金融市场的微观动力学及其数值模拟研究.docx

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金融市场的微观动力学及其数值模拟研究

金融市场的微观动力学及其数值模拟研究*

郑波﹢

（浙江大学物理系杭州310027）

摘要

本文回顾国家自然科学基金管理学部项目“金融和生命系统微观动力学及其数值模拟研究”（70371069）的立项和实施过程，介绍我们在金融动力学方面的研究成果，特别关注中西方金融市场的对比研究，重点论述杠杆效应与反杠杆效应，个体股票价格的交叉关联，股票价格大波动与金融危机，以及微观多体模型的构建和数值模拟。

关键词：

金融动力学；复杂系统；统计物理；交叉学科

Microscopicfinancialdynamicsanditsnumericalsimulation

ZHENGBo

（PhysicsDepartment,ZhejiangUniversity,Hangzhou,310027）

Abstract

Wereviewtheproject“microscopicdynamicsoffinancialandbiologicalsystemsanditsnumericalsimulation”supportedbyNationalNaturalScienceFoundationofChinaunderGrantNo.70371069,andreportourresultsonthefinancialdynamics,especiallytheleverageandanti-leverageeffects,cross-correlationsbetweenindividualstocks,dynamicrelaxationoflargevolatilities,andmicroscopicmulti-agentmodels.WeemphasizethecomparativestudyofthewesternandChinesestockmarkets.

Keywords:

econophysics,complexsystems,statisticalphysics,interdiscipline

*国家自然科学基金资助项目（项目号：

70371069）和浙江省自然科学基金资助项目（项目号：

Z6090130）

＋Email:

zheng@

国家自然科学基金管理学部项目“金融和生命系统微观动力学及其数值模拟研究”2004年1月立项，2006年12月按计划完成。

该项目尝试应用物理学特别是统计物理学中的概念和方法，研究金融和生命系统微观动力学的统计性质。

在项目实施过程中，根据学科发展动态，侧重金融动力学研究。

项目结题后，相关的后续研究课题得到国家杰出青年基金和浙江省自然科学基金重点项目的资助。

本文报告项目的立项背景和取得的较重要研究成果。

1立项背景与研究思路

1.1立项背景

过去十多年，物理学家高度关注非传统物理领域的科学研究。

例如，人们发现，在传统物理学已探讨多年的静态和动态标度行为，或说时间和空间方向的自相似性，其实广泛存在于自然界各个学科和领域的复杂系统。

这一现象的物理根源常常与强的空间和时间关联，大涨落和雪崩等现象相关。

最近几年，金融和生命系统中的微观动力学便是其中的热点课题。

物理学早年也触及金融市场，但金融市场真正引起物理学家的高度关注，始于1995年美国波士顿大学Stanley等发表于Nature的一篇论文[1]。

该论文对股票市场分钟为单位的高频数据进行分析，首次指出，价格收益率的概率分布既不是高斯分布，也不是Levy分布，而是尾部截断的Levy分布。

论文进一步阐述，价格收益率的概率分布展示一种动力学标度行为，即金融动力学系统具有时间方向的自相似性，是一种强的记忆效应。

研究表明，金融动力学系统的记忆效应来源于价格波动率的长程时间自关联[2]。

与此对比，价格收益率的时间自关联甚小，可以忽略。

在随后几年的热潮中，人们对金融动力学进行了比较系统的唯象分析，并建立了种种微观模型[3-7]。

这些微观模型在不同程度上刻画金融动力学行为特征，尤其是价格波动率的长程时间自关联以及相关的动力学集体行为。

这一新兴的物理与金融的交叉领域称为金融物理学。

各学科的科学家对金融市场已有多年的研究经历。

物理学家能够起到什么作用呢？

物理学家较擅长于从微观层次研究问题，处理大量数据，寻找其中的运动规律。

我们的基本出发点是，股票价格背后是多粒子相互作用的复杂体系。

我们应用统计物理学的概念和方法，如多粒子集体行为、时空关联、内部对称性、相和相变、多重分形和随机矩阵理论等，研究金融市场的微观动力学行为，从而建立相应的微观多体模型，寻找可能存在的运动规律。

这是人们对金融市场从另一角度和另一层次的认识，具有潜在的重要科学意义。

反过来，从物理学的角度看，金融动力学体系是不可重复而且不断变化的实验，如何探索其运动规律具有相当的挑战性。

1.2研究思路

过去一些年，金融物理学较多研究金融市场的稳态，关注较为普适的统计性质和运动规律。

事实上，人们已对金融动力学系统的基本性质和显著特征有了一定程度的了解，并触及金融和经济学的若干基本问题，如杠杆效应、板块效应、价格形成机制及金融危机等[7-14]。

