上海市徐汇区学年高一上学期期末数学试题及答案.docx
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上海市徐汇区学年高一上学期期末数学试题及答案
上海市徐汇区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、填空题
1．已知
，则
_________.
2．函数
的定义域为____________．
3．不等式
的解集为___________
4．已知关于x的不等式
的解集为
或
，则b的值为______．
5．若
，则
用含x的代数式表示为___________.
6．不等式
的解集是___________
7．已知集合
，
，则满足条件
的集合
的个数为_________个
8．函数
的值域是________________．
9．已知函数
（
且
）在
上有最大值，那么实数
的取值范围为__________
10．已知偶函数
在区间
单调递增，则满足
的x取值范围是______.
11．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若
，则称
为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数
，给出下面4个命题：
其中真命题的有_________
①．对任意
，都有
②．对任意
，都有
③．对任意
，都存在
，
④．若
，
，则有
12．已知函数
，若存在两相异实数
使
，且
，则
的最小值为________
二、单选题
13．若
，则下列不等式中不能成立的是（）
A．
B．
C．
D．
14．若
是方程
的两个根，则
（）
A．
B．2C．4D．8
15．已知函数
，则函数
的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
16．对于函数
，若存在
，使
，则称点
与点
是函数
的一对“隐对称点”．若函数
的图象存在“隐对称点”，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
17．已知正数x、y满足x+2y=1，求
+
的最小值，并求出
+
取到最小值时x、y的值.
18．已知非空集合
，集合
．
（1）当
时，求
；
（2）命题
，命题
，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
19．已知函数
（1）求函数
的解析式；
（2）设
，若存在
使
成立，求实数
的取值范围．
20．随着全球5G网络技术的不断升温，中美两国5G的技术较量已进入白热化阶段.特朗普政府宣布将在5G领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单.值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书.华为投资研究部表明：
市场占有率y与每日研发经费x（单位：
亿元）有关，其公式为
（1）若
时，华为市场占有率超过
，试估计每日研发经费的取值范围（单位：
亿元）？
（
，保留小数点后两位）
（2）若
时，华为市场占有率的最大值为
，求常数m的值.
21．已知函数
是定义在
上的奇函数，且
．
（1）求实数
，
的值；
（2）判断
在
上的单调性，并用定义证明；
（3）设
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
参考答案：
1．
【解析】
【分析】
根据补集的定义计算即可
【详解】
因为
，故
故答案为：
2．
【解析】
【分析】
由被开方数非负可求得答案
【详解】
由题意得
，得
，
所以函数的定义域为
，
故答案为：
3．
【解析】
【分析】
直接利用绝对值的几何意义求解即可
【详解】
由
，得
，解得
，
所以不等式的解集为
，
故答案为：
4．2
【解析】
【分析】
由题意可得1和
是方程
的两个根，由根与系数的关系可得
，从而可求出b的值
【详解】
因为关于x的不等式
的解集为
或
，
所以1和
是方程
的两个根，
所以
，解得
，
故答案为：
2
5．
##
【解析】
【分析】
将指数式
化为对数式
，再根据对数的运算性质可求出结果.
【详解】
因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
6．
【解析】
【分析】
直接解分式不等式即可
【详解】
由
，得
，
，
，
所以
，解得
或
，
所以不等式的解集为
，
故答案为：
7．7
【解析】
【分析】
化简集合A，B，根据条件
确定集合C的个数即可.
【详解】
因为
，
因为
，所以1，2都是集合C的元素，
集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，
所以集合C为：
，
，
，
，
，
，
，共7个.
故答案为：
7
8．
．
【解析】
【分析】
先求出
，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解.
【详解】
，且
，
，
，
，
，
故函数
的值域是
．
故答案为：
9．
【解析】
【分析】
由于
在
上有最大值，所以可得当
时，函数要为增函数，当
时，函数为减函数，并且
，从而可求出实数
的取值范围
【详解】
因为函数
（
且
）在
上有最大值，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
，
故答案为：
10．
【解析】
利用偶函数可得图象关于
轴对称，结合单调性把
转化为
求解.
【详解】
是偶函数，
，
∴不等式等价为
，
在区间
单调递增，
，解得
.
故答案为：
.
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.
11．①③④
【解析】
【分析】
根据自变量
是有理数和无理数进行讨论，可判定①、②；
根据
，可判定③；
根据
的值域，可判定④.
【详解】
对于①中，若自变量
是有理数，则
，
若自变量
是无理数，则
，所以①是真命题；
对于②中，若自变量
是有理数，则
也是有理数，
可得
，所以②是假命题；
对于③中，显然当
时，对任意
，
都存在
，
，所以③是真命题；
对于④中，由
，可得函数
的值域为
，
当
时，
，当
时，
，
故
，所以④为真命题.
