导数几何意义解答题含分析.docx

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导数几何意义解答题含分析

导数的几何意义---解答题

一、解答题

1、函数f（x）=--x+1的图象上有两点A（0，1）和B（1，0）

（1）在区间（0，1）内，求实数a使得函数f（x）的图象在x=a处的切线平行于直线AB；

（2）设m>0，记M（m，f（m）），求证在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数

图象在x=b处的切线平行于直线AM.

2、已知函数f（x）=lnx+x2．

（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x-3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；

（Ⅲ）设F（x）=2f（x）-3x2-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：

函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？

若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

3、设函数，曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）证明：

曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

4、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f

（1），且若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为__________．

5、若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，求实数a的值．

6、已知函数f（x）=，的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．

（1）求实数b，c的值；

（2）若P，Q是曲线y=f（x）上的两点，且△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，此三角形斜边的中点在y轴上，则对任意给定的正实数a，满足上述要求的三角形有几个？

7、已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．

（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值；

（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

8、已知函数f（x）=x3-2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．

（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；

（3）试问：

是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？

如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

9、已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2-x（a∈R）．

（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；

（2）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：

点P唯一；

（3）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．

10、已知函数f（x）=mx3+（ax-1）（x-2）（x∈R）的图象在x=1处的切线与直线x+y=0平行．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）当a≥0时，解关于x的不等式f（x）＜0．

11、求曲线y=在点（1，1）处的切线方程是__________．

12、求曲线在点处的切线方程．

13、已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：

．

（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：

成立的充要条件．

导数的几何意义---解答题的答案和解析

一、解答题

1、答案：

（1）a=

（2）证明过程见解析

试题分析：

（1）求出导数，求出切线的斜率f′（a），求得直线AB的斜率，令f′（a）=-1（0＜a＜1）解方程即可得到a；

（2）求出直线AM斜率，求出直线在x=b处的切线斜率为f′（b），由切线平行于AM，可令f′（b）=-m-1，

考察3-2b-+m=0在区间（0，m）内的根的情况，令g（b）=3-2b-+m，求得g（0），

g（m），g（，对m讨论：

当0＜m＜时，当≤m＜1时，当m≥1时，由零点存在定理，即可得证。

解：

（1）解：

直线AB斜率kAB=-2x-1，

f（x）的图象在x=a处的切线平行于直线AB，

令f′（a）=-1（0＜a＜1）即3-2a-1=-1，

解得a=；

（2）证明：

f（m）=--m+1，

则直线AM斜率kAM==-m-1，

直线在x=b处的切线斜率为f′（b）=3-2b-1，

由切线平行于AM，可令f′（b）=-m-1

即3-2b-+m=0在区间（0，m）内的根的情况，

令g（b）=3-2b-+m，则此二次函数图象的对称轴为b=，

而g（）=-+m-=--＜0，

g（0）=-+m=m（1-m），

g（m）=2-m=m（2m-1），

则

（1）当0＜m＜时，g（0）＞0，g（m）＜0，方程g（b）=0在区间（0，m）内有一实根；

（2）当≤m＜1时，g（0）＞0，g（）＜0，方程g（b）=0在区间（0，）内有一实根；

（3）当m≥1时，g（）＜0，g（m）＞0，方程g（b）=0在区间（，m）内有一实根，

综上，方程g（b）=0在区间（0，m）内至少有一实根，

故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM．

2、答案：

（Ⅰ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，

由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即

又∵x＞0，，当且仅当时等号成立

∴，可得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=ex，则t∈[1，2]，则

h（t）=t3-3at，

由h′（t）=0，得或（舍去），

∵，∴

若，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若，则h′（t）＞0，h（t）单调递增

∴当时，h（t）取得极小值，极小值为

（Ⅲ）设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x2-kx

结合题意，有

①-②得

所以，由④得

所以

设，⑤式变为

设，

所以函数在（0，1）上单调递增，

因此，y＜y|u=1=0，即，也就是此式与⑤矛盾

所以F（x）在（x0，F（x0））的切线不能平行于x轴

3、答案：

试题分析：

（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f

（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b

（2）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．

试题解析：

解析：

（1）方程7x-4y-12=0可化为，当x=2时，，

又，于是，解得，故．

（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即

令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；

令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为．

故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

4、答案：

试题分析：

求出函数在x∈[1，2]的函数的解析式，通过函数的奇偶性，求出函数在x∈[1，2]相切，求出切线的斜率即可求出实数k的值．

试题解析：

当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f

（1），

当1≤x≤2时，f（x）=f（x-1）+f

（1）=（x-1）2+1，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，

∴x＞0时，两个函数的图象，只有2个交点，如图：

设切点为（a，f（a））．

f′（x）=2x-2．

则：

，解得a=．

∴k=2．

此时有两个交点，x＜0时，也有两个交点，x=0也是交点，

∴k=2时有5个交点．

故答案为：

2-2

5、答案：

试题分析：

设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax2+x-9都相切，联立方程组，△=0可求出所求．

试题解析：

设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），

则，则切线的斜率k=3x02=0或k=，

若k=0，此时切线的方程为y=0，

由，

消去y，可得ax2+x-9=0，

其中△=0，即（）2+36a=0，

解可得a=-；

若k=，其切线方程为y=（x-1），

由，

消去y可得ax2-3x-=0，

又由△=0，即9+9a=0，

解可得a=-1．

故a=-或-1．

6、答案：

（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x+b，f′（-1）=-3-2+b=b-5．

由（b-5）（）=-1，可得b=0，故f（x）=-x3+x2+c．

把点（-1，2）代入求得c=0．

综上可得b=0，c=0．

（2）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为-m，且-m＜0．

当0＜m＜1时，点P（m，-m3+m2），点 Q（-m，m3+m2），

由K0P•KOQ=-1，可得（-m2+m）（-m2-m）=-1，m无解．

当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（-m，m3+m2），

由K0P•KOQ=-1，可得•（-m2-m）=-1，即alnm=．

由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程alnm=．

故曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

7、答案：

试题分析：

（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；

（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；

（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．

试题解析：

（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，

∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在[-1，0）上单调递增；

当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．

（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，

∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），

∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，

∴，

∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．

∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，

∴=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．

∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．

（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．

当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为

，即．

当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．

函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，

由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，

由①②得=．

∵函数，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，

∴a（x1）=在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-