2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本（均值）不等式的问题可考虑利用函数的单调性.
已知函数f（x）＝x＋（p为常数，且p>0），若f（x）在（1，＋∞）上的最小值为4，则实数p＝（ ）
A．2B.
C．4D.
答案：
B
解析：
由题意，得x－1>0，
f（x）＝x－1＋＋1≥2＋1，
当且仅当x＝＋1时等号成立．
因为f（x）在（1，＋∞）上的最小值为4，
所以2＋1＝4,解得p＝.
考点3 基本（均值）不等式的实际应用
（1）[教材习题改编]现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面
的较短边长是（ ）
A．1mB．1.5m
C．0.75mD．0.5m
答案：
A
（2）[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝的长为________m.
答案：
4＋2
解析：
设两直角边分别为am，bm，框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，
∴l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝的长为（4＋2）m.
（3）[教材习题改编]建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元．
答案：
1760
解析：
池底一边长为x米，则另一底边为米，则总造价y＝4×120＋4×80≥1760，当且仅当x＝2时取得最小值．
[典题5] 某项研究表明：
在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：
辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：
米/秒）、平均车长l（单位：
米）的值有关，其公式为F＝.
（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；
（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比
（1）中的最大车流量增加________辆/时．
[答案]
（1）1900
（2）100
[解析]
（1）当l＝6.05时，
F＝，
∴F＝＝
≤＝1900，
当且仅当v＝，即v＝11时等号成立．
∴最大车流量F为1900辆/时．
（2）当l＝5时，
F＝＝，
∴F≤＝2000，
当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．
∴最大车流量比
（1）中的最大车流量增加2000－1900＝100（辆/时）．
[点石成金] 解实际应用题的三个注意点
（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.
某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．60件B．80件
C．100件D．120件
答案：
B
解析：
若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时等号成立.
[方法技巧] 1.基本（均值）不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本（均值）不等式的切入点．
2．对使用基本（均值）不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋（m>0）的单调性．
[易错防范] 1.使用基本（均值）不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．连续使用基本（均值）不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
真题演练集训
1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．
答案：
8
解析：
由sinA＝sin（B＋C）＝2sinBsinC，得
sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，
两边同时除以cosBcosC，得
tanB＋tanC＝2tanBtanC，
令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，
因为△ABC是锐角三角形，
所以2tanBtanC>2，
则tanBtanC>1，m>2.
又在三角形中有
tanAtanBtanC＝－tan（B＋C）tanBtanC
＝－·m＝＝m－2＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，
故tanAtanBtanC的最小值为8.
2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位：
元）．
答案：
160
解析：
设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
所以该容器的最低总造价为160元．
3．[2013·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
答案：
－2
解析：
∵a＋b＝2，
∴＋＝＋
＝＋＝＋＋
≥＋2＝＋1.
当且仅当＝且a<0，
即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．
课外拓展阅读
基本（均值）不等式在压轴题中的应用
关于基本（均值）不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．
1．与数列搭配
基本不等式在数列解答题中多出现在第
（2）问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．
[典例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
2Tn－9bn－1＋18>（n>1）．
[思路分析]
（1）根据等差数列和等比数列的性质易求；
（2）中数列{bn}满足bn＝，这是一个等差数列的前n项和与一个关于n的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．
（1）[解] 因为a1，a2，a7成等比数列，
所以a＝a1a7，即（a1＋d）2＝a1（a1＋6d）．
又a1＝1，d≠0，所以d＝4.
所以Sn＝na1＋d＝n＋2n（n－1）＝2n2－n.
（2）[证明] 因为bn＝＝＝2n，
所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．
所以Tn＝＝n2＋n.
所以2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18（n－1）＋18
＝2n2－16n＋36＝2（n2－8n＋16）＋4
＝2（n－4）2＋4≥4，当且仅当n＝4时等号成立．①
＝
＝＝≤
＝4，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．②
又①②中等号不可能同时取到，
所以2Tn－9bn－1＋18>（n>1）．
温馨提示
本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．
2．与函数、导数共现
在函数的解答题中出现的基本（均值）不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．
[典例2] 已知h（x）＝ln（x＋1）－.
（1）当a>0时，若对任意的x≥0，恒有h（x）≥0，求实数a的取值范围；
（2）设x∈N且x>2，试证明：
lnx≥＋＋＋…＋.
（1）[解] h（x）＝ln（x＋1）－，
则h（x）的定义域为（－1，＋∞），
h′（x）＝－＝.
①当0则h（x）在[0，＋∞）上单调递增，
h（x）≥h（0）＝0，所以满足题意．
②当a>1时，h（x）在x∈（0，a－1]上单调递减，h（x）在x∈[a－1，＋∞）上单调递增．
若对任意的x≥0，恒有h（x）≥0，
则h（x）的最小值h（a－1）＝lna＋1－a≥0恒成立．
令m（a）＝lna＋1－a（a>1），
则m′（a）＝，m′（a）<0，
m（a）在a∈（1，＋∞）上单调递减，
所以当a∈（1，＋∞）时，有m（a）（1）＝0，
与h（a－1）＝lna＋1－a≥0恒成立矛盾．
所以实数a的取值范围为（0,1]．
（2）[证明] 由
（1）知，ln（1＋x）≥，
所以lnx＝ln
＝ln2＋ln＋ln＋…＋ln
＝ln（1＋1）＋ln＋ln＋…＋ln
≥＋＋…＋
＝＋＋＋…＋.
所以lnx≥＋＋＋…＋.
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