我们认为，金融物理学今后的发展方向是，金融市场的弱普适和非普适的动力学性质和运动规律，金融动力学的非稳态性质和金融危机的动力学内部机制，强调与金融学更密切相关的研究课题，探讨构建金融多体模型的较一般思路。

在研究方法上，应当超越常用的统计平均方法，发展时间系列的分解和展开方法，动力学响应理论以及复杂网络结构分析等。

在我们的研究项目中，除了上述的一般思路外，我们特别关注中西方金融市场的对比研究。

通过文献调研，结合课题组过去在非平衡态动力学方面的研究积累，我们决定采取把金融市场微观数据的唯象理论分析和微观多体模型的数值模拟结合起来的研究方案。

2唯象理论研究

2.1中西方金融市场的对比研究

过去十余年，人们对西方金融市场进行了较仔细的研究，但对中国金融市场的研究可以说还处在起步阶段。

为什么呢？

因为西方金融市场已有较长的历史，积累了较多的原始数据，相对地我国金融市场诞生才十余年，而且我国在金融物理方面的研究也起步略晚。

此外，中西方金融市场的差异重要而微妙，必须对大量数据进行系统和耐心的分析，才能获得有意义的结果。

人们常常认为，我国的社会体制和行政干预会改变金融市场的运动规律。

但是，中西方金融市场的若干基本统计性质和运动规律其实大体相同，即具有所谓的普适性。

对一些特定的问题，股票价格的运动粗略地可以分解为三部分：

市场的整体运动、市场的局部运动和准随机运动。

市场的整体运动和准随机运动相应的基本性质大体上具有普适性。

非普适的运动规律主要支配市场的局部运动。

记股票或大盘指数价格为

，价格收益率为

。

为了方便研究，我们引入归一化的价格收益率

其中<…>代表对时间

的统计平均，而

是时间序列

的标准偏差。

按习惯，价格波动率定义为

。

请注意，当我们对时间

平均时，便已经假设动力学系统处于稳态。

从动力学理论的角度看，金融动力学的统计性质便由

的概率分布函数

，

的各种时间关联函数，以及个体股票之间的交叉关联（即‘空间’关联）描述。

中西方金融市场的若干基本统计性质具有普适性[2,14,15]：

1）价格收益率的概率分布

具有‘幂次胖尾’的特征，即当

较大时

。

这表示概率分布明显偏离高斯分布，而且存在较大的价格收益率。

2）价格收益率

的时间自关联很小，可以忽略。

也就是说，

的正负号基本上是随机的，难以预测。

3）价格波动率

具有长程时间自关联，即自关联函数呈幂次行为，

。

在金融学这一性质称为‘volatilityclustering’，即无论金融市场当前处于动荡（

大）或平稳（

小）状态，这一状态的效应将持续相当长时间，平均可达数月之久。

2.2杠杆效应与反杠杆效应

金融市场的价格收益率的时间自关联很小，动力学的强记忆效应由价格波动率的长程时间自关联刻画。

为了全面掌握金融动力学，特别是价格收益率的运动规律，需要计算更高阶的时间关联函数。

但是，越高阶的时间关联越微弱，相应地涨落也越大，需要仔细和耐心的分析和研究。

不为零的最低阶的与价格收益率相关的时间关联函数是价格收益率和波动率的时间互关联函数，

，

其中

，

。

t<0的情形较复杂，本文只考察t>0的情形，即当前时刻的价格收益率如何影响今后一段时间的价格波动率。

西方金融市场包括其他较成熟的金融市场均显示L（t）<0，持续时间至少20天（见图1）。

在金融学中这一现象称为杠杆效应（leverageeffect）[9]。

如果当前时刻价格上升，今后一段时间的价格波动率将下降，即市场趋于平稳；反之，价格波动率将上升，市场趋于动荡。

奇特的是，我们的计算表明，中国金融市场显示L（t）>0，持续时间至少10天（见图1）。

我们把这一现象命名为反杠杆效应（anti-leverageeffect）[12,14,15]。

据目前所知，中国金融市场的反杠杆效应是唯一的。

图1：

德国DAX指数呈现杠杆效应，而中国指数（上证指数和深成指数）显示反杠杆效应。

为什么西方金融市场呈现杠杆效应而中国金融市场呈现反杠杆效应呢？

