人教版七年级数学下册第五章 《 相交线与平行线》同步练习教师版.docx

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人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》同步练习教师版

第五章　相交线与平行线

5．1　相交线

5．1.1　相交线

基础题

知识点1　认识邻补角和对顶角

（1）有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．

（2）有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．

1．（2018·贺州）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（A）

A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠2和∠4D．∠2和∠5

2．下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（D）

3．如图，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠2，∠4，∠1的对顶角是∠3．

知识点2　邻补角和对顶角的性质

（1）互为邻补角的两个角相加等于180°．

（2）对顶角相等．

4．（2017·河池）如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是（C）

A．60°B．90°C．120°D．150°

5．（2018·钦州期末）如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是（A）

A．120°B．90°C．60°D．30°

6．（教材P9复习题T9变式）如图，测角器测得工件（圆台）的角度是40度，其测量角的原理是对顶角相等．

7．在括号内填写依据：

如图，因为直线a，b相交于点O，

所以∠1＋∠3＝180°（邻补角互补），

∠1＝∠2（对顶角相等）．

8．如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，求∠BOD的度数．

解：

因为OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，

所以∠AOC＝

∠EOC＝35°.

所以∠BOD＝∠AOC＝35°.

易错点1　对对顶角的性质理解不透彻而判断失误

9．下列说法正确的有（B）

①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

易错点2　未给出图形，考虑不全而致错

10．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x－10）°和（110－x）°，则x＝40或80．

中档题

11．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3＝（C）

A．90°B．120°C．180°D．360°

12．如图，直线AB和CD相交于点O.若∠AOD与∠BOC的和为236°，则∠AOC的度数为（A）

A．62°B．118°C．72°D．59°

13．（2018·揭阳揭西县期末）如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC.若∠BOE＝60°，则∠AOC的度数为（A）

A．60°B．30°C．120°D．45°

14．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O.

（1）∠AOD的对顶角是∠BOC，

∠EOC的对顶角是∠DOF；

（2）∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC，

∠EOB的邻补角是∠EOA和∠BOF．

15．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝140°．

16．如图，直线a，b相交于点O，已知3∠1－∠2＝100°，则∠3＝130°．

17．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝∠BOE，OB平分∠DOF.若∠DOE＝50°，求∠DOF的度数．

解：

因为∠AOE＝∠BOE，且∠AOE＋∠BOE＝180°，

所以∠AOE＝∠BOE＝90°.

因为∠DOE＝50°，

所以∠DOB＝∠BOE－∠DOE＝40°.

因为OB平分∠DOF，

所以∠DOF＝2∠DOB＝80°.

18．如图，l1，l2，l3交于点O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度数．

解：

设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝8x°.

由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得

10x＝180.解得x＝18.

所以∠1＝∠2＝18°.

所以∠4＝∠1＋∠2＝36°.

综合题

19．探究题：

（1）三条直线相交，最少有1个交点，最多有3个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；

（2）四条直线相交，最少有1个交点，最多有6个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；

（3）依次类推，n条直线相交，最少有1个交点，最多有

个交点，对顶角有n（n－1）对，邻补角有2n（n－1）对．

解：

（1）图略，对顶角有6对，邻补角有12对．

（2）图略，对顶角有12对，邻补角有24对．

5.1.2　垂线

基础题

知识点1　认识垂直

如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2＝（A）

A．35°B．40°C．45°D．60°

2．（2018·来宾期末）如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（C）

A．互为对顶角B．互补C．互余D．相等

3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．

解：

因为AB⊥CD，

所以∠DOB＝90°.

又因为∠DOE＝127°，

所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB

＝127°－90°＝37°.

所以∠AOF＝∠BOE＝37°.

