基于递归法的最接近点对问题.docx

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基于递归法的最接近点对问题

姓名：

杨意

学号：

309040102009

学院：

数学信息学院

专业：

计算机辅助教育

目录

1、问题综述 2

2、用递归法解决 2

2.1一维情形下的分析 2

2.2二维情形下的分析 3

2.3算法优化 6

2.4算法实现 6

3、结论 9

基于递归法的最接近点对问题

摘要：

在计算机应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象表现现实世界中的实体。

在涉及几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。

例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来处理，则具有最大碰撞危险的两架飞机就是这个空间中最近的一点。

这类问题是计算机几何学中研究的基本问题之一。

本文就运用递归法对一维和二维的情况加以讨论。

关键词：

最接近点对递归法

问题综述

最接近点对问题的提法是：

给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。

实际情况下，最接近点对可能多于一对，为简单起见，我们只找其中的一对作为问题的解。

有一个最直观的方法就是将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两点即可。

然而，这样做效率太低，我们想到用递归法来解决这个问题。

2、用递归法解决

将所给的平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。

然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。

在这里，一个关键的问题是如何实现递归法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。

如果组成S的最接近点对的两个点都在S1中或都在S2中，则问题很明显就可以找到答案。

可是还存在另外一种可能，就是这两给点分别在S1和S2中的时候。

下面主要讨论这种情况。

2.1一维情形下的分析

为使问题易于理解和分析，我们先来考虑一维的情形。

此时，S中的n各点退化为x轴上的n个实数x1，x2，x3…xn。

最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。

我们尝试用递归法来求解，并希望推广到二维的情形。

假设我们用x轴上的某个点m将S划分为两个集合S1和S2，使得S1={x∈S|x≤m};

S2={x∈S|x＞m}。

这样一来，对于所有p∈和q∈S2有p＜q。

递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1，p2}和{q1，q2}，并设

d=min{|p1-p2|，|q1-q2|}

由此易知，S中的最接近进点对或者是{p1，p2}，或者是{q1，q2}，或者是某个{p3，q3}，其中，p3∈S1且q3∈S2。

如图2-1-1所示。

图2-1-1一维情形的递归法

我们注意到，如果S的最接近点对是{p3，q3}，即|p3-q3|＜d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即|p3-m|＜d，|q3-m|＜d。

也就是说，p3∈（m-d，m]，q3∈（m，m+d]。

由于每个长度为d的半闭区间至多包含S1中的一个点，并且m是S1和S2的分割点，由图2-1-1可以看出，如果（m-d，m]中有S中点，则此点就是S1中最大点。

同理，如果（m，m+d]中有S中点，则此点就是S2中最小点。

因此，我们用线性时间就能找到区间（m-d，m]和（m，m+d]中所有点，即p3和q3。

从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。

但是，还有一个问题需要认真考虑，即分割点m的选取，即S1和S2的划分。

选取分割点m的一个基本要求是由此将S进行分割，使得S=S1∪S2，S1≠Φ，S2≠Φ，且S1∈{x|x≤m},S2∈{x|x＞m}。

容易看出，如果选取m={max（S）+min（S）}/2，可以满足分割要求。

然而，这样选取分割点，有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。

例如在最坏情况下，|S1|=1，|S2|=n-1，这样的计算效率与分割前相比提高幅度不明显。

这种现象可以通过递归法中“平衡子问题”的方法加以解决。

我们可以适当选择分割点m，使S1和S2中有个数大致相等的点。

我们会想到用S中各点坐标的中位数来作为分割点。

由此，我们设计出一个求一维点集S的最接近点对的算法Cpair1如下：

---------------------------------------------------------------

BoolCpair1（S,d）

{

N=|S|;

if（n＜2）{

d=∞;

returnfalse;

}

m=S中各点坐标的中位数；

//构造S1和S2；

S1={x∈S|x≤m};

S2={x∈S|x＞m};

Cpair1（S1,d1）;