一种解释是中国金融市场还处于非稳态，另一种解释是中国的经济体制和社会文化独特，也可能二者兼有。

其实，不管是哪种解释，笔者认为关键是西方股民主体上视金融市场为相对稳定的融资机构，而中国股民倾向于视金融市场为高风险高回报的投资场所（俗称要‘发大财’）。

当西方股票价格上升，股民看到财富翻了一倍，放心度假去了，股市平稳；反之，股民感到危机，较盲目地交易，股市趋于动荡。

当中国股票价格上升，股民觉得机会来了，疯狂交易，股市走向动荡；反之，股民多半会被‘套牢’，等待股票价格反弹，股市便趋于平稳。

从动力学理论的角度分析，非零的价格收益率和波动率的时间互关联是如何产生的呢？

在唯象理论的层次，一种价格收益率和波动率的反馈相互作用可以解释杠杆和反杠杆效应[14]。

引入一个延迟波动率模型

，

其中

是原始的价格收益率，K（t）代表价格收益率和波动率的反馈相互作用，

是新产生的价格收益率。

恰当选取K（t）可以产生或消除杠杆或反杠杆效应。

例如，我们可以取

为真实金融市场的价格收益率，然后用K（t）消除其杠杆或反杠杆效应。

这里的关键是，

<<1，反馈相互作用仅仅是一种微扰，它可以消除杠杆或反杠杆效应，但价格收益率的其他重要统计性质保持不变。

2.3个体股票价格的交叉关联

金融市场没有传统意义下的空间概念，个体股票的交叉关联便是其‘空间’关联。

设个体股票的价格收益率为

，股票之间的交叉关联

，

便定义一个对称的关联矩阵C。

考察关联矩阵C的性质，可以探讨个体股票之间的相互作用。

例如，通过正交变换，可以对关联矩阵C进行对角化，求出本征值

及对应的本征矢

。

金融市场的关联矩阵的本征值取值分布，主体上与完全随机的关联矩阵的相同。

差别在于，前者存在若干个较大的本征值，可按大小顺序记为

[8,10,13]。

例如，中国金融市场的最大本征值

，而随机矩阵的本征值都小于2[13]。

考察较大本征值的本征矢

人们发现这些较大本征值对应金融市场的不同相互作用。

最大本征值的本征矢

的各个分量的取值近似相等，其对应的运动模式不妨称之为市场的整体运动，由个体股票之间的公共相互作用支配。

市场的整体运动对所有金融市场大体上是普适的。

对于美国金融市场，次大本征值的本征矢

的各个分量的取值局域化，即某一市场板块的股票的分量取值较大，而其余的取值较小。

这一运动模式不妨称之为市场的局域运动，由个体股票之间的板块相互作用支配。

对于美国金融市场，前10个次大本征值都能找到对应的市场板块[8,10]。

有意思的是，对于中国金融市场，我们找不到次大本征值与标准市场板块的对应（见图2）。

但是，次大本征值确实是存在的。

因此，我们引入阈值，例如，

，考察对某个本征矢哪些分量满足

，这些分量对应的股票便应当组成一个‘板块’（见图2）[13]。

详细的分析表明，

对应‘ST板块’，即亏损的股票；

对应‘蓝筹板块’，即赢利的股票；

对应‘上海房地产板块’，即在上海注册的房地产公司的股票。

换句话说，中国金融市场传统的市场板块相互作用较弱，取而代之的是一类特殊的‘板块’。

‘ST板块’和‘蓝筹板块’表示中国股民对上市公司的业绩好坏十分敏感。

而‘上海房地产板块’也许说明，上海的房地产业或上海市在中国国民经济中具有举足轻重的作用。

最后，构造一类多体相互作用动力学模型，可以定性描述中西方金融市场的板块相互作用[13]。

图2：

中国金融市场关联矩阵的最大的四个本征值对应的本征矢的各个分量的绝对值。

股票按市场板块排列，不同板块用垂直虚线分隔。

A：

金融；B：

IT；C：

能源；D：

原材料；E：

日常消费品；F：

非日常消费品；G：

工业；H：

公共事业；I：

医疗卫生。

水平实线显示阈值

。

2.4股票价格大波动与金融危机

金融危机是世界经济的大事件，物理学家也试图探索其中的玄妙。

一般说来，金融危机是金融动力学的非稳态行为，其运动规律与前两节讨论的稳态行为大不相同。

由于金融危机的事件数目太少，探讨其统计性质显得十分困难。

