（2）A-①二A（3）A-{O）}={a,&,{a,/?
}}
（4）{{a,b}}~A=①（5）①一A=（6）{0）}-A=0）
例3试证明（Au-B）n（-AuB）=（AnB）u（-Ac〜B）
证明
（Au〜B）c（〜AoB）=（（Au〜B）c〜A）u（（Au〜B）cB）
=（（An〜A）u（〜Be〜A）2（（4cB）u（〜BcB））=（①u（〜An〜B））u（（AnB）u①）
=（AcB）u（〜An〜B）
第二章二元关系
［复习知识点］
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质（白反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图（Hasse）.极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
本章重点内容：
二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映
射的概念
［复习要求］
1、理解关系的概念：
二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质（白反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。
4、掌握求关系的闭包（白反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念：
函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。
［木章重点习题］
P25,1；P32〜33,4,8,10；P43,2,3,5；P51〜52,5,6；P59,1,2；P64,3；P74〜75,2,4,6,7；P81,5,7；P86,1,2。
［疑难解析］
1、关系的概念
关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。
因此，学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。
对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。
这其屮对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：
一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。
如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。
另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若仏卫2上尺，@2，勺上尺，……，（g，e）wR，
则如若R,（b,a）wR,则有（a,a）wR,且（b,b）wR。
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。
关键是熟记三个定理的结
论：
定理2,r（/?
）=/?
u/4；定理3,s（R）=RdRT；定理4,推论/（/?
）=JJ/?
*o
4、半序关系及半序集屮特殊元索的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。
哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。
这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在了集内确定，而上界与下界可在了集Z外的全集屮确定，最小上界为所有上界屮最小考，最小上界再小也不小于了集屮的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
5、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。
判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的了集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对备种初等函数。
［例题分析］
例1设集合A={a",c,d},判定下列关系，哪些是H反的，对称的，反对称的和传递的:
&={（a,a）,0,d）}R2={（a,a）,0,c）,（〃,d）}R3={（c,d）}R4={（a,a,）,（b,b）,（c,c）}R5={（d,c）,（〃,〃）}
解:
均不是自反的;R4是对称的；Ri,R2,R3,R4,R5是反对称的；R1R2R3,R4,R5是传递的。
例2设集合A={1,23,4,5},A上的二元关系R为
R={（1,1）,（2,2）,（3,3）,（3,4）,（4,4）,（5,3）,（5,4）,（5,5）}
（1）写岀R的关系矩阵，砸出R的关系图；
（2）证明R是A上的半序关系，画出其哈斯图；
（3）若BqA,KB={2,3,4,5},求B的最大元，最小元，极大元，极小元，最小上界
解
（1）R
的关系
矩図
匸为
‘1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
mr=
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
.0
0
1
1
1
和最大下界。
R的关系图略
（2）因为R是H反的，反对称的和传递的，所以R是A上的半序关系。
（A,R）为半序集,（A,R）的哈斯图如下
o4
O1
3
。
2
5
⑶当B={2,3,4,5},B的极大元为2,4；极小元为2,5；B无最大元与最小元；B
也无上界与下界，更无最小上界与最大下界。
第三章命题逻辑
［复习知识点］
1、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题
2、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价
3、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式
4、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）
5、公式的蕴涵与逻辑结果
6、形式演绎
木章重点内容：
命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎
［复习要求］
1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基木等价式化简其他公式,公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基木等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
5、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，掌握基木蕴涵式。
6、掌握形式演绎的证明方法。
［木章重点习题］
P93,1；P98,2,3；P104,2,3；P107,1,3；P112,5；P115,1,2,3。
［疑难解析］
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最示一列是否全为1（或全为0）,就可以判定该公式是占恒真（或恒假），若不全为0,则为可满足的。
二是推导法，即利用基木等价式推导出结果为1,或者利用恒真（恒假）判定定理：
公式G是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式屮所含有的每个短语不迅极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：
一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基木等价式屮的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幕律，使相同的短语（或了句）只保留一个。
另外，由已经得到的主析取（合取）范式，根据GviG=l,-i（-iG）=G原理，参阅《离散数学学习指导书》P71例15,可以求得主合取（析取）范式。
3、形式演绎法
掌握形式演绎进行逻辑推理时，一退要理解并掌握14个基木蕴涵式，二是会使用三个规则：
规则P、规则Q和规则D,需要进行一定的练习。
［例题分析］
例1求G=（（PaQ）v-./?
）->P的主析取范式与主合取范式。
解
（1）求主析取范式，
方法1：
利用真值表求解
PQR
PA0
（PAe）v->/?
G
000
0
1
0
001
0
0
1
010
0
1
0
011
0
（）
1
100
0
1
1
101
0
0
1
110
1
1
1
111
1
1
1
因此
G—（-PA―Q/\R^"V（―PAQA/?
