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四上竞赛辅导4

第十讲间隔规律

在第五单元，我们学习了间隔排列的规律。

知道一一间隔排列的物体，有这样两种情况，一种是不封闭的，两端物体个数=中间物体个数＋1；一种是封闭的，两端物体个数=中间物体个数。

运用这一规律，我们可以解决一些常见的生活问题。

例1：

在一条笔直的公路的一边从头到尾一共种了60棵树，如果每两棵树之间间隔3米，这条公路长多少米？

分析：

60棵树之间一共有59个间隔，因此，这条公路就有59个3米那么长。

解：

3×（60－1）=3×59=177（米）。

想一想：

（1）如果把“一边”改成“两边”，这道题又该怎么做？

（2）如果把“一条笔直的公路的一边”改成“一个椭圆形水塘的边上”，这道题又该怎么做？

例2：

在一块正方形的花圃四周种树，每边都种20棵，并且四个顶点都种有1棵树。

这个花圃四周一共种树多少棵？

分析：

每边种20棵，那四边一共种了20×4=80（棵），但角上4棵双算了，因而要去掉4棵。

解：

20×4－4=80－4=76（棵）

思考：

（1）这道题你还能想出其它方法吗？

说说列式的理由。

（2）如果把“四个顶点都种有1棵树”改成“四个顶点都不种”，这道题又该怎么做呢？

例3：

在一条40米的公路一边植树，从一端起每隔5米种1棵，两端都植，一共要植树多少棵？

分析：

如果不考虑起点的那棵树，后面正好是有一个5米就植树1棵，而40米里面有8个5米，所以除去起点的1棵外，还植树8棵，这样，一共植树9棵。

解：

40÷5＋1=8＋1=9（棵）。

想一想：

（1）如果只有一端植树，这时一共要植树多少棵？

如果两端都不植呢？

（2）如果把“一边”改成“两旁”，这道题又该怎么做呢？

例4：

在60米长的走道一侧栽树，起点和终点都要栽一棵，一共栽了6棵，如果相邻两棵树之间的距离都相等。

那相邻两棵树之间相距多少米？

分析：

先算间隔数，有6－1=5（个），这样就是要把60米平均分成5段，每段是60÷5=12（米）。

解：

60÷（6－1）=60÷5=12（米）

其实生活中的很多问题，我们可以利用这一规律来解决。

比如说，爬楼梯，楼梯一层有18级台阶，那从楼下爬到4楼要爬多少级台阶呢？

由于楼下就是指的一楼，这样爬到4楼只要爬三层的台阶，也就是要爬3个18级。

可以用18×（4－1）求得结果是54级。

同样地，把一根粗细相同的木料锯成4段，如果每锯开一次，要花4分钟。

要求全部锯完要用的时间，我们首先考虑锯成4段需要锯3次，这样一共花的时间就有3个4分钟，即12分钟。

教你一招：

分拆自然数

在日常生活中常常要把一些东西分成若干堆，它实质上等同于把一个自然数分拆成若干个大小相等或不等的数。

下面我们就来研究一下自然数的分拆问题。

一、分拆的不同种数

我们先来考虑把一个数分拆成两个自然数的情况。

下面，我们从小数入手，将分拆情况列举如下，看看有没有什么规律。

2（1，1）;3（1，2）;4（1，3）（2，2）;5（1，4）（2，3）;6（1，5）（2，4）（3，3）;7（1，6）（2，5）（3，4）

显然，如果这个数是单数，那分拆的种数就是这个数减1后除以2的结果；如果是双数，那分拆的种数用这个数除以2就行。

比如说，要把100分拆成两个自然数，就应该有100÷2=50种不同的分拆结果。

如果要求我们把一个数分拆成若干个自然数。

比如说，将6拆成2个或2个以上的自然数，一共有多少种不同的分拆方法呢？

我们可以着眼于分拆后最大的自然数。

显然有（5，1）（4，2）（4，1，1）

（3，3）（3，2，1）（3，1，1，1）（2，2，2）（2，2，1，1）（2，1，1，1，1）

（1，1，1，1，1，1），这样一共有10种。

当然，我们也可以着眼于分拆成的数的个数，即有（5，1）（4，2）（3，3）（4，1，1）（3，2，1）（2，2，2）（3，1，1，1）（2，2，1，1）（2，1，1，1，1）（1，1，1，1，1，1），也是10种，显然，后一种分拆在分拆过程中也考虑到了分拆后最大的自然数。