我们的思路是，先考虑股票价格大波动事件，研究其统计性质，然后逐步逼近金融危机[16,17]。

例如可定义

为价格大波动事件，取

。

当

足够大，便是所谓的金融危机了。

由于价格波动率具有长程时间自关联，所以当某一时刻出现价格大波动，其前后一段时间的价格波动率将在较高水平振荡。

引入剩余价格波动率

，

其中

代表对价格大波动事件的平均，

。

我们的研究表明，

，

是正数，

是刻画价格波动率的动力学弛豫过程的指数。

通过对中国和德国的金融指数的仔细分析研究，我们得到如下结果：

1）随着

增大，动力学指数

也增大。

这表示动力学系统逐步偏离稳态。

2）在分钟的时间标度，金融动力学具有时间反演对称性，即

；但在天的时间标度，随着

增大，金融动力学逐渐失去时间反演对称性，即

。

3）价格大波动可分为动力学内部产生的和外部事件诱导的两大类。

金融动力学的时间反演不对称性，主要来源于外部事件诱导的大波动。

4）中国金融市场与德国金融市场分属不同普适类，中国的指数

较小。

这与中国股票价格涨落较大相关。

2.5时间非局域动力学性质

在动力学理论研究中，人们通常考察时间局域的性质。

例如，某一个时刻的观测量的平均值，或某两个时刻的观测量的时间关联。

但是，近年来的研究揭示，时间非局域的动力学性质同样十分重要。

所谓的时间非局域的动力学性质，即某一段时间内，观测量的时间关联。

在实际的金融市场中，人们的思维常常是时间非局域的，如“价格最近一直下跌”，“市场过去几周一直动荡”等，所以时间非局域的动力学性质应当是金融市场的重要特征之一。

我们比较系统地研究了保持概率这一典型的时间非局域的动力学性质[14,18,19]。

设时刻

的价格波动率为

，价格波动率的保持概率

（或

）定义为此后一段时间间隔

内，价格波动率保持高于（或低于）

的概率，即对任意

，

（或

）的概率。

我们的研究显示，价格波动率的保持概率

遵从幂次律

。

表示价格波动率

具有时间非局域的长程自关联。

在天的时间标度，中国金融市场的指数

与德国的

大体吻合；而在分钟的时间标度，中国金融市场的指数

远大于德国的

。

这一结果表明，在分钟的时间标度，中国金融市场的保持概率

的动力学行为偏离普适性，与价格波动率的时间自关联函数的非普适行为一致[15]。

进一步，我们引入一个时间非局域的价格收益率和价格波动率的时间互关联函数，可以更深入地描述中西方金融市场的反杠杆效应和杆杠效应[12]。

3微观多体模型及其数值模拟

在前面的2.3和2.4小节中，我们曾引入半经验的唯象模型描述价格收益率和波动率的反馈相互作用和个体股票的板块相互作用。

为了从更基本的层次探讨金融市场的相互作用机制并与微观市场数据比较，本节重点研究微观多体模型，并特别关注两类模型：

动力学羊群模型和少数者博弈论。

3.1动力学羊群模型

过去一些年，人们对静态的羊群模型已有相当多的研究，我们关注动态的羊群模型。

动态的羊群模型的羊群结构随时间演化，因而更切近金融市场动力学。

原始的动力学羊群模型十分简单[6]：

设股票市场总共有N个股民，股民会结成团，结成一团的股民将保持行动一致。

设定初始条件和控制参数0

1）以概率1-a，股民i的团不交易，而与随机抽取的另一团j结成更大的团。

2）以概率a，股民i的团交易，然后解散该团。

记录交易的团i的大小s，并定义其等于价格波动率。

这一简单的模型，可以复制金融市场价格波动率的“幂次胖尾”分布，但无法给出价格波动率的长程时间自关联。

原始的动力学羊群模型的唯一控制参数是a，而1/a代表信息传播的速度。

当a大，信息交流慢股民倾向不结团，较随机地进行交易；当a小，信息传播快，股民倾向结团，谨慎交易。

但是，一个不变的信息传播速度不合理。

对实际的股票市场，当其处于动荡状态，信息传播快；当其处于平稳状态，信息传播慢。

所以，a应当与价格波动率相关。

我们引入一个带反馈相互作用的控制参数[19-21]

