N仁
x（砒与X（Q是一个有限长序列离散傅里叶变换对，己知xm丿就能唯一地确定同样己知X（k）也就唯一地确定双耐,实际上双丹丿与X伙丿都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。
注:
在涉及DFT关系的场合，有限长序列总是表示周期序列的一个周期性.
29
DFT的矩阵方程表示
■A-（0）
x（l）
•
•
•
x=
■X（0）x（l）
•
•
■
x（N-l）
X（N-l）
X=
X=Wz
vv,=
■
I
I
1
•
•
1
"n
•
•
1
W'
«
■
■…1
...严'
••
B•
I
•
*
••
IDFT的矩阵方程表示兀=Wn"X
旳严）
例3.1
解:
求复数序列x（n）={1+72,2+72,川+刀的DFT©
1
1
1
1■
「1
11
1■
1
W；
W?
W/
1
-j-1
1
-J
1
W?
W?
Wj
1
-11
-1
1
WJ
W/
WJ
1
J-1
-7J
W产
根据X=W肿对求得,
x（0）
1111
1+72
4+76
x（l）
1-J-1-J
2+72
2
X⑵
1-11-1
j
-2
X⑶
1j-1-7
•+2
_J2
3.DFT特性:
以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。
假定x（n）^y（n）是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为=
y（k）=DFT[y（n）]
X（k）=OFT[x{n）]
DFT[ax（n）+by（n）]=cX伙）+bY（k）
其中，a,b为任意常数
33
（2）循环移位（圆周移位）性
a・有限长序列的循环移位定义为:
f（n）=x（（n+加n）
含义s1）x（（H+m））N表示x（n）的周期延拓序列亍何的移位
x（（n+w））N=x（n+w）
2）表示对移位的周期序列x（（H+m））N取主
值序列，所以ZS丿仍然是一个长度为N的有限长序列。
见图3・6（a）~（d）。
从以上分析可知：
循环移位序列与线性移位序列在外形上不一样，循环移位屮，当一个样本从0到N-1这个区间的某一端点移出去时，它又从另一端点处移了进来，移位后序列的长度不变。
而线性移位中移出0到N・1这个区间的序列就不会再出现在该区间内了，移位后区间内的长度己发生了变化。
序列的循环移位实际上可看作：
将序列
If'：
X（H）其林样本值逆时针等间隔排列在圆周上,并旋转加位;m>0f顺时针旋转；wvO,逆时针旋转。
见图3・7。
循环移位x（"）t
6
0NJ
b.序列循环移位后的DFT为；
F伙）=DFTVG）]=⑷
证：
利用周期序列的移位特性：
DFS[x（（n+w））N]=DFS[丘（打+加）]=吩皿文伙）
・•・DFr[/（z7）]=DFT[x{{n+（n）]
=£）Fr[x（z7+
={DFS[x（n+〃2）]}心伙）=（幻
实际上，利用的周期性，粉刚几心例代入
DFT定义式，同样很容易证明。
同样，对于频域有限长序列的循环移位，有如下反变换特性:
/QF7IX（伙伙）1=%”
（3）循环卷积（圆周卷积）
a.循环卷积的定义
设X仞、jG丿均是长度为N的序列，
N-\
若/（«）=工尤（加），（（允一加））"心（n）
加二0
N-I
或f5）=工x（（n-oNRn5）
/rt=0
则为xS八刃砒的循环卷积，用符号“®”或“®”表示，以区别于线性卷积。
BP：
/（/2）=x（n）0y（n）或/（/?
）=y（n）0x{n）
39
这个卷积可看作是周期序列x（n）hiy（n）作周期卷积后再取其主值序列。
证明：
设7（n）为壬（”）与5^0）的周期卷积，即〜N-1
7（n）=x（n}*y（n）=工x（m）y（n—ni）
w-0
〜N7
贝|」fO）心（n）=［工x（m）y（n一加）］心⑺）
m=0
N-l
=［工x（（n7））Ny（（n一龙））N\Rn（挖）
/n=0
当:
09"三V-ni寸，x（伽丿加=/伽丿，伏］此
"iV-l■
同理町得:
〜N-I
75）Rn00=工y（加）x（3-/?
