第4讲因式分解的应用含详解竞赛班.docx
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第4讲因式分解的应用含详解竞赛班
第四讲因式分解的应用
【例1】已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a= 16 ．
分析：
设2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=（x2+x﹣6）•A，当多项式等于0时，得到两个x的根，代入式子2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，可求出a的值．
解：
令2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=（x2+x﹣6）•A=（x+3）（x﹣2）•A．
取x=﹣3，x=2分别代入上式，
当x=﹣3时，2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，
=2×81﹣27﹣9a﹣3b+a+b﹣1，
=134﹣8a﹣2b，
=0．
当x=2时，2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，
=2×16+8﹣4a+2b+a+b﹣1，
=39﹣3a+3b，
=0．
根据
，
可得a=16，b=3．
点评：
本题考查了因式分解的应用和等式的应用，根据x的根，从而得出a，b的值．
【例2】若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）
A、若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB、若a2+b2+c2=3abc，则a=b=c
C、若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD、若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d
分析：
由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，
由a2+b2+c2=3abc，得（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）=0，
由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0．
解：
由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，则a=b=c，故A正确；
由a2+b2+c2=3abc，得a=b=c，故B正确；
由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0，则a=b=c=d，故D正确；
故选C．
点评：
本题考查了命题与证明，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【例3】若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，则a= ±10 ．
分析：
先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．
解：
原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，
∵原式为完全平方式，
∴a（x+y）=±2×5•（x+y），
解得a=±10．
故答案为：
±10．
点评：
本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．
【例4】
，a+3b=1，则
的值为（ ）
A、
B、
C、
D、0
分析：
首先将
通过提取公因数3，利用十字相乘法分解因式．再将a+b、a+3b的值作为一个整体代入分解后的代入数求的结果．
解：
∵
，a+3b=1，
∴
，
=
，
=
，
=
，
=0．
故选D．
点评：
本题考查因式分解的应用、十字相乘法、代数式求值，解决本题的关键是将原式通过十字相差法分解后，将a+b、a+3b的值作为一个整体代入．
【例5】已知x+y=3，x2+y2﹣xy=4，那么x4+y4+x3y+xy3的值为 36 ．
分析：
对x4+y4+x3y+xy3首先通过提取公因式转化为（x3+y3）（x+y），再通过立方和公式分解为（x+y）（x2+y2﹣xy）（x+y）．再将x+y、x2+y2﹣xy作为一个整体代入因式分解后的代数式即可求得结果．
解：
∵x+y=3，x2+y2﹣xy=4，
∴x4+y4+x3y+xy3，
=x3（x+y）+y3（x+y），
=（x3+y3）（x+y），
=（x+y）（x2+y2﹣xy）（x+y），
=32×4，
=36．
故答案为：
36．
点评：
本题考查因式分解的应用、立方和公式、代数式求值．解决本题的关键是对所求的代数式x4+y4+x3y+xy3进行因式分解，再将x+y、x2+y2﹣xy作为一个整体代入求值．
【例6】方程x2﹣xy﹣5x+5y﹣1=0的整数解是 x=6，y=5或x=4，y=5． ．
分析：
原方程变形为：
（x﹣y）（x﹣5）=1，根据整数的整除性得到x﹣y=1，x﹣5=1，或x﹣y=﹣1，x﹣5=﹣1；从而求得x，y的值．