一般地，我们在分拆自然数的时候，往往要把这两种方法结合起来思考。

想一想：

把数字8分拆成若干个自然数，又有多少种不同的分拆方法呢？

（附答案：

共有20种）

二、分拆后数的乘积

有时，不仅需要我们考虑将一个自然数分拆，同时还要考虑分拆后的自然数的乘积情况。

比如说：

将15分拆成两个自然数，使这两个自然数的乘积最大。

这个最大的乘积是多少？

我们不妨先来观察一下15分拆成两个自然数后，乘积的变化情况。

15=14+1，14×1=14；15=13+2，13×2=26；15=12+3，12×3=36；

15=11+4，11×4=44；15=10+5，10×5=50；15=9+6，9×6=54

15=8+7，8×7=56

很显然，分拆成的两个数的差越小，它们的乘积越大。

这道题最大的乘积是8×7=56。

如果要我们将100分拆成两个自然数，并使这两个自然数的乘积最大，那这个最大的乘积又是多少呢？

无疑，这个乘积应该是50×50=2500。

有时，还需要我们将一个自然数分拆成若干个自然数。

例如：

将20分拆成若干个自然数，使这些自然数的乘积为最大，这个最大乘积是多少？

或许有人认为，把20分拆成两个10，用10×10就得到了最大的乘积100了。

其实不然。

我们先来看一个小一点的数7。

分拆成两个数乘积最大的是：

3×4=12；分拆成三个数乘积最大的是：

3×2×2=12；分拆成四个数乘积最大的是2×2×2×1=8；分拆成五个数乘积最大的只能是3×1×1×1×1=3。

再看自然数8。

分拆成两个数乘积最大的是：

4×4=16；分拆成三个数乘积最大的是：

3×3×2=18；分拆成四个数乘积最大的是2×2×2×2=16；分拆成五个数乘积最大的只能是2×2×2×1×1=8。

由此可见，并不是分拆成的自然数越多，乘积就会越大。

同时，我们还发现，这些最大的乘积中，尽可能的多用数字3，少用数字2，不用数字1。

根据上面分析，我们不妨将20分拆成6个3和一个2（因为20÷3=6……2），这时的乘积是3×3×3×3×3×3×2=1458，自然要比100大得多了。

想一想：

将28分拆成若干个自然数，使这些自然数的乘积为最大，这个最大乘积是多少？

（附答案：

3×3×3×3×3×3×3×3×2×2=26224）

“间隔规律”形成性练习姓名

1．一条跑道长50米，从一头到另一头每隔5米插一面彩旗，一共插了多少面彩旗？

如果每两面彩旗之间摆放2盆花，一共摆放了多少盆花？

2.公园的路边放了一些椅子，从起点到终点一共放了54把。

每两把椅子之间都相距有

5米。

这条路全长多少米？

3.一根20米长的木料被平均锯成4段，一共需要锯多少次？

如果每锯一次要4分钟，

那么把另一根木料锯成8段，一共需要多少分？

4.24个小朋友排成一路纵队，每两个小朋友之间相距1米。

这路纵队全长多少米？

如

果把这些小朋友排成两路纵队，同样每两人之间相距1米，他们前后排成多长？

5.小明和小军住在同一幢大楼里。

小明家住六楼，小军家住3楼，小明每天回家要走90

级台阶，小军回家每天要走多少级台阶？

6.时针6秒敲6下，5秒敲完。

那么时钟12时敲12下，多少秒敲完？

7.小英每天放学回家一共要爬78级台阶。

（1）如果她家住的楼房每层之间都有13级台阶，你知道她家住在几楼吗？

（2）小英从家往下走52级台阶到好朋友小红家去玩。

你知道小红家住在几楼？

第十一讲巧算年龄

在三年级我们学习了借助线段图解答和倍、差倍与和差这三类典型问题。