知识点2　画垂线

4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（D）

知识点3　垂线的性质

（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

5．（2017·柳州）如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出（A）

A．1条B．2条C．3条D．4条

6．（2018·佛山顺德区期末）如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（C）

A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线

C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线

7．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是（D）

A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短

C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短

8．下列说法正确的有（C）

①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；

④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．

A．1个B．2个C．3个D．4个

知识点4　点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

9．（2017·北京）如图所示，点P到直线l的距离是（B）

A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度

易错点　未给出图形，考虑不周全致错

10．已知OA⊥OC，过点O作射线OB，且∠AOB＝30°，则∠BOC的度数为120°或60°．

中档题

11．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有（D）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（C）

13．如图所示，下列说法不正确的是（C）

A．点B到AC的垂线段是线段ABB．点C到AB的垂线段是线段AC

C．线段AD是点D到BC的垂线段D．线段BD是点B到AD的垂线段

14．（2018·贵港港南区期末）点P是直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（C）

A．小于2cmB．等于2cmC．不大于2cmD．等于4cm

15．如图，当∠1与∠2满足条件∠1＋∠2＝90°时，OA⊥OB.

16．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为55°．

17．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.

（1）求∠2的度数；

（2）AO与BO垂直吗？

说明理由．

解：

（1）因为DO⊥CO，所以∠DOC＝90°.

因为∠1＝36°，所以∠2＝90°－36°＝54°.

（2）AO⊥BO.理由如下：

因为∠3＝36°，∠2＝54°，

所以∠3＋∠2＝90°.

所以AO⊥BO.

18．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.

（1）求∠COE的度数；

（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．

解：

（1）因为∠AOC∶∠AOD＝7∶11，∠AOC＋∠AOD＝180°，

所以∠AOC＝70°，∠AOD＝110°.

所以∠BOD＝∠AOC＝70°，

∠BOC＝∠AOD＝110°.

又因为OE平分∠BOD，

所以∠BOE＝∠DOE＝

∠BOD＝35°.

所以∠COE＝∠BOC＋∠BOE＝110°＋35°＝145°.

（2）因为OF⊥OE，所以∠FOE＝90°.

所以∠FOD＝∠FOE－∠DOE＝90°－35°＝55°.

所以∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.

5.1.3　同位角、内错角、同旁内角

基础题

知识点　认识同位角、内错角、同旁内角

如图，直线AB，CD与EF相交．

（1）图中∠1和∠2分别在直线AB，CD的同一方（或上方），并且都在直线EF的同侧（或右侧），具有这样位置关系的一对角叫做同位角；

（2）图中∠2和∠8都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；

（3）图中∠2和∠7都在直线AB，CD之间，且都在直线EF的同一旁（或右侧），具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．

1．（2017·玉林）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（B）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角

2．（2017·柳州期末）如图，与∠1是同位角的是（C）

A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5

3．如图，与∠1是同旁内角的是（D）

A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5

4．（2018·广州）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（B）

A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4

5．如图，下列说法错误的是（D）

A．∠A与∠EDC是同位角B．∠A与∠ABF是内错角

C．∠A与∠ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角

6．如图，若∠1＝∠2，则在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中，相等的有（C）

A．1对B．2对C．3对D．4对

7．看图填空：

（1）∠1和∠3是直线AB，BC被直线AC所截得的同旁内角；

（2）∠1和∠4是直线AB，BC被直线AC所截得的同位角；

（3）∠B和∠2是直线AB，AC被直线BC所截得的同位角；

（4）∠B和∠4是直线AC，BC被直线AB所截得的内错角．

8．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于80°，∠1的内错角等于80°，∠1的同旁内角等于100°．

中档题

9．（2018·华南师大附中月考）在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是（B）

图①图②图③图④

A．①②B．①③C．②③D．③④

10．如图，属于内错角的是（D）

A．∠1和∠2B．∠2和∠3C．∠1和∠4D．∠3和∠4

11．如图，下列说法错误的是（B）

A．∠A和∠C是同旁内角B．∠1和∠3是同位角

C．∠2和∠3是内错角D．∠3和∠B是同旁内角

12．如图，∠ABC与∠EAD是同位角；∠ADB与∠DBC，∠EAD是内错角；∠ABC与∠DAB，∠BCD是同旁内角．

13．根据图形填空：

（1）若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1和∠2是同位角；

（2）若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3和∠4是内错角；

（3）∠1和∠3是直线AB，AF被直线ED所截构成的内错角；

（4）∠2和∠4是直线AB，AF被直线BC所截构成的同位角．

14．根据图形说出下列各对角是什么位置关系？

（1）∠1和∠2；

（2）∠1和∠7；（3）∠3和∠4；

（4）∠4和∠6；（5）∠5和∠7.