）V（PA—QA—7?
）V（P/\―QA/?
）V（PAQ/\—R）V（PA2A/?
）
方法2：
推导法
G=（（pAQ）Rv「R）TP=i（（paQ）v-.R）vP
=（（「pv^q）ar卜p=Jp八/?
）v（^ear卜p
=（（「Pa/?
）a（「Qve））V（（「Qa7?
）a（Pv「p））
V（PA（2v-ne）A（/?
V^/?
））
—（―P/\Q/\7?
）V（—PA—QA/?
）V（PA—QA/?
）V（―PA—QA/?
）
V（PAQA/?
）v（PA（2A-1/?
）V（PA-1QAR卜（PA—igA—i/?
）=（-iPAgA7?
）V（-1PA—iQA/?
）V（PA—yQA7?
）V（PAQA/?
）V（PAQA-1/?
）V（PA-10A-17?
）
（2）求主合取范式
方法1：
利用上面的真值表
（（PAg）v-1/?
）^P为0的有两行，它们对应的极大项分别为PvQvR,P7rQ\R
因此，（（PAe）V^/?
）->P=（PV2V/?
）A（PV^2VR）
方法2：
利用已求出的主析取范式求主合取范式
已用去6个极小项，尚有2个极小项，即
―PA—QA—R与一PAQA—R于是
―G—（-Pa—Qa―/?
）v（—P/\Q/\―R）
G=7「G）=「（（「P「R卜（「PA0A「/?
））
=（PV2V?
?
）A（PV-1QV/?
）
例2试证明公式G=（（p-»e）A（e^/?
））->（p-»/?
）为恒真公式。
证法一：
见〈离散数学学习指导书〉P60例6（4）的解答。
（真值表法）证法二：
G=-.（CiPvQ）a（-.QvR））vJPvR）
=（Pa—）Q）v（Qa—!
R）v—!
PvR
=（（（PvQ）A（Pv^R）A（^QvQ）A（「QX/-.R））v-.P）vR
=（（PvQv-iP）A（Pv—!
Rv-nP）A（-iQv—>Rv-iP））vR
=（1a（—>Qv-iRv-iP））vR
=-iQv-iRv-iPvR
故G为恒真公式。
例3利用形式演绎法证明{Pt（QtR）,「Sx/P,Q}蕴涵StR。
证明：
（1）-nSvP
规则P
（2）S
规则D
（3）P
规则Q，根据
（1）,
（2）
（4）P->（QtR）
规则P
（5）QtR
规则Q，根据（3）,（4）
（6）Q
规则P
（7）R
规则Q,根据（5）,（6）
（8）StR
规则D,根据
（2）,（7）
第四章谓词逻辑
［复习知识点］
1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）
2、谓词公式与解释，谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）
3、谓词公式的等价和蕴涵
4、前束范式
本章重点内容：
谓词与量词、公式与解释、前束范式
［复习要求］
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
3、理解用解釋的方法证明等价式和蕴涵式。
4、掌握求公式前束范式的方法。
［木章重点习题］
P120,1,2；P125〜126,1,3；P137,1。
［疑难解析］
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引入的意义，概念的含义及在谓词与量词作用下变量的H由性、
约朿性与改名规则。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式屮的量词消除，写成与Z等价的公式，然后将解释I屮的数值代入公式，求出真值。
3、前束范式
在充分理解掌握前朿范式概念的基础上，利用改名规则、基木等价式与蕴涵式（一阶逻辑屮），将给定公式屮量词提到母式Z前称为首标。
［典型例题］
例1设I是如下一个解释：
D={2,3}
F
（2）F（3）P
（2）P（3）Q（2,2）Q（2,3）Q（3,2）Q（3,3）
32011101
求3xVy（P（x）aQ（F（x）,y））的真值。
解
3xVy（P（x）AQ（F（x）,y））=3x（（P（x）aQ（F（x）,2））a（P（x）aQ（F（x）,3）））
=（（P⑵人Q（F
（2）,2））a（P⑵人Q（F
（2）,3）））
v（（P（3）aQ（F（3）,2））a（P（3）aQ（F（3>3）））
=（（oA0）A（0a1））v（（1a1）a（1a1））
=0v1
=1
例2试将一阶逻辑公式化成前束范式。
解
G=3x（3yP（x,y）v（-«3y（2（y）v7?
（x）））
=3x（3yP（x,）卜卜R（x）））
=3x（3yP（x,y）vVz-ig（z）vZ?
