初中数学联赛试题参考答案解析及评分标准版.docx

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初中数学联赛试题参考答案解析及评分标准版

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准

说明：

评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试（A）

一、选择题：

（本题满分42分，每小题7分）

1．设二次函数y=x2+2ax+

a2

的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为等边三角

2

形时，其边长为

（

）

A.6．

B.22．C.23．

D.32．

【答】C.

由题设知A（-a,-

a

2

）.设B（x,0），C（x

0），二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为D，则

2

1

2

=4a2-4⨯

a2

BC=|x-x

2

|=（x+x

）2

-4xx

2

=2a2.

1

1

2

1

2

a2

3

3

又AD=

BC，则|-

|=

⋅

2a2，解得a2=6或a2

=0（舍去）.

2

2

2

所以，△ABC的边长BC=

2a2

=2

.

3

2．如图，在矩形

ABCD

∠BAD

的平分线交

BD

于点

E

AB=1∠CAE=15︒

，则

BE=

）

中，

，

，

（

3

2

-1．D.

-1．

A.

．

B.

．

C.

2

3

A

D

2

3

【答】D.

E

延长AE交BC于点F，过点E作BC的垂线，垂足为H.

由已知得∠BAF=∠FAD=∠AFB=∠HEF=45︒，BF=AB=1，

B

C

H

F

∠EBH=∠ACB=30︒.

设BE=x，则HF=HE=

x

，BH=

3x

.

2

2

因为BF=BH+HF，所以1=

3x

+

x

，解得x=

-1.所以BE=

-1.

3

3

2

2

3．设p,q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对（p,q）的个数为（

）

A.1．

B.2．

C.3．

D.4．

【答】B.

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准

第1页（共10页）

设p2+5pq+4q2=m2（m为自然数），则（p+2q）2+pq=m2，即

（m-p-2q）（m+p+2q）=pq.

由于p,q为素数，且m+p+2q>p,m+p+2q>q，所以m-p-2q=1，m+p+2q=pq，从

而pq-2p-4q-1=0，即（p-4）（q-2）=9，所以（p,q）=（5,11）或（7,5）.

所以，满足条件的素数对（p,q）的个数为2.

4．若实数a,b满足a-b=2，

（1-a）2

（1+b）

2

5

5

-

=4，则a

-b

=

（

）

a

b

A.46．

B.64．

C.82．

D.128．

【答】C.

（1-a）2

（1+b）2

由条件

-

=4得a-b-2a2-2b2-4ab+a3

-b3=0，

b

a

即（a-b）-2[（a-b）2

+4ab]+（a-b）[（a-b）2+3ab]=0，

又a-b=2，所以2-2[4+4ab]+2[4+3ab]=0，解得ab=1.所以a2+b2=（a-b）2+2ab=6，

a3-b3=（a-b）[（a-b）2+3ab]=14，a5-b5=（a2+b2）（a3-b3）-a2b2（a-b）=82.

5．对任意的整数x,y，定义x@y=x+y-xy，则使得（x@y）@z+（y@z）@x+（z@x）@y

=0的整数组（x,y,z）的个数为

（

）

A.1．

B.2．

C.3．

D.4．

【答】D.

（x@y）@z=（x+y-xy）@z=（x+y-xy）+z-（x+y-xy）z=x+y+z-xy-yz-zx+xyz，

由对称性，同样可得

（y@z）@x=x+y+z-xy-yz-zx+xyz，（z@x）@y=x+y+z-xy-yz-zx+xyz.

所以，由已知可得x+y+z-xy-yz-zx+xyz=0，即（x-1）（y-1）（z-1）=-1.

所以，x,y,z为整数时，只能有以下几种情况：

⎧x-1=1,

⎧x-1=1,

⎧x-1=-1,

⎧x-1=-1,

⎪

⎪

⎪

=1,

⎪

=-1,

⎨y-1=1,

或⎨y-1=-1,

或⎨y-1

或⎨y-1

⎪

⎪

⎪

=1,

⎪

-1

=-1,

⎩z-1=-1,

⎩z-1=1,

⎩z-1

⎩z

所以，（x,y,z）=（2,2,0）或（2,0,2）或（0,2,2）或（0,0,0），故共有4个符合要求的整数组.

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第2页（共10页）

6．设M=

1

+

1

+

1

++

1

，则

1

的整数部分是

（

）

2018

2019

2020

2050

M

A.60．

B.61．

C.62．

D.63．

【答】B.

因为M<20181⨯33，所以M1>201833=61335.

又M=（20181+20191++20301）+（20311+20321++20501）>20301⨯13+20501⨯20=832301345，

所以M1<832301345=6111851345，故M1的整数部分为61.