解：

（1）∠1和∠2是同旁内角；

（2）∠1和∠7是同位角；

（3）∠3和∠4是内错角；

（4）∠4和∠6是同旁内角；

（5）∠5和∠7是内错角．

15．如图，如果内错角∠1与∠5相等，那么与∠1相等的角还有吗？

与∠1互补的角有吗？

如果有，请写出来，并说明你的理由．

解：

∠1＝∠2，与∠1互补的角有∠3和∠4.

理由：

因为∠1＝∠5，∠5＝∠2，所以∠1＝∠2.

因为∠1＝∠5，且∠5与∠3或∠4互补，

所以与∠1互补的角有∠3和∠4.

综合题

16．探究题：

（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对；

图1　　　　　图2

（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对；

（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n－1）对，内错角有n（n－1）对，同旁内角有n（n－1）对．（用含n的式子表示）

5.2　平行线及其判定

5．2.1　平行线

基础题

知识点1　认识平行

在同一平面内，两条不相交的直线互相平行．

1．下列说法中，正确的是（D）

A．平面内，没有公共点的两条线段平行B．平面内，没有公共点的两条射线平行

C．没有公共点的两条直线互相平行D．互相平行的两条直线没有公共点

2．在同一平面内的两条不重合的直线的位置关系（C）

A．有两种：

垂直或相交B．有三种：

平行，垂直或相交

C．有两种：

平行或相交D．有两种：

平行或垂直

3．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．

（1）a与b没有公共点，则a与b平行；

（2）a与b有且只有一个公共点，则a与b相交；

（3）a与b有两个及以上公共点，则a与b重合．

4．如图，完成下列各题：

（1）用直尺在网格中完成：

①画出直线AB的一条平行线；②经过点C画直线垂直于CD；

（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．

解：

（1）如图所示．

（2）EF∥AB，MC⊥CD.

知识点2　平行公理及其推论

（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即：

如果a∥b，b∥c，那么a∥c.

5．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是（D）

A．平行公理B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线平行

6．点P，Q都是直线l外的点，下列说法正确的是（D）

A．连接PQ，则PQ一定与直线l垂直B．连接PQ，则PQ一定与直线l平行

C．连接PQ，则PQ一定与直线l相交D．过点P只能画一条直线与直线l平行

7．如图，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上．理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

8．如图，P，Q分别是直线EF外两点．

（1）过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；

（2）AB与CD有怎样的位置关系？

为什么？

解：

（1）如图．

（2）AB∥CD.

理由：

因为AB∥EF，CD∥EF，

所以AB∥CD.

易错点　对平行线的有关概念及公理理解不清

9．（2017·玉林北流市期中）下列说法中，正确的有（A）

①过一点有无数条直线与已知直线平行；

②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

③如果两条线段不相交，那么它们就平行；

④如果两条直线不相交，那么它们就平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

中档题

10．如图，AB∥CD，EF∥AB，AE∥MN，BF∥MN，由图中字母标出的互相平行的直线共有（C）

A．4组B．5组C．6组D．7组

11．如图，因为直线AB，CD相交于点P，AB∥EF，所以CD不平行于EF.理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

12．在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交．

13．（教材P17习题T11变式）观察下图所示的长方体，回答下列问题．

（1）用符号表示两棱的位置关系：

A1B1∥AB，AA1⊥AB，A1D1⊥C1D1，AD∥BC；

（2）AB与B1C1所在的直线不相交，它们不是平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线．

14．如图，在∠AOB内有一点P.