（x））
=3x3yVz（F（x,y）vv尺（兀））
第五章图论
［复习知识点］
1、图、完全图、了图、母图、支撑了图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径，辿克斯特拉算法（Dijkstra）
4、树、支撑树、二叉树
5、权图中的最小树,克鲁斯卡尔算法（Kruskal）
6、有向图、有向树
本章重点内容：
权图的最短路、二叉树的遍历、权图中的最优支撑树
［复习要求］
K理解图的有关概念：
图、完全图、了图、母图、支撑了图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）。
3、理解权图、路的概念，掌握用Dijkstra算法求权图屮最短路的方法。
4、理解树、二叉树与支撑树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法，用Kruskal算法求权图屮最小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概念。
［木章重点习题］
P221,2；P225,I；P231,2,3；P239,5；P242,1,2。
［疑难解析］
1•木章的概念较多，学习时需要认真比较备概念的含义，如：
图、了图、有向图、权图；树、支撑树、二叉树、有向树；路、简单路、I叫路等，这些都是图的基木概念，今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课稈中用到。
2、权图屮的最短路
严格执行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步骤，从起点起，到每一点求出最短路，然后进行仔细比较，最后到达终点，算出最小权和。
3、权图屮的最优支撑树
权图屮的报优支撑树是图屮所带权和最小的支撑树，使用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。
［典型例题］例1在具有n个顶点的完全图Kn屮删去多少条边才能得到树？
解：
n个顶点的完全图K“屮共有nx（n-1）/2条边,
n个顶点的树应有n・l条边，
于是，删去的边有：
nx（n-1）/2-（n-1）=（n-1）x（n-2）/2
例2求下面有限图屮点u到备点间的最短路。
（图上数字见教材P231,第3题。
）
解U-»U|,
d（u,Ui）=l,
路（u,U|）
U—>U2，
d（u,u2）=9,
路（u,U4.U3,U7,U2）
u—>U3,
d（u,u3）=5,
路（u,u4,u3,）
UTU4,
d（u,u4）=3,
路（u,u4）
TU5,
d（u,u5）=11,
路（u,U1,U5）或路（u,U4,U3,U7,U2,u5）
U-»U6,
d（u,u6）=13,
路（u,uhu5,u6）
u->u7,
d（u,117）=8,
路（u,u4,u3,u7）
u->u8,
d（u,u8）=ll,
路（u,u4,u8）
u—>V,
d（u,v）=15,
路（u,Ui,u5,u6,v）或路（u,U4,U3,u7,U6,v）
二、考核说明
本课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。
形成性考核占总成绩的20%,以课程作业的形式进行（共三次；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。
总成绩为100分，60分及格。
期末考试实行全国统一闭卷考核，试卷满分为100。
由浙江电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间（考试时间为120分钟）。
1、试题类型
试题类型有填空题（分数约占20%）、单项选择题（分数约占T4%）、计算题（分数约占50%）和证明题（分数约占16%）。
填空题和单项选择题主要涉及基木概念、基木理论，重要性质和结论、公式及其简单计算。
计算题主要考核学生的基木运算技能，要求书写计算、推论过程或理由。
证明题主要考杳应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
2、考核试卷题量分配
试卷题量在备部分的分配是：
集合论约rS40%,数理逻辑约占一40%，图论约占一20%。
具体课程考核情况见课程考核说明。
附录：
试题类型及规范解答举例
［填空题］
1.设R是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有性、对称性和性，
则称R是等价关系。
2.命题公式G=（PaQ）->R,则G共有个不同的解释；把G在其所有解释
下所取真值列成一个表，称为G的；解释（「P,Q,「R）或（0,1,
0）使G的真值为。
3.设6=（P,L）是图，如果G是连通的，并且,则G是树。
如果根树T
的每个点v最多有两棵子树，则称T为,
［单项选择题］（选择一个正确答案的代号，填入括号屮）
1.由集合运算定义，下列各式正确的有（）0
A.XcXuYB.XoXuYC.XyXcYD.YcXnY
2.设Ri，R2是集合A={a,b,c,d}上的两个关系,其中R】={（a,a）,（b,b）,（b,c）,
（d,d））,R2={（a,a）,（b,b）,（b,c）,（c,b）,（d,d）},则R?
是Ri的（）
闭包。
A.自反B・对称C.传递D.以上都不是
3.设G是由5个顶点组成的完全图，则从G屮删去（）条边可以得到树。
A.4B.5C.6D.10
［计算题］
1.化简下式：
（A-B-C）u（（A-B）cC）u（AnB-C）u（AnBnC）
2.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。
（1）（PaQ）v（^PaQaR）；
（2）（Pv（QaR））a（Qv（-.PaR））；
3.求图屮A到其余备顶点的最短路径，并写出它们的权。
B7C
［证明题］
1.利用基木等价式证明下面命题公式为恒真公式。
（（PtQ）a（QtR））t（PtR）
2.用形式演绎法证明：
{PtQ,RtS,PvR}蕴涵Q\/S。
试题答案及评分标准
［填空题］
1、自反；
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