Cpair1（S2,d2）;

p=max（S1）;

q=min（S2）;

d=min（d1,d2,q-p）;

returntrue

}

------------------------------------------------------------------

2.2二维情形下的分析

以上一维算法可以推广到二维的情形。

设S中的点为平面上的点，它们都有两个坐标值x和y。

为了将平面上点集S线性分割为大小大致相等的两个子集S1和S2，我们选取一垂直线L：

x=m来作为分割直线。

其中，m为S中各点x坐标的中位数。

由此将S分割为S1={p∈S|x（p）≤m}和S2={p∈S|x（p）＞m}。

从而使S1和S2分别位于直线L的左侧和右侧，且S=S1∪S2。

由于m是S中各x坐标的中位数，因此S1和S2中得点数大致相等。

递归地在S1和S2上解最接近点对问题，我们分别得到S1和S2中的最小距离d1和d2。

现设d=min{d1,d2}。

若S的最接近点对（p,q）之间的距离小于d，则p和q必分属于S1和S2。

不妨设p∈S1，q∈S2。

那么p和q距直线L的距离均小于d。

因此，若我们用P1和P2分别表示直线L的左边和右边的宽为d的两个垂直长条区域，则p∈P1且q∈P2，如图2-2-1所示。

图2-2-1距直线L的距离小于d的所有点

在一维情形下，距分割点距离为d的两个区间（m-d，m]和（m，m+d]中最多各有S中一个点。

因而这两点成为唯一的未检查过的最接近点对候选者。

二维的情形则要复杂些。

此时，P1中所有点和P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。

在最坏的情况下有n2/4对这样的候选者。

考虑P1中任意一点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance（p,q）＜d。

满足这个条件的P2中的点有多少个呢？

容易看出这样的点一定落在一个d*2d的矩形R中，如图2-2-2所示。

图2-2-2包含点q的d*2d矩形R

由d的意义可知，P2中任何两个S中的点的距离都不小于d。

由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。

下面我们来证明这个结论。

我们可以将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个（d

/2）*（2d/3）的矩形。

如图2-2-3（a）所示。

如图2-2-3矩形R中点的稀疏性

若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个（d/2）*（2d/3）的小矩形中有2个以上S中的点。

设u，v是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则

（x（u）-x（v））2+（y（u）-y（v））2≤（d/2）2+（2d/3）2=25/36d2

因此，distance（u,v）≤5d/6＜d。

这与d的意义相矛盾。

也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。

图2-2-3（b）是矩形中恰有6个S中点的极端情形。

由于这种稀疏性质，对于P1中任意一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。

因此，在递归法的合并步骤中，我们最多只需要检查6*n/2=3n个候选者，而不是n2/4个候选者。

我们将p和P2中所有S2的点投影到垂直线L上。

由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线L上的投影点距p在L上投影点的距离小于d。

由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。

因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列做一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。

对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。

至此，我们给出用递归法求二维点集最接近点对的算法Cpair2如下：

------------------------------------------------------------------------------------------------

boolCpair2（S,d）

{

N=|S|;

If（n<2）

{d=∞;

Returnfalse;

}

1.m=S中各点x间坐标的中位数；

构造S1和S2；

//S1={p∈S|x（p）<=m}，S2={p∈S|x（p）>m}

2.Cpair2（S1,d1）;

Cpair2（S2,d2）;

3.dm=min（d1,d2）;

4.设P1是S1中距垂直分割线L的距离在dm之内的所有点组成的集合；

P2是S2中距分割线L的距离在dm之内所有点组成的集合；

将P1和P2中点依其y坐标值排序；

并设X和Y是相应的已经排好序的点列；

5.通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与其距离在dm内的所有点（最多6个）可以完成合并；

当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的扫描指针可在宽为2dm的一个区间内移动；

设dl是按这种扫描方式找到的点对间的最小距离；

6.d=min（dm，dl）；

returntrue；

}

------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.3算法优化

在以上二维情形下的算法中，在每次执行第4步时都要进行排序，这将花费较多的时间，从而增加算法的复杂度。

因此，在这里我们要作一个技术处理。

我们采用设计算法时常用的预排序技术，在使用递归法之前，预先将S中n个点依其y坐标值排好序，设排好序的点列为P*。

在执行递归法的第4步时，只要对P*作一次线性扫描，即可抽取出我们所需要的排好序的点列X和Y。

然后，在第5步时再对X作一次线性扫描，即可求得dl。

2.4算法实现

在具体实现算法Cpair2时，我们分别用类PointX和PointY表示依x坐标和依y坐标排序的点。

-----------------------------------------------------------------------------------------

ClassPointX{

Public:

Intoperator<=（PointXa）const

{return（x<=a.x）;}

Private:

IntID;//点编号

Floatx,y;//点坐标

};

ClassPointY{

Public:

intoperator<=（PointYa）const

{return（y<=a.y）}

Private:

Intp;//同一点在数组X中的坐标

Floatx,y;//点坐标

}；

-------------------