其实，在计算有关年龄的问题中，经常会用到这方面知识，下面我们来看一组题目。

例1：

今年妈妈和女儿两人的年龄和是48岁，三年后，女儿比妈妈小24岁，问今年妈妈和女儿各多少岁？

分析：

由“三年后，女儿比妈妈小24岁”可以知道，今年女儿也比妈妈小24岁，因为妈妈和女儿的年龄差是不会变的。

这样，我们就知道了今年母女两人的年龄和与年龄差，就可以用“和差问题”的一般解法来做了，即用（和＋差）÷2=妈妈年龄，再求女儿年龄也就方便了。

解：

妈妈的年龄是：

（48＋24）÷2=72÷2=36（岁）

女儿的年龄是：

48－36=12（岁）或36－24=12（岁）

想一想：

（1）如果把第一组条件换成“妈妈4年前的年龄与女儿3年后的年龄和是45岁”这道题又该怎么做？

（2）如果把第二组条件换成“今年妈妈的年龄是女儿的3倍”，这道题又该怎么列式？

例2：

爸爸今年比儿子大30岁，12年后爸爸的年龄是儿子年龄的3倍，父子两人今年各多少岁？

分析：

父子两人的年龄差是30岁，12年后两人的年龄差还是30岁，而这个时候，父亲年龄正好是儿子的3倍，这样我们就可以用“差÷倍数差”先求出这个时候（也就是12年后）儿子的年龄，用30÷（3－1）=15（岁），进而求得今年儿子年龄是15－12=3（岁），爸爸年龄是30＋3=33（岁）。

解：

儿子12年后年龄是：

30÷（3－1）=15（岁）

儿子今年年龄是：

15－12=3（岁）

爸爸今年年龄是：

30＋3=33（岁）

想一想：

如果2年前爸爸的年龄是儿子年龄的3倍，那父子两人今年各多少岁？

例3：

爸爸今年44岁，儿子今年8岁，几年后，爸爸的年龄是儿子的3倍？

分析：

今年父子两人的年龄差是44－8=36（岁），几年后，两人的年龄差仍然是34岁，不会改变。

而这时爸爸的年龄是儿子的3倍，因而，可以用“差÷倍数差”先求出几年后儿子的年龄是36÷（3－1）=18（岁），进而求出经过的年数为18－8=10（年）。

解：

几年后儿子年龄是：

（44－8）÷（3－1）=18（岁）

经过的年数是：

18－8=10（年）

想一想：

（1）几年后，爸爸的年龄是儿子的4倍？

（2）几年后，爸爸的年龄是儿子的5倍？

例4：

一个家庭由爸爸、妈妈、儿子和女儿组成。

今年他们的年龄和是71岁，爸爸比妈妈大2岁，儿子比女儿大3岁。

3年前这个家庭成员的年龄和是60岁。

这家四口人今年各多少岁？

分析：

如果没有特殊情况，过了3年，这家四口人应该都长了3岁，一共多出3×4=12岁，而60＋12=72（岁），比71岁多1岁，说明3年前这个家庭最小的成员——女儿还没有出生，所以女儿应该是3－1=2年前出生的，即女儿今年2岁，儿子今年3＋2=5（岁）。

进而可以求出爸爸和妈妈今年的年龄和是71－2－5=64（岁），而两人的年龄差是2岁，这样就可以用“（和＋差）÷2”求出爸爸的年龄是（64＋2）÷2=33（岁），妈妈的年龄是33－2=31（岁）。

解：

女儿今年年龄是：

3－（60＋3×4－71）=2（岁）

儿子今年年龄是：

3＋2=5（岁）

爸爸今年年龄是：

（64＋2）÷2=33（岁）

妈妈今年年龄是：

33－2=31（岁）

习惯上，我们把这种已知几个人年龄之间的数量关系，求他（她）们的年龄的问题称作年龄问题。

通过刚才几道题的分析，我们知道年龄问题有这样的特点：

（1）经过若干年后，两人的“年龄差”是不会变的。

（2）一般可以利用年龄差不变的特点，根据题目中的数量关系，转化成“和倍”或“差倍”问题来求解。

教你一招：

“外部加入”与“内部调整”