（1）过点P画l1∥OA；

（2）过点P画l2∥OB；

（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系．

解：

（1）

（2）如图所示．

（3）l1与l2的夹角有两个：

∠1，∠2.

量得∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，

所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补．

15．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？

解：

因为AB∥EF，CD∥EF，

所以CD∥AB.

综合题

16．利用直尺画图：

（1）利用图1中的网格，过点P画直线AB的平行线和垂线；

（2）在图2的网格中画一个四边形，满足：

①两组对边互相平行；②任意两个顶点都不在一条网格线上；③四个顶点都在格点上．

解：

（1）如图所示．CD∥AB，PQ⊥AB.

（2）如图所示．四边形ABCD是符合条件的四边形．

5.2.2　平行线的判定

基础题

知识点1　同位角相等，两直线平行

1．（2017·玉林陆川县期末）如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（A）

A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等

2．（2017·绥化）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是（C）

A．∠2＝35°B．∠2＝45°C．∠2＝55°D．∠2＝125°

3．（教材P21例2变式）已知a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是平行．

4．如图，∠3与∠1互余，∠3与∠2互余．试说明：

AB∥CD.

解：

∵∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，

∴∠1＝∠2.

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

知识点2　内错角相等，两直线平行

5．（2018·深圳龙岗区一模）如图，能判定AB∥CD的条件是（A）

A．∠A＝∠ACDB．∠A＝∠DCEC．∠B＝∠ACBD．∠B＝∠ACD

6．如图，请在括号内填上正确的理由：

∵∠DAC＝∠C（已知），

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．

7．如图，∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA，试说明：

AD∥BC.

解：

∵∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA（已知），

∴∠BAD－∠BAC＝∠DCB－∠DCA（等式的性质），

即∠DAC＝∠BCA．

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．

知识点3　同旁内角互补，两直线平行

8．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备的另一个条件是（C）

A．∠2＝70°B．∠2＝100°C．∠2＝110°D．∠3＝110°

9．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于80°．

10．如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.试说明：

AB∥CD.

解：

∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，

∴∠BCD＝130°.

∵∠ABC＝50°，

∴∠BCD＋∠ABC＝180°.

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

易错点　不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行

11．（教材P36复习题T8

（1）变式）（2018·贵港桂平期末）如图，点E在AC的延长线上，有下列条件：

①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠A＋∠ABD＝180°；⑥∠A＋∠ACD＝180°，其中能判定AB∥CD的是①③⑥．

中档题

12．（2018·郴州）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（D）

A．∠2＝∠4B．∠1＋∠4＝180°C．∠5＝∠4D．∠1＝∠3

13．如图，下列说法错误的是（C）

A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1＝∠2，则a∥c

C．若∠3＝∠2，则b∥cD．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c

14．（2018·湘潭）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为答案不唯一，如：

∠C＝∠CDE．（任意添加一个符合题意的条件即可）

15．如图，用几何语言表示下列句子．

（1）因为∠1和∠B相等，根据“同位角相等，两直线平行”，所以DE和BC平行；

（2）因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行；

（3）因为∠BDE和∠B互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”，所以DE和BC平行．

解：

（1）∵∠1＝∠B（已知），

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．

（2）∵∠1＝∠2（已知），

∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．

（3）∵∠BDE＋∠B＝180°（已知），

∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

16．（2018·湛江廉江市期末）完成下面的推理．

如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α＋∠β＝90°，试说明：

AB∥CD.

完成推理过程：

∵BE平分∠ABD（已知），

∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．

∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠BDC＝2∠β（角平分线的定义）．

∴∠ABD＋∠BDC＝2∠α＋2∠β＝2（∠α＋∠β）（等量代换）．

∵∠α＋∠β＝90°（已知），

∴∠ABD＋∠BDC＝180°（等量代换）．

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

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