Lagrange方程练习题.docx

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Lagrange方程练习题

Lagrange方程练习题mRr一、如图所示,一半径为质量为的匀质圆柱体,在一半径为的固定的圆柱体内壁上做往复无滑滚动.若初始时,小圆柱偏离平衡位置不大,试用拉格朗日方法求小圆柱质心的运动周期.mr二、如图所示,一质点的质量为,悬在不可伸长的轻绳上,绳的另一端绕在半径为的l固定圆柱上.设质点在平衡位置时,绳的下垂部分长.不计绳的质量,试用拉格朗日方法写出质点摆动时的运动微分方程.mA三、如图所示,在质量可忽略的滑轮上跨一绳,绳的一端悬一质量为的重物,另一端1mmB系一无重小滑轮,在小滑轮上另跨一绳,绳的两端分别悬挂质量为,的重物和321.5m3mmCCAB.已知.试用拉格朗日方法求解物体,,的加速度.设轴承123光滑,绳的质量不计,绳与滑轮之间没有滑动.m四、如图所示,质量为的质点,在光滑的旋轮线上做往复运动,旋轮线的方程式为s4asinsO,式中的是图中由点量起的弧坐标,是旋轮线的切线与水平轴的a夹角,为常量.试用拉格朗日方法证明质点的振动是简谐振动（即使做大幅度振动）,并求出振动周期.

O五、如图所示,一滑轮可绕水平轴转动,在此滑轮上绕过一条不可伸长的绳,绳的一端m悬一重物,其质量为,另一端与一铅垂弹簧连接,弹簧的另一端被固定,弹簧的劲1mk度系数为,滑轮质量为,视质量均匀分布在轮缘上,绳与滑轮间无滑动.试用拉2格朗日方法,求证重物做简谐振动,并求振动周期.mA六、如图所示,倾角为的光滑固定尖劈上放有一质量为的滑块,上面用铰链与轻1lB杆连接,轻杆又与一小球相连.轻杆只能在铅垂面内运动.已知杆长为,小球质m量为.试用拉格朗日方程建立滑块、轻杆和小球组成的力学系统的运动微分方程.2mmsPP七、如图所示,质量为的圆柱体放在质量为的圆柱体上做无滑动滚动,放12置在粗糙平面上.已知两圆柱的对称轴都是水平的,且质心在同一竖直面内,开始时P系统是静止的,两圆柱连心线沿竖直方向.若以圆柱体的初始位置为固定坐标原点,s试证明圆柱的质心在任意时刻的坐标为m（3mm）sin121CxC3（mm）21cosCyCC式中为两圆柱对称轴间的距离,为两圆柱连心线与竖直向上的直线的夹角.

m2lABR八、如图所示,一匀质直杆,质量为,长为,两端约束在半径为的光滑水umlR平圆圈上,,圆圈被固定在水平面内.一质量为的甲虫以不变的相对速度沿杆运动.初始时甲虫在杆的中点,杆的转动角速度为.设杆与水平固定直线的0t夹角为,试用拉格朗日方法求杆在时刻的转动角速度.m2aABA九、如图所示,匀质细杆,质量为,长,端可在水平光滑导轨上运动,杆在铅FAB垂平面内绕端摆动.杆除重力作用外,端还受到水平力的作用.试用拉格朗日方法求出摆角很小时杆的运动微分方程.SSOA十、如图所示,水平放置的行星齿轮,曲柄带动齿轮在固定齿轮上滚动.已知21mSmSRr曲柄的质量为,的质量为,半径为,齿轮的半径为.今在曲柄上作1221M用一个不变的力矩,并把齿轮视为匀质圆盘,试用拉格朗日方程求出曲柄的转动角速度.Plm十一、如图所示,质量为的质点固定在长为的轻杆的一端,轻杆的另一端铰接在固1PPlmO定点上；长为的另一轻杆的上端与质点铰接,另一端与质量也为的质点连12接.各铰链光滑.以两杆分别与竖直向下方向所夹的角度,作为广义坐标,求此12系统的微振动运动方程及简正频率,并讨论其简正模式.