有这样两道题：

1.书架上、下两层共有书120本，如果把新买的24本放入上层，那么上层的书正好是下层的3倍。

两层原来各有书多少本？

2.书架上、下两层共有书120本，如果从下层拿24本书放入上层，那么上层的书正好是下层的3倍。

两层原来各有书多少本？

同学们认真观察一下，就会发现这两道题的区别在于：

第1题是“把新买的24本放入上层”，而第2题是“从下层拿24本书放入上层”。

显然，第1题从“外部加入”24本后，两层书的总本数就会多了24本，变成了（120+24）本，而第2题只是将两层书进行了“内部调整”，两层书的总本数还是120本不变。

不过，这两题变化之后却有一个共同的地方，那就是这时“上层的书正好是下层的3倍”，显然我们可以利用和倍问题的一般方法，用“和÷倍数和”先求得变化后下层书的本数这个一倍数，然后再求原来上下层各有图书的本数。

第1题，我们先用“现有书的总本数÷（3+1）=下层现有书的本数”，即用（120+24）÷（3+1）=144÷4=38（本），由于题目中只是在上层加入24本，而下层书没有变，所以这38本书就是下层原有书的本数，然后用“原来两层一共的本数-原来下层的本数”求得原来上层的本数是120-38=82（本）。

第2题，我们同样可以先用“现有书的总本数÷（3+1）=下层现有书的本数”，即用120÷（3+1）=120÷4=30（本），需要注意的是30本这个“一倍数”是“从下层拿24本书放入上层”后下层的本数，也就是说下层原来有书30+24=54（本），所以上层原有书120-54=66（本）。

通过这两道题我们发现，同样是变化，第1道题由于外来书的加入使得总数增多，而第2道题只是内部调整，总数没有增减。

同样是变化后两层书之间呈倍数关系，但第1道题一倍数下层书的本数一直没变，所以求得的一倍数就是原来下层书的本数，而第2道题一倍数下层书的本数却是变化以后的，所以求得的一倍数只能是变化后下层书的本数，还必须将它“还原”成原来的本数。

象这类题目在日常生活中还有不少，下面两道题请大家做一做，再比较一下异同。

1.李老师的桌子上有两堆本子，一共是112本，李老师把甲堆中看好的32本发给同学后，发现这时乙堆的本数正好是甲堆的3倍，问两堆原来各有多少本本子？

2.有两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取出15千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的4倍，两箱原有茶叶各多少千克？

数学小论文：

把四个同学当作一个“人”

如东县丰利小学504班朱玉婷指导教师:

冒金彬

[题目]四个同学与老师的年龄和是80岁，2年后，这四个同学的年龄和正好等于老师的年龄。

老师今年多少岁?

这道题我们可以这样思考:

如果我们把这“四个同学”看作一个整体，当作一个“人”。

这样，每过一年这个“人”就会长４岁，那么两年后，这个人的年龄就增长了2×4=8岁，而老师也多了2岁，这时，师生的年龄总和是80+2+8=90（岁）。

而这时“这四个同学年龄和正好等于老师的年龄”，也就是说，2年后，老师的年龄是90÷2=45（岁），所以今年老师的年龄是45-2=43（岁）。

也可以这样分析：

同样，我们把这四个同学当作一个“人”。

２年后，这个“人”增长了8岁，而老师也多了2岁，由这时“这四个同学的年龄和正好等于老师的年龄”，可以知道，原来这个“人”比老师小8-2=6岁，这样，我们就可以用（和＋差）÷2求得老师今年的年龄是（80＋6）÷2=43（岁）。

