象性，弱化一些定理的证明。
以教师讲授为主，采取自学与讲授相结合的方法，布置课后思考题，充分发挥学生的主动性。
对难理解的概念与定理证明尽量做到讲授的直观易懂与严密论证相结合，概念的引入尽可能联系实际应用。
五、课程知识单元、知识点及学时分配
知识单元
知识点
讲课
序号
描述
序号
描述
1
复数与复变函数
1
课程内容、任务和学习方法
4
2
复数基本概念
3
复数的基本运算
4
复平面点集与复变函数
2
解析函数
1
解析函数的概念与柯西黎曼条件
6
2
初等解析函数
3
函数可导与解析的充要条件
4
初等函数多值函数
3
复变函数的积分
1
复变函数积分的概念及其简单性质
8
2
柯西积分定理及其推广
3
柯西积分公式及其推论
4
解析函数与调和函数的关系
4
解析函数的幂级数表示法
1
复数项级数，幂级数的基本性质
6
2
解析函数的泰勒展开式
3
解析函数的零点的孤立性及唯一性定理
5
解析函数的罗朗展式与孤立奇点
1
解析函数的罗朗展开式
6
2
解析函数的孤立奇点
3
解析函数在无穷远点的性质
4
整函数与亚纯函数的概念
6
残数理论及其应用
1
残数
6
2
残数在积分计算上的应用
3
辐角原理及其应用
7
保形映射
1
解析变换的特性
6
2
线性变换
3
某些初等函数构成的保形变换
4
关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理
8
调和函数
1
平均值与极值原理
6
2
Poisson积分公式与Dirichlet问题
3
总复习
8
总计
48
六、作业要求
见书上习题与练习册，每两周交一次作业。
七、考核方式与要求
1．知识考核
占总成绩的80%，主要采用期末书面考试的方式评定。
期末考试可采用闭卷考试。
2．能力考核
占总成绩的20%，其中根据作业、质疑、课堂讨论和自由选题报告等能力、素质等。
八、教材与主要参考书
1．推荐教材：
[1]钟玉泉．复变函数论[M]．高等教育出版社（第三版），2004
2．主要参考书：
[1]严镇军．复变函数[M]．中国科技大学出版社，1987
[2]阿尔福斯．复分析[M]．上海科学技术出版社，1984
“复变函数与积分变换B”课程教学大纲
大纲执笔人：
王芳大纲审核人：
刘文军
课程编号：
0701000125
英文名称：
ComplexAnalysisandIntegralTransformationB
学分：
3
总学时：
48。
其中，讲授48学时
适用专业:
工二、理一等本科专业学生
先修课程：
高等数学、线性代数
一、课程性质与教学目的
本课程是适合高等学校各理工科专业的一门重要的公共基础理论课程，必修。
复变函数与积分变换B是工科专业既高等数学之后的一门重要的公共基础理论课程，是现代科学技术的重要理论基础。
它是微积分学在复数域上的进一步讨论与发展。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法。
知道复变函数与积分变换在众多领域如理论物理，空气动力学、流体力学、弹性力学、地质学、自动控制、电子技术及通讯网络等等的广泛应用。
也是后继相关专业课的基础。
二、基本要求
要求学生了解复数的运算，区域，复变函数，复数项级数的基本概念，了解复变函数的极限和连续的概念，了解傅里叶变换与拉普拉斯变换产生的背景知识；理解复变函数解析的概念及充要条件，初等函数的函数值的计算，复变函数积分的概念，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，孤立奇点的概念与判定方法，留数定理，用留数计算定积分的方法，拉普拉斯变换的概念和性质，拉普拉斯逆变换的计算。
区别泰勒展开定理与圆环内的解析函数洛朗展开定理，区别解析函数与调和函数。
通过这门课程的教学使学生掌握解析函数的判断，初等函数的函数值的计算，复变函数积分的计算，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，留数定理及其应用，拉普拉斯变换的概念和性质，拉普拉斯逆变换的计算，利用拉普拉斯变换求解微分方程与积分方程。
熟练掌握如何利用留数计算复变函数的积分。
在应用方面，使学生掌握留数在定积分中的应用，并能够利用拉普拉斯变换解微分方程与积分方程。
三、重点与难点
1．重点内容
初等函数，洛朗级数，柯西积分定理，解析函数展成洛朗级数，解析函数和调和函数的关系，利用留数求复变函数的积分，留数在实积分中的应用，拉氏变换的应用（求无穷积分、解微分方程）。
2．难点内容
函数解析的概念，柯西积分定理，孤立奇点的概念及分类，傅氏变换的概念和性质，拉氏变换的概念和性质，傅氏变换和拉氏变换在工程方面的应用。
四、教学方法
在教法上注重课程基本概念的解释、基本理论和方法的介绍。
在教学过程中重视相关高等数学知识的回顾，注重两门课程之间的联系与区别，要力求对在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法进行重点讲解，适当淡化复变函数一些概念的抽象性，弱化一些定理的证明。