故答案为：
①③④
12．
##
【解析】
【分析】
由题意，
，
是方程
的两个不等实数根，利用根与系数的关系把
化为含有
，
的代数式，令
，进一步转化为关于
的二次函数，再由配方法求最值．
【详解】
解：
由题意，当
，有
，
，
，
是方程
的两个不等实数根，
，
，而
，
，即
，
，
令
，则
，
则当
时，
的最小值为
．
故答案为：
13．B
【解析】
【分析】
对于A,C,D利用不等式的性质分析即可，对于B举反例即可
【详解】
对于A，因为
，所以
，所以
，即
，所以A成立；
对于B，若
，则
，
，此时
，所以B不成立；
对于C，因为
，故
，所以
，所以C成立；
对于D，若
，故
，即
，则
，所以D成立；
故选：
B
14．C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解.
【详解】
因为
是方程
的两个根，
所以由根与系数之间的关系，
，
，
故
.
故选：
C.
15．C
【解析】
【分析】
利用已知条件求出
的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．
【详解】
函数
，
，
则函数
的零点个数就是
与
交点个数，
如图可知，两个函数的图象有3个交点，
函数
的零点个数为3．
故选：
C．
【点睛】
本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．
16．B
【解析】
【分析】
由隐对称点的定义可知函数
图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程
的零点问题，再结合基本不等式得出实数
的取值范围．
【详解】
解：
由隐对称点的定义可知函数
图象上存在关于原点对称的点
设
的图象与函数
，
的图象关于原点对称
令
，则
，
故原题义等价于方程
有零点，解得
又因为
，当且仅当
时取等号
．
故选：
B．
17．x=
-1，y=
，（
+
）min=3+2
【解析】
【分析】
已知x+2y=1，可以借助“1”的代换，让要求解的式子乘以“1”，化成一个乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式即可完成求解.
【详解】
解：
∵x>0，y>0，且x+2y=1，∴
+
=（
+
）（x+2y）=3+
+
≥3+2
（当且仅当
=
，即x=
-1，y=
时，等号成立）
∴当x=
-1，y=
时，（
+
）min=3+2
18．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次不等式的解法和集合的交运算即可求解；
（2）若
是
的必要条件，则集合
，对集合
对应的不等式，根据其解集的端点
和
，分
，
，
三种情况进行讨论，在每种情况下，借助数轴列出集合
时实数
需满足的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】
（1）当
时，集合
，
集合
，
所以由集合的交运算可得，
．
（2）若
是
的必要条件，则集合
，
因为集合
．
①当
时，
，集合
，
要使
，则
，解得
，因为
，故这种情况不成立；
②当
时，
，集合
，这与题目条件矛盾；
③当
时，
，集合
，
要使
，则
，解得
，
因为
，故
，
综上可知：
实数
的取值范围为
．
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算、把必要条件等价转化为集合间的包含关系求参数的范围；考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归能力；把必要条件等价转化为集合间的包含关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
19．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）方法一、由完全平方公式和代换法可得所求解析式；方法二、运用换元法可得所求解析式，注意函数的定义域；
（2）求得f（x）的解析式，由题意可得
在
时有解．，由换元法和二次函数的最值求法，可得所求范围．
（1）
解法一：
∵
，
∴
．
又
，∴
．
解法二：
令
，则
．由于
，所以
．
代入原式有
，
所以
．
（2）
∵
，∴
．
∵存在
使
成立，
∴
在
时有解．
令
，由
，得
，
设
．
则函数
的图象的对称轴方程为
，
∴当
时，函数
取得最小值
．
∴
，即
的取值范围为
．
20．
（1）0.61亿元到1.64亿元之间
（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知得
，解出
的值，即可的解；
（2）依题意得
，结合基本不等式求出最大值，即可得出答案.
（1）
解：
由已知得
，
整理得
，得
，
将
代入得
，
每日研发经费大约在0.61亿元到1.64亿元之间；
（2）
解：
依题意得
，
，当且仅当
，即
时，取等号，
，
.
21．
（1）
，
；
（2）
在
上递增，证明见解析；（3）
或
．
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的性质可求得
再由
的值，可求得
.
（2）用定义法证明即可.（3）由题意可得，函数
的值域为函数
的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数
的不等式，从而得解.
【详解】
（1）依题意函数
是定义在
上的奇函数，所以
，所以
，
所以
，经检验，该函数为奇函数．
故
，
.
（2）
在
上递增，证明如下：
任取
，
其中
，
，所以
，
故
在
上递增．
（3）由于对任意的
，总存在
，使得
成立，
所以
的值域为
的值域的子集．
而由
（2）知：
，
当
时，
在
上递增，
，所以
，即
；
当
时，
在
上递减，
，所以
，即
．
综上所述，
或
．
故若对任意的
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范围为：
或
．
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