（发表于《小学生数学报》2002年1月11日）

“巧算年龄”形成性练习姓名

1．兄弟二人的年龄之和是27岁，五年后，哥哥比弟弟大3岁，今年哥弟两人各几岁？

2.小明今年10岁，他爸爸今年36岁，小明几岁时，爸爸的年龄正好是他的3倍？

3.父亲的年龄比女儿大24岁，3年后父亲的年龄正好是女儿的5倍，女儿现在几岁？

4.张明和陈军今年的年龄和是50岁，张明11前年的年龄等于陈军5年后的年龄，两

人今年各几岁？

5.姐比弟大5岁，四年前姐弟俩人的年龄和是19岁。

今年姐、弟各多少岁？

6.叔叔的年龄比小芳年龄的3倍还少6岁，叔叔8年前的年龄正好等于小芳10年后的

年龄。

叔叔和小芳今年各几岁？

7.兄弟俩的年龄和是55岁，哥哥年龄的数字颠倒过来就是弟弟的年龄。

兄弟俩各几岁？

8.小明全家三口人，爸爸比妈妈大2岁，今年全家年龄和是67岁。

六年前全家的年龄

和是52岁。

问今年三口人各多少岁？

9.甲乙丙丁四人，甲比乙大5岁，乙比丙大3岁，丙比丁大7岁，四人的平均年龄为

15岁。

问四人各几岁？

第十二讲归一问题

课本第八单元解决问题的策略的例1，不管是求买5本的元数，还是求42元买笔记本的本数，都需要先求出1本笔记本的元数，象这种需要先求出一份量，再求总量或份数的实际问题，一般称作“归一问题”。

归一问题的分析思路与三年级学的分析思路是一致的。

解题的关键就在于先利用一组对应的数量求出“每份数”或者说是“单一量”。

下面，我们结合题目来分析。

例1：

一辆汽车6小时行驶了450千米，照这样计算，8小时行驶多少千米？

分析与解：

要求8小时行驶的千米数，必须知道每小时行驶的千米数和小时数，小时数已知，而每小时行驶的千米数还不知道，必须先求，用450÷6=75（千米），再求8小时行驶的千米数，用75×8=600（千米）。

想一想：

（1）如果把“8小时行驶多少千米”改成“再行驶8小时，一共行驶了多少千米？

”这道题又该怎么列式？

与例题有什么不同？

（2）如果把问题改成“行驶825千米需要多少小时？

”这道题该怎么分析？

又该如何列式？

（3）如果把问题改成“行驶825千米，还要多少小时？

”这道题又该怎么做呢？

例2：

一个修路队，6个人12天修公路1440米。

照这个速度，20人30天修路多少米？

分析与解：

要求20人30天修路的米数，必须知道1人1天修路的米数。

用1440÷6÷12=20（米），再求20人30天修路的米数，用20×20×30=12000（米）。

想一想：

（1）如果把问题改成“20人修4800米，需要多少天？

”该怎么列式？

（2）如果把问题改成“增加10人，再修5天修完，这条公路全长多少米？

”你会做吗？

例3：

学校买来一些足球和排球，如果买3个足球和4个排球，共需要196元，如果买3个足球和7个排球，一共要用271元。

现在要买4个足球和5个排球，一共要用多少元钱？

分析与解：

同样地，要求一共的元数，必须知道1个足球与1个排球的元数。

比较题目的两组条件容易发现，相差的（271－196）元钱正好是相差的（7－4）只排球的元数，这样就可以用（271－196）÷（7－4）求出买1只排球要用25元，进而求买1只足球的元数，用（196－25×4）÷3=32（元），所以买4只足球与5只排球的元数就是32×4＋25×5=128＋125=253（元）。

想一想：

（1）这道题你还能想出其它解法吗？

（2）如果把第2组条件改成“如果买5个足球和4个排球，一共要用260元。

”其它条件不变，这道题又该怎么做呢？

通过上面三组题的解答，我们发现：

归一问题一般都有这样的特点，那就是每份数（或者叫单一量）一般是不变的。

我们在解题的时候，都需要先求出这个不变的量，再利用数量关系求出“总量”或“份数”。

数学故事

华罗庚的妙对

1953年，中国科学院组织出国考察团，由著名科学家钱三强任团长，团员有华罗庚、赵九章等十余人，途中闲暇无事，少不了谈古论今，纵论科学史上的是非得失。

这时，著名数学家华罗庚即景生情，提出上联一则：

“三强韩赵魏。

”