解：
原方程变形为：
（x﹣y）（x﹣5）=1，
∵x，y为整数，
∴x﹣y=1，x﹣5=1，或x﹣y=﹣1，x﹣5=﹣1；
∴x=6，y=5或x=4，y=5．
故答案为：
x=6，y=5或x=4，y=5．
点评：
本题考查了方程整数解的求法：
把方程进行变形，使方程左边分解为含未知数的两个式子，右边为常数，然后利用整数的整除性求解．
【例7】k为何值时，多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2能分解成两个一次因式的积？
分析：
首先由x2+3x+2=（x+1）（x+2），可设多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），然后根据多项式乘以多项式的运算法则求得（x+my+1）（x+ny+2）的值，又由多项式相等时对应项的系数相等，可得方程组
，解此方程组即可求得k的值．
解：
∵x2+3x+2=（x+1）（x+2），
故可令x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），
即x2+（m+n）xy+mny2+3x+（2m+n）y+2=x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2，
∴
，
由①③可得：
，
∴k=mn=﹣3．
∴当k=﹣3时，多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2能分解成两个一次因式的积．
点评：
此题考查了多项式因式分解的知识，多项式的乘法以及三元一次方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是设多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），再由多项式的性质求解．
【例8】已知a，b，c，d为非负整数，则ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d= 1998 ．
分析把等号左边的代数式分解因式，得出（a+b）（c+d）=1997×1，再求a+b+c+d═1997+1=1998．
解：
∵ac+bd+ad+bc=（ac+ad）+（bd+bc）=a（c+d）+b（c+d）=（a+b）（c+d），1997=1997×1，
∴（a+b）（c+d）=1997×1，
∴a+b+c+d═1997+1=1998．
点评：
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
【例9】对一切大于2的正整数n，数n5﹣5n3+4n的最大公约数是 120 ．
分析：
把所给的等式利用因式分解写成乘积的形式：
n5﹣5n3+4n=（n﹣2）（n﹣1）n（n+1）（n+2）．因为n﹣2、n﹣1、n、n+1、n+2是连续的五个正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，一个是4的倍数、一个是5的倍数，可知n5﹣5n3+4n=（n﹣2）（n﹣1）n（n+1）（n+2）一定是120的倍数，所以最大公约数为120．
解答：
解：
n5﹣5n3+4n=（n﹣2）（n﹣1）n（n+1）（n+2）．
对一切大于2的正整数n，数n5﹣5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．
故答案为120．
点评：
主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据其实际意义来求解．
【例10】已知x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，则x+y的值为 ﹣7或6 ．
分析：
先把两个方程相加，得到关于（x+y）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
解：
①+②得，x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）﹣42=0，
∴（x+y+7）（x+y﹣6）=0，
∴x+y=﹣7或x+y=6，
故答案为：
﹣7或6．
点评：
本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．
【例11】已知a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0，且2a﹣3b=1，则a3+b3的值等于 9 ．
分析：
观察a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0式子，可分解为（a﹣b﹣1）（a4+1）=0，那么必为a﹣b﹣1=0，根据已知a、b还满足2a﹣3b=1．据这两式可解得a、b的值．那么再将a、b的值代入a3+b3即可求出结果．
解：
∵a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0⇒（a5+a）﹣（a4b+b）﹣（a4+1）=0⇒a（a4+1）﹣b（a4+1）﹣（a4+1）=0⇒（a﹣b﹣1）（a4+1）=0
∵a4+1＞0
∴a﹣b﹣1=0①
又∵2a﹣3b=1②
由①②可得a=2，b=1，
∴a3+b3=23+1=9．
故答案为：
9．
点评：
