(1)=2-1=1,从而实数b的取值范围为(-∞,1).
解法二 由题意可知x2+bx-2<0在区间[1,2]上有解.
令g(x)=x2+bx-2,则等价于g(x)在区间[1,2]上的最小值小于0.
当-≥2即b≤-4时,g(x)在[1,2]上递减,
∴g(x)min=g
(2)=2b+2<0,即b<-1,所以b≤-4;
当1<-<2即-4
∴g(x)min=g(-)=()2--2=--2<0恒成立.所以-4
当-≤1即b≥-2时,g(x)在[1,2]上递增,
∴g(x)min=g
(1)=b-1<0即b<1,所以-2≤b<1.
综上可得b≤-4或-4
从而实数b的取值范围为(-∞,1)
22.(本小题满分12分)
[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:
当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
解析:
(1)证明:
当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.
设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x.
当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减.
而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.
(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.
f(x)在(0,+∞)只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)只有一个零点.
(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;
(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.
当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.
所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
故h
(2)=1-是h(x)在(0,+∞)的最小值.
①若h
(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)没有零点.
②若h
(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)只有一个零点.
③若h
(2)<0,即a>,
因为h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点;
由
(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0,故h(x)在(2,4a)有一个零点.
因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.
综上,当f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.