，

其中s是前一时刻的价格波动率，b和c是常数。

这样一种带反馈相互作用的动力学羊群模型，可以克服原始模型的诸多弱点，定性和定量地描述金融市场的动力学行为。

尤其是对价格波动率的长程时间自关联、两相行为，价格大波动，以及交易量、交易次数与价格的关系等，可以给出较好的解释[19-22]。

3.2少数者博弈论

近年来，少数者博弈论的理论研究已相当广泛，我们特别关注其在金融市场的应用研究。

少数者博弈论假设股票市场共有N个股民，每个股民从策略库抽取若干个策略，每一策略根据股票价格的历史进行决策：

买或卖，或不交易。

每一时刻对每一策略进行打分，每一时刻每个股民采用前一时刻分数最高的策略进行决策。

价格收益率定义为买家数和卖家数的差。

所以，（买家和卖家的）少数者为赢家。

这一模型的关键是策略的打分机制：

当前决策正确的策略加分，否则减分。

需要特别强调，这一打分机制只与当前的市场价格相关，与股民无关，与策略过去的成绩无关。

我们指出，策略的打分机制应当与策略过去的成绩相关。

而每个股民按照他手中若干策略的相对成绩打分，所以打分机制还与股民相关。

最后的结果是，即便同一个策略，在不同股民手中，宛如不同的策略，因为它的分数的动力学演化是不同的。

换句话说，等效的策略总数大幅度增加了。

这一打分机制可以克服原始打分机制的弱点，如周期性行为和价格波动率的长程时间自关联等，使少数者博弈论的动力学行为更接近真实市场[23,24]。

4学术交流与人才培养

一方面为了加强国内外的学术交流和合作研究，使本项目的研究工作尽可能贴近前沿领域，尽快达到国际一流水平；另一方面为了扩大本项目的影响力，报告我们的最新研究成果，提高相关学科在国际上的关注度，近几年我们举办了一系列国际会议，侧重交叉学科的数值模拟研究。

例如，2004-2007年，我们举办了第一届至第四届《杭州计算机模拟物理国际研讨会》，会议顾问和组织委员会成员包括国际纯粹与应用物理学会统计物理分会主席K．Binder，统计物理和交叉学科著名专家H.E.Stanley，计算物理国际权威专家D.PLandau，凝聚态物理国际权威专家M.Suzuki，统计物理学知名专家和《物理评论E》副主编R.Ziff等。

本项目共培养博士研究生4名，其中三名毕业后在高等学校金融系、新闻系和电子信息系任教，其中两名已获得国家自然科学基金青年科学基金项目资助。

参考文献

1.MantegnaRNandStanleyHE.Scalingbehaviorinthedynamicsofaneconomicindex.Nature,1995,376（6535）:

46-49;Turbulenceandfinancialmarkets.Nature,1996,383（6601）:

587-588

2.GopikrishnanP,PlerouV,AmaralLAN,MeyerM,andStanleyHE.Scalingofthedistributionoffluctuationsoffinancialmarketindices.PhysicalReviewE,1999,60（5） :

5305-5316

3.LuxTandMarchesiM.Scalingandcriticalityinastochasticmulti-agentmodelofafinancialmarket.Nature,1999,397（6719） :

498-500

4.StaufferD,deOliveriaPMC,andBernardesAT.MonteCarlosimulationofvolatilityclusteringinmarketmodelwithherding.InternationalJournalofTheoreticalandAppliedFinance,1999,2

（1） :

83-94

5.ContRandBouchaudJP.Herdbehaviorandaggregatefluctuationsinfinancialmarkets,MacroeconomicDynamics,2000,4

（2） :

170-196

6.EguiluzVMandZimmermannMG.Transmissionofinformationandherdbehavior:

Anapplicationtofinancialmarkets.PhysicalReviewLetters,2000,85（26）:

5659-5662

7.GabaixX,GopikrishnanP,PlerouV,andStanleyHE.Atheoryofpower-lawdistributionsinfinancialmarketfluctuations.Nature,2003,423（6937） :

267-270

8.PlerouV,GopikrishnanP,RosenowB,AmaralLAN,andStanleyHE.Universalandnonuniversalpropertiesofcrosscorrelationsinfinancialtimeseries.PhysicalReviewLetters,1999,83（7）:

1471-1474

9.BouchaudJP,MataczA,andPottersM.Leverageeffectinfinancialmarkets:

Theretardedvolatilitymodel.PhysicalReviewLetters,2001,87（22） :

228701

10.PlerouV,GopikrishnanP,RosenowB,AmaralLAN,GuhrT,andStanleyHE.

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