本题考查因式分解，解决本题的关键是通过因式分解将a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0转化为（a﹣b﹣1）（a4+1）=0，同时得到a﹣b﹣1=0．
【例12】如果3x3﹣x=1，那么9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001的值等于（ ）
A、1999B、2001C、2003D、2005
分析：
将3x3﹣x=1化简为3x3﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001，提取公因式化简即可．
解答：
解：
∵3x3﹣x=1，
∴9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001，
=3x（3x3﹣x﹣1）+4（3x3﹣x﹣1）+2005，
=2005．
故选D．
点评：
本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．
【例13】设a＜b＜c＜d，如果x=（a+b）（c+d），y=（a+c）（b+d），z=（a+d）（b+c），那么x、y、z的大小关系为（ ）
A、x＜y＜zB、y＜z＜xC、z＜x＜yD、不能确定
分析：
比较x、y、z的大小，只需判断x﹣y、y﹣z的符号．进一步将已知中x=（a+b）（c+d）、y=（a+c）（b+d）、z=（a+d）（b+c）代入化简，根据a＜b＜c＜d来判断代数式的符号即可．
解：
∵a＜b＜c＜d，
a﹣b＜0，a﹣c＜0，a﹣d＜0，b﹣c＜0，b﹣d＜0，c﹣d＜0，
∵x=（a+b）（c+d），y=（a+c）（b+d），z=（a+d）（b+c），
∴x﹣y=（a+b）（c+d）﹣（a+c）（b+d），
=ac+ad+bc+bd﹣ab﹣ad﹣bc﹣cd，
=ac+bd﹣ab﹣cd，
=（ac﹣cd）+（bd﹣ab），
=c（a﹣d）﹣b（a﹣d），
=（a﹣d）（c﹣b）＜0，
y﹣z=（a+c）（b+d）﹣（a+d）（b+c），
=ab+ad+bc+cd﹣ab﹣ac﹣bd﹣cd，
=ad+bc﹣ac﹣bd，
=（ad﹣bd）+（bc﹣ac），
=（a﹣b）（d﹣c）＜0，
∴x﹣y＜0，y﹣z＜0，即x＜y，y＜z，
∴x＜y＜z．
故选A．
点评：
本题考查了因式分解，解决本题的关键是通过作差比较，这是一种常用的比较大小的方法．
【例14】
（1）求证：
8l7一279﹣913能被45整除；
分析：
（1）首先将8l7一279﹣913代数式转化成底数为3的幂，提取公因式326，此时出现差5，再将326分解成324与9的乘积，问题得解；
解：
（1）∵8l7一279﹣913=328﹣327﹣326=326（9﹣3﹣1）=45×324，
∴8l7一279﹣913能被45整除；
点评：
本题考查因式分解的应用．解决
（1）的关键是将原式通过因式分解转化为9×5×3n的形式；
【例15】计算下列各题：
（1）
；
（2）
分析：
（1）由于n（n+3）+2=n2+3n+2=（n+1）（n+2），利用这个公式把题目可以变为
，然后约分即可求解；
（2）设a=2000，那么原式=
，然后把分子、分母分解因式、约分即可求解．
解：
（1）∵n（n+3）+2=n2+3n+2=（n+1）（n+2），
∴
，
=
，
=
，
=998；
（2）设a=2000，
那么原式=
，
=
，
=
，
=
．
点评：
此题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．
训练题
1、若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，则k= ﹣5 ．
分析：
本题可令x3+3x2﹣3x+k=（x+1）A的形式，当x=﹣1时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值．
解：
令x3+3x2﹣3x+k=（x+1）A，
当x=﹣1时，﹣1+3+3+k=0，
解得k=﹣5．
故答案为：
﹣5．
点评：
本题考查了因式分解﹣提公因式法，令x+1=0，则x=﹣1，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键．
2、如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（ ）
A、7B、8
C、15D、2l
分析：
由题意原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．
解：
设x3+ax2+bx+8=（x+1）（x+2）（x+c）=x3+（3+c）x2+（2+3c）x+2c，
∴c=4，从而a=7，b=14，
∴a+b=21，
故选D．
点评：
此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义；
3、已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，则（x﹣y﹣z）2002= 0 ．
分析：
可以把14拆成1+4+9，然后运用完全平方公式，把左边写成非负数的平方和，再根据“几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”进行计算．
解：
∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，
∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0，
（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=0，
∴x﹣1=0，y+2=0，z﹣3=0，
解得x=1，y=﹣2，z=3，
∴（x﹣y﹣z）2002=0．
点评：
此题要能够运用完全平方公式把等式的左边变形为几个非负数的和，再根据非负数的性质进行求解．
4、已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则
的值为（ ）
A、3B、
C、﹣3D、
分析：
先把原式化为完全平方式的形式，再根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后代入代数式计算即可．
解：
原式可化为a2+4a+4+b2﹣2b+1=0，即（a+2）2+（b﹣1）2=0，
解得，a=﹣2，b=1．
故
=
=
．
故选B．
点评：
本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
5、已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值．
分析：
本题比较难理解，认真体会原式可分解为两个一次因式的乘积，可设出这两个因式，然后利用多项式相等的知识进行解题．
解：
∵x2﹣5x﹣24=（x﹣8）（x+3），
∴设原式=（x﹣8+my）（x+3+ny），
即x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24=x2+（m+n）xy+mny2﹣5x﹣5my﹣24，
∴﹣5m=﹣45，m+n=7，
∴m=9，n=﹣2，
a=mn=﹣2×9=﹣18．
答：
a的值为﹣18．
点评：
本题考查了因式分解的应用；由x2﹣5x﹣24=（x﹣8）（x+3）想到设原式=（x﹣8+my）（x+3+ny）是正确解答本题的关键，解题方法独特，要学习掌握．
6、已知a、b、c满足a+b=5，c2=ab+b﹣9，则c= 0 ．
分析：
首先将a+b=5转化为b=5﹣a，再将b=5﹣a代入c2=ab+b﹣9中，通过提取公因数﹣1、运用完全平方式可得到c2=﹣（a﹣2）2，根据非负数的性质，则可判断出c的值．
解：
∵a+b=5
∴b=5﹣a
∴c2=ab+b﹣9=a（5﹣a）+5﹣a﹣9=﹣a2+4a﹣4=﹣（a﹣2）2∵根据非负数的性质
∴﹣（a﹣2）2≤0
又∵c2≥0
∴只能是c2=﹣（a﹣2）2=0
∴c=0
故答案为0
点评：
本题考查因式分解得应用、完全平方式．解决本题同学们特别注意的是根据非负数的性质，通过c2=﹣（a﹣2）2判断出c的取值为0．
7、已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则（a+1）（b+1）（c+1）= 8 ．
分析：
把每个等式的结果等于3，得到与（a+1），（b+1），（c+1）有关的值，进而代入所给代数式求值即可．
解：
由题意得ab+a+b=3，
∴（a+1）（b+1）=4，
同理可得（b+1）（c+1）=4，
（a+1）（c+1）=4，
∴[（a+1）（b+1）（c+1）]2=4×4×4，
∵a、b、c为正数，
∴（a+1）（b+1）（c+1）=8．
故答案为：
8．
点评：
考查了代数式的求值，利用因式分解得到和所给代数式相关的值是解决本题的关键．
8、已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）
A、41，48B、45，47C、43，48D、4l，47
分析：
利用平方差、立方和、立方差公式逐步把724﹣1分解因式，通过计算找到问题的答案．
解：
724﹣1=（712+1）（76+1）（73+1）（73﹣1），
=（712+1）（76+1）（7+1）（72﹣7+1）（7﹣1）（72+7+1），
=（712+1）（76+1）×8×43×6×57，
=（712+1）（76+1）×48×43×57，
因此可被40至50之间的两个整数整除的数是48，43．
故选C．
点评：
此题主要考查利用平方差、立方和、立方差公式分解因式，分解式要注意数的取值范围．
9、已知2x2﹣3xy+y2=0（xy≠0），则
的值是（ ）
A、2，
B、2C、
D、﹣2，
分析：
对等式两边同时除以x2，得
，解方程可得
=1或2，即
=1或
，即得
=2或2
．
解：
根据题意，2x2﹣3xy+y2=0，且xy≠0，
故有
，
即
，
即得
=1或2，故
=1或
，
所以
=2或2
．
故选A．
点评：
本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法．
10、已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4﹣2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2的值（ ）
A、恒正B、恒负C、可正可负D、非负
分析：
从变形给定的代数式入手，对a4+b4+c4﹣2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2进行因式分解，根据三角形三边关系判断各个因式的正负，再判断代数式的正负．