解：

一、将小圆柱质心和所在的大圆柱截面中心的连线与竖直直线的夹角作为广义坐标，逆时针方向为正方向.Rr）r（设小圆柱角坐标正方向为顺时针方向，坐标变换方程为，系统拉氏函数为322Lm（Rr）mg（Rr）（1cos）42gsin3（Rr）L将代入拉氏方程后得2g3（Rr）当很小时3（Rr）T22g.小圆柱质心的运动周期为二、图中角为广义坐标122Tmrl2Vmglrsinlrcos122mglrsinlrcosmrlL拉氏函数为22（rl）rgsin0代入拉氏方程后得到质点的运动微分方程.xxCAB三、坐标、为系统（定滑轮和物体、、，以及连接重物的绳）的广义坐标AB经过坐标变换，拉格朗日函数为1122L（m4m）xmm）x2mxxmgxmgxmg（C2xx）（13A23B3AB1A2B3AB22C是在坐标变换中出现的常量的总和）m1.5m3mL将代入拉氏方程，且将代入231得7x2xg0x3xg02，ABAB

15xgxgAB1717AB、两物体的加速度分别为：

，.s四、选择弧坐标为广义坐标1mg22TmsVs28a，LTVgs0s4a代入拉氏方程得所以是简谐振动aT4g质点的振动周期.mOOx五、建立原点在定滑轮中心的正下方地面上一点，轴通过滑轮中心向上，以重物的坐1x标为广义坐标.系统（由滑轮、重物、绳、弹簧组成）1122T（mm）xVmgxk（xl）121A022，CxxCA（是常量）点为弹簧上端点，通过约束条件，知，则A1122L（mm）xmgxk（Cx）12122mm）xkxC0（C代入拉氏方程得，（是常量），可知重物作简谐振动，周期为12mm12T2k.x六、以滑块到斜面底端底坐标和摆底摆角作为广义坐标11222T（mm）xmlmlxcos（）122222Vmgxsinmg（xsinlcos）LTV12L将代入拉氏方程得系统的运动微分方程2（mm）xmlcos（）mlsin（）（mm）gsin0122212lxcos（）xsin（）gsin0P七、选择和为两圆柱组成的系统的广义坐标，为圆柱体的转角，是两圆柱体连心线Oxy与竖直方向的夹角，相对直角坐标系11112222TmxIm（xy）I2pcP1scscS2222系统动动能为IISSP、分别是、相会自身对称轴的转动惯量，是圆柱体的角速度.坐标变换方程SPxR为，pcr（）R（）3331222222LmRmRm（Rr）mR（Rr）（2cos1）mg（Rr）sin211114442

L0因312（）（）（2cos1）pmmRmRRr12122所以＝常量.20（）（）（2cos1）03mmRmRRrt00，，根据初始条件：

时，得，121m（Rr）（2sin）12（mm）R得（注意此方程是通过求解运动微分方程得出的与的关12系，不是约束方程）xR（Rr）sin（Rr）cosy将此式代入几何关系式：

，scsc八、以杆和甲虫为系统，以为广义坐标.1111122222TI[mlm（Rl）]222222Tmum[（Rl）ut]杆223虫22，LTTT杆虫11522222222mum（2Rlut）muRl223L=TT0pT因，所以常量226R5l022226R5l3ut，得.又根据初始条件，0xA九、选择滑块的水平轴坐标和杆的摆角为广义坐标1122222（2cos）,Tmxllxml26mglsin2lFcosQQF广义力为，.xQQT将、、代入拉氏方程x4mcosxmlmgsin2Fcos3得2xmlcosmlsinFm,cos1sin当摆角很小时，42FFglx23mxllm.结果为：

SS十、以曲柄和齿轮为系统，选择曲柄对称轴与过齿轮中心的固定直线的夹角（固定直线21与两齿轮中心在同一平面上）为广义坐标.S（rR）r根据对系统动能的计算与坐标变换方程（是齿轮的角坐标）213QMT2222，广义力m（Rr）m（Rr）12646M2（2m9m）（Rr）代入拉氏方程，结果是.12十一、系统的动能

112222222Tml（ll2lcoscos2lsinsin）m1121212121222，势mglcosmgl（coscos）V能为作近似计算，使1121222Tmlmlml12122，其中忽略了二阶以上小量；122V3mglmglmglcoscos122，其中只保留、作级数展开的二阶小12TVL量.，代入拉氏方程得l22lg0121lgl0122设方程的解的形式为：

At）cos（11At）cos（22代入方程后得22（2l2g）AlA01222lA（lg）A012g（22）1l得简正频率