二、填空题：

（本题满分28分，每小题7分）

1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=48︒，

则∠B=_______．

【答】84︒.

A

F

设BC的中点为G，连结FG交CE于H，由题设条件知FGCD为菱形.

D

由AB//FG//DC及F为AD的中点，知H为CE的中点.

又CE⊥AB，所以CE⊥FG，所以FH垂直平分CE，故

E

H

∠DFC=∠GFC=∠EFG=∠AEF=48︒.

B

C

G

所以∠B=∠FGC=180︒-2⨯48︒=84︒.

2．若实数x,y满足x3+y3+

1

（x+y）=

15

，则x+y的最大值为

．

42

【答】3.

由x3+y3+1（x+y）=15可得（x+y）（x2-xy+y2）+1（x+y）=15，即

4242

（x+y）（x2-xy+y2+

1

）=

15

.

①

4

2

令x+y=k，注意到x2-xy+y2+14=（x-2y）2+43y2+14>0，故x+y=k>0.

又因为x2-xy+y2+14=（x+y）2-3xy+14，故由①式可得k3-3xyk+14k=152，所以

k3+

1

k-

15

xy=

4

2

.

3k

k3+

1

k-

15

于是，x,y可看作关于t的一元二次方程t2-kt+

4

2

=0的两根，所以

3k

k

3+

1

k-

15

2

∆=（-k）2-4⋅

4

≥0，

3k

化简得k3

+k-30≤0，即（k-3）（k2+3k+10）≤0，所以0

故x+y的最大值为3.

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准

第3页（共10页）

3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．

【答】21504.

显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.

当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为8⨯7⨯8⨯7⨯6=18816个.

当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8⨯8⨯7⨯6=2688个.

所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504（个）.

4．已知实数a,b,c满足a+b+c=0

2

2

2

a5

+b5

+c5

，a

+b

+c

=1

，则

=

．

abc

【答】

5

.

2

由已知条件可得ab+bc+ca=

1

[（a+b+c）2

-（a2+b2+c2）]=-

1

，a3

+b3

+c3=3abc，所以

2

2

a5+b5+c5=（a2+b2+c2）（a3+b3+c3）-[a2（b3+c3）+b2（a3+c3）+c2（a3+b3）]

=3abc-[a2b2（a+b）+a2c2（a+c）+b2c2（b+c）]=3abc+（a2b2c+a2c2b+b2c2a）

=3abc+abc（ab+bc+ca）=3abc-12abc=52abc.

a5+b5+c5=5

所以abc2.

第一试（B）

一、选择题：

（本题满分42分，每小题7分）

1．满足（x2

+x-1）x+2=1的整数x的个数为

（

）

A.1．

B.2．

C.3．

D.4．

【答】C.

当x+2=0且x2+x-1≠0时，x=-2.

当x2+x-1=1时，x=-2或x=1.

当x2+x-1=-1且x+2为偶数时，x=0.

所以，满足条件的整数x有3个.

2．已知

x1,x2,x3（x1

3x

2+

（a

+

2）x

-a=0的三个实数根，则

4x1-x12+x22+x32=

（）

A.5．

B.6．

C.7．

D.8．

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准

第4页（共10页）

【答】A.

方程即（x-1）（x2

-2x+a）=0，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小

于1，另一根大于1，于是x2

=1,x1+x3=2，故

4x-x2

+x2

+x2

=（x+x）（x-x）+4x+1=2（x-x）+4x+1

=2（x+x）+1=5.

1

1

2

3

3

1

3

1

1

3

1

1

3

1

3．已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD=4CE，∠EFB=∠FBC，则

tan∠ABF=

（

）

A.

1

．

B.

3

．

C.

2

．

D.

3

．

2

5

2

2

【答】B.

不妨设CD=4，则CE=1,DE=3.设DF=x，则AF=4-x，EF=

x2+9.

作BH⊥EF于点H.因为∠EFB=∠FBC=∠AFB，∠BAF=90︒=∠BHF，BF公共，所以

△BAF≌△BHF，所以BH=BA=4.

由S四边形

=S∆ABF+S∆BEF+S∆DEF+S∆BCE得

A

F

D

ABCD

1

1

1

1

42=

⋅4⋅（4-x）+

⋅4⋅x2

+9+

⋅3⋅x+

⋅4⋅1，

2

2

2

2

H

8

解得x=

.

5

E

12

AF

3

C

所以AF=4-x=5，tan∠ABF=AB=

5.

B

4．方程3+

=3

9+x

x的实数根的个数为

（

）

A.0．

B.1．

C.2．

D.3．

【答】B.