?
））NRn何=〉'（八）®x（n）m=Q
这一卷积与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间®,5"』内进行，所以y（（m））NRn快际上就足ySO的圆周移位，因此该卷积称为“圆周卷积”或“循环卷积”，习惯上常用符号“®”表示循环卷积，以区别于线性卷积。
由有限长序列y伽丿构造周期为N的周期序列y（m）确定循环港积移位序列y（S-m）片心⑺）
/V-I
计算工x（m）y（（"-"i））/vR/vS）
m=0
b.循环卷积计算过程：
2）
3）
41
1）
循环卷积的另外两种计算方法:
bl
周法；笫一步：
将x（切）逆时针等间隔排列在内圜周上，将y（m）顺时针等间隔排列在外岡周上，将对应位的.v（zH）-L/y（zz7）相乘再和加得/（叫第二步：
将y（/n）逆时针转一位形成y（l-/?
/）,再将对应位的期加）®（1・加）相乘、相加即罪ir（i）。
以此类推解得全部结果（本方法不适用于N较大的情况）O
利用线性卷积做循环卷积：
先计算.r（zO*>（n）,然后从N位（冇效位）开始截断，将截断的肩半部分移至下一行，与截断的丽半部人1对齐，然后再相加。
补例6：
设有两个序列，仍为N=4矩形序列，为M=5矩形序列，计算其线性卷积和不同长度乙时的循环拳狙。
x（n）fy（m严）
M=5
解：
线性港积A⑵二口严MU具冇N+M・l=8个非零值庶结果见上图（C）.不同乙下的循坏卷积结果分别见上图（d）-（fb
43
C・循环卷积（圆周卷积）定理如（⑵、VG丿均是长度为川的序列，若
/G）=x（n）®y（n）
则：
F（k）=X（k）Y（k）
同样，若f（n）=x（n）y（n）,则
F（k）=^X（k）0Y（k）=^Y（k）0X伙）
NN
1N_l
即F（k）=DFr[f（n）]=^XX（/）Y（（k-l））^R^（k）
N20
IAM
=775>"）X（伙一/））N心伙）
N/=o
（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积
（循环卷积的应用）
实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号双町通过系统h（n）,其输出就是线性卷^（n）=x（fi）Vt（n）.而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFE技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。
如果VG八加町为有限长序列，现在我们来讨论上述x（zj与加⑵的线性淮积，在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真？
45
有限长序列的线性卷积:
假定为有限长序列，长度为MM〃为有限长序列,长度为M,它们的线性卷积^f（n）=x（n）^y（n）.
6
BP：
f（n）=x（n）*y（zz）=工
在这区间以外不是兀伽）二0,就是因而f5）=0。
因此，的非零区间是“9WV+M2,是一个长度为N+M-1的有限长序列。
循环卷积:
将两个有限长序列H⑵、W⑵通过在原序列之后加零的方法将其长度扩展为Q<.L>max[N,M}^.并将兀何与y何以工为周期进行周期延拓！
//（n）=x（n）®y（n）=//（z2）/?
^（n）=^/（n+rL）Rg）
r=^co
当线性卷积周期延拓无重叠，即：
E?
NM.I
/；（«）=/（n）,即：
x{n）?
y（/7）x（n）*y（n）
时,
所以使循环（圆周）卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是：
L^N+M-r
S
/（n）=x（z0*y（n）=Xx（加）
/n._s
=^x（zn）y（«-/n）=^x（/n）y（n-/n）=£/（zz+rL）
r=—<>o
fj{n）=x{n）®y{H）=R&i）
49
观察补充例6中线性卷积和循环卷积的结果，则可验证线性卷积与循环卷积的关系，当时/何才（"几
x（n）
TN-4
II»*
123nk
（a）
fi（n）
L=6
（d）
图3.8
y（n）
123in
M=5
f（n）
N+il1=8
-/II1II1T<<>
-Ip12…78910n
4-[
L=8
1
•
11
IT•
（b）
（e）
4・・
（c）
r,（n）
L=9
^910n
（f）
线性卷积与循环卷积
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