解：
a4+b4+c4﹣2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2=（a4+b4+c4+2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2）﹣4a2b2=（a2+b2﹣c2）2﹣（2ab）2
=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）
又a、b、c是一个三角形的三边
∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0
∴（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0
故选B．
点评：
本题考查因式分解的运用．解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．
11、设n为某一自然数，代入代数式n3﹣n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（ ）
A、5814B、5841C、8415D、845l
分析：
首先将n3﹣n因式分解，转化为n（n﹣1）（n+1）．我们可推知n3﹣n的值是三个连续自然数的乘积．对于三个连续的自然数，最少有一个为偶数，因而n3﹣n的值必定是一个偶数．分析各选项，找出正确答案．
解：
∵n3﹣n=n（n2﹣1）=n（n﹣1）（n+1）
∴我们可见n3﹣n必为三个连续自然数的积
由于三个连续自然数中必有一个为偶数，也就是说n3﹣n必为一个偶数
只有A选项是一个偶数．
故选A
点评：
本题考查因式分解．解决本题的关键是首先对n3﹣n进行因式分解，自然自然找到三个连续自然数的乘积规律．
12、若x+y=﹣1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于（ ）
A、0B、﹣1C、1D、3
分析：
将x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4提取公因式，转化为x3（x+y）+4x2y（x+y）+xy（x+y）+4xy2（x+y）+y3（x+y），将x+y=﹣1代入转化为﹣x3﹣4x2y﹣xy﹣4xy2﹣y3，再通过提取公因式，立方和公式、提取公因式，转化为（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣4xy+xy，再将x+y=﹣1代入转化为（x2﹣xy+y2）+3xy，再运用完全平方式，转化为（x+y）2﹣3xy+3xy，将x+y=﹣1代入问题得解．
解：
原式=x4+x3y+4x3y+x2y+4x2y2+4x2y2+xy2+4xy3+xy3+y4，
=x3（x+y）+4x2y（x+y）+xy（x+y）+4xy2（x+y）+y3（x+y），
=﹣x3﹣4x2y﹣xy﹣4xy2﹣y3，
=﹣[（x3+y3）+4xy（x+y）+xy]，
=﹣[（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣4xy+xy]，
=﹣[﹣（x2﹣xy+y2）﹣3xy]，
=（x2﹣xy+y2）+3xy，
=（x+y）2﹣3xy+3xy，
=1．
故选C．
点评：
本题考查提取公因式法因式分解、完全平方式、立方和公式．解决本题的关键是提取公因式，转化为（x+y）乘以xy各次的形式，逐步达到化简得目的．
13、已知两个不同的质数p、q满足下列关系：
p2﹣2001p+m=0，q2﹣2001q+m=0，m是适当的整数，那么p2+q2的数值是（ ）
A、4004006B、3996005C、3996003D、4004004
分析：
先把两式相减，得到p+q=2001，故p、q为一奇一偶，再根据p、q为质数可知p、q中有一个为2，另一个为1999，再代入所求代数式进行计算即可．
解：
两式相减，得（p﹣q）（p+q﹣2001）=0，
∵p≠q，
∴p+q=2001，而p、q为质数，
∴p、q中有一个为2，另一个为1999．
∴p2+q2=22+19992=3996005．
故选B．
点评：
本题考查的是质数与合数、奇数与偶数，解答此题的关键是熟知在所有偶数中只有2是质数这一知识点．
14、计算：
分析：
观察
式子，发现规律：
均包含有
的形式，因而对其进行因式分解得
．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．
解：
∵
=
=
=
∴原式=
=
，
=
．
点评：
本题考查因式分解的应用．关键得到
=
这一规律，运用规律代入原式约分化简求值．
15、按下面规则扩充新数：
已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．
（1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
（2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
分析：
仔细阅读扩充新数规则：
已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．根据此规则运算即可．
（1）起始数是1和4
原数产生新数应取数
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