以教师讲授为主，采取自学与讲授相结合的方法，布置课后思考题，充分发挥学生的主动性。
对难理解的概念与定理证明尽量做到讲授的直观易懂与严密论证相结合，概念的引入尽可能联系实际应用。
五、课程知识单元、知识点及学时分配
知识单元
知识点
讲课
序号
描述
序号
描述
1
复数与复变函数
1
课程内容、任务和学习方法
4
2
复数基本概念
3
复数的基本运算
2
解析函数
1
复变函数的定义，极限，连续
8
2
解析函数的概念
3
函数可导与解析的充要条件
4
初等函数
3
复变函数的积分
1
复变函数积分的概念
8
2
柯西古萨定理及其推广
3
柯西积分公式及其推论
4
解析函数与调和函数的关系
4
解析函数的级数表示法
1
复数项级数，幂级数
6
2
解析函数的泰勒展开式，洛朗展开式
3
孤立奇点
5
留数理论及其应用
1
留数
8
2
留数在积分计算上的应用
3
总结复变函数部分的知识点
6
傅立叶变换
1
傅立叶变换
6
2
单位脉冲函数及其傅立叶变换
3
傅立叶变换的性质
4
卷积
7
拉普拉斯变换
1
拉普拉斯变换定义
8
2
拉普拉斯变换性质
3
拉普拉斯逆变换
4
拉普拉斯变换的应用
8
总计
48
六、作业要求习
书上题以及对应的练习册，每两周交一次作业。
七、考核方式与要求
1．知识考核
占总成绩的80%，主要采用期末闭卷考试的方式评定。
2．能力考核
占总成绩的20%，其中根据作业、质疑、课堂讨论和自由选题报告等能力等。
八、教材与主要参考书
1．推荐教材：
[1]马柏林，李丹衡，晏华辉.复变函数与积分变换[M]．复旦大学出版社，2007
2．主要参考书：
[1]钟玉泉．复变函数．高等教育出版社[M]，1996
[2]田根宝．复变函数与积分变换[M]．上海交通大学出版社，1996
[3]周肇锡．拉普拉斯变换与傅里叶变换[M]．（修订本）．国防工业出版社，1990
“复变函数与积分变换C”课程教学大纲
大纲执笔人：
王芳大纲审核人：
刘文军
课程编号：
0701000135
英文名称：
ComplexAnalysisandIntegralTransformationC
学分：
2
总学时：
32。
其中，讲授32学时
适用专业:
工一等本科专业学生
先修课程：
高等数学、线性代数
一、课程性质与教学目的
本课程是适用于工一专业的一门公共基础理论课程，选修。
复变函数与积分变换C工一专业是既高等数学之后的一门重要的公共基础理论课程，是现代科学技术的重要理论基础。
它是微积分学在复数域上的进一步讨论与发展。
通过本课程的教学和学习，使学生掌握复变函数的基本理论和方法，掌握复变函数积分的一些基本计算方法。
为后续专业基础课程的学习打好基础。
二、基本要求
要求学生了解复数的运算，区域，复变函数，复数项级数的基本概念，了解复变函数的极限和连续的概念，了解傅里叶变换与拉普拉斯变换产生的背景知识和卷积定理；理解复变函数解析的概念及充要条件，初等函数的函数值的计算，复变函数积分的概念，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，孤立奇点的概念与判定方法，留数定理，用留数计算定积分的方法，拉普拉斯变换的概念和性质，拉普拉斯逆变换的计算。
区别泰勒展开定理与圆环内的解析函数洛朗展开定理，区别解析函数与调和函数。
通过这门课程的教学使学生掌握解析函数的判断，初等函数的函数值的计算，复变函数积分的计算，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，留数定理及其应用，拉普拉斯变换的概念和性质，拉普拉斯逆变换的计算。
熟练掌握如何利用留数计算复变函数的积分。
在应用方面，使学生掌握留数在定积分中的应用，并能够利用拉普拉斯变换解微分方程。
三、重点与难点
1．重点内容
初等函数第性质与计算，解析函数的概念与性质，柯西积分定理及其应用，洛朗展开式，解析函数和调和函数的关系，利用留数求复变函数的积分。
2．难点内容
函数解析的概念，柯西积分定理，孤立奇点的概念及分类，拉氏变换的概念和性质。
四、教学方法
在教法上注重课程基本概念的解释、基本理论和方法的介绍。
在教学过程中重视相关高等数学知识的回顾，注重两门课程之间的联系与区别，要力求对在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法进行重点讲解，适当淡化复变函数一些概念的抽象性，弱化一些定理的证明。
以教师讲授为主，采取自学与讲授相结合的方法，布置课后思考题，充分发挥学生的主动性。
对难理解的概念与定理证明尽量做到讲授的直观易懂与严密论证相结合，概念的引入尽可能联系实际应用。
五、课程知识单元、知识点及学时分配
知识单元
知识点
讲课
序号
描述
序号
描述
1
复数与复变函数
1
课程内容、任务和学习方法
4
2
复数基本概念
3
复数的基本运算
2
解析函数
1
复变函数的定义，极限，连续
6
2
解析函数的概念
3
函数可导与解析的充要条件
4
初等函数
3
复变函数的积分
1
复变函数积分的概念
8
2
柯西古萨定理及其推广
3
柯西积分公式及其推论
4
解析函数与调和函数的关系
4
解析函数的级数
升级会员 