这里的“三强”，说的是战国时期韩、赵、魏三个强国，却又隐喻着代表团团长钱三强的名字，这就不仅要解决数学对联的传统困难，而且要求在下联中嵌入另一位科学家的名字。

华老上联一出，在座的人都大费踌躇，不知所对，过了一阵，只见华老不慌不忙地续出了下联：

“九章勾股弦。

”

《九章算术》是首次记载我国数学家发现勾股定理的数学名著，而且，这里的“九章”又恰好是代表团的团员，大气物理学家赵九章的名字。

这样，华老这则妙对，开辟了数学对联的近代先例，在座的科学家无不叹服。

（选自易南轩著《数学美拾趣》，科学出版社，2008年1月）

“归一问题”形成性练习姓名

1.幼儿园的老师给小朋友分糖，8位小朋友一共分了32块糖。

照这样计算，40位小朋

友，需要准备多少块糖？

2.4头牛每天吃青草76千克，如果增加3头牛，那么每天需要准备多少千克青草？

3.一种新型节能汽车，行驶120千米可以节约汽油30千克。

照这样计算，行驶360千

米可以节约汽油多少千克？

行驶多少千米能节约汽油120千克呢？

4.3台织布机15天织布5400米，照这样计算，5台织布机四月份一个月能织布多少米？

如果增加2台织布机，织布6000米需要多少天？

5.一根30米长的粗细均匀的木料，锯成3段，需要6分钟。

锯成6段，需要几分钟？

6.某玩具厂27天要制造玩具10800件。

由于技术革新，每天比原计划多制造200件，

实际需要多少天？

7.小明买笔记本和笔。

买2本笔记本和3枝水笔，需要付4元6角，买4本笔记本和3

枝水笔，需要付5元6角。

那么，他买3本笔记本和2枝水笔，要付多少钱？

自主小测验（四）

姓名

一、填一填（每空3分，共42分）

1.把8个苹果分成两堆，有（）种不同的分法。

小明想把这8个苹果吃掉，但每天最多只能吃3个，最少吃2个，他有（）种

不同的吃法。

2.在一个正方形的花圃四周种树，如果每边种12棵，且四个角上都种，那么一共种树

（）棵。

如果每相邻两棵树之间的间距都是3米，那么这个正方形花圃的周长

是（）米。

3.庆祝国庆，学校准备在40米长的长廊一侧挂上灯笼，每隔2米挂一个。

如果两头都

挂上，一共要准备（）个灯笼；如果两头都不挂，那需要准备（）个灯笼。

4.把10分拆成两个自然数，使得这两个自然数的乘积最大，这个最大的乘积是（）。

如果分拆成若干个自然数，同样要使得这些自然数的乘积最大，那这个最大的乘积

是（）。

5.今年小明11岁，小军13岁，（）年前，两人的年龄和是18岁。

6.小明今年9岁，3年前，姐姐的岁数是他的3倍，姐姐今年（）岁。

7.有兄弟五人，他们的年龄一个比一个大2岁，已知5人的年龄和是70岁。

五兄弟中

最大的（）岁，最小的（）岁。

8.一列火车5小时行驶425千米。

照这个速度，8小时能行驶（）千米，行驶935

千米需要（）小时。

二、解一解（除标明分数的，其余每题5分，共48分）

1.小明家门口和学校校门口都有一根电线杆。

小明数了数，发现从他家到学校一共有20

根电线杆，而且每两根电线杆之间的距离都是50米。

小明家距离学校多少米？

2.小敏放学回家，她从一楼爬到4楼，一共爬了36级台阶。

她家在六楼，请问，她每

天回家要爬多少级台阶？

3.妈妈今年38岁，女儿今年10岁。

几年后，妈妈的年龄是女儿的3倍？

4.父子两人今年共75岁，15年前父亲的年龄是儿子的8倍。

今年父子各多少岁？

5.一种型号的计算机6秒可以完成552万次的计算，如果以同样的速度工作，完成1380

万次计算，需要几秒？

6.某玩具厂原来5人10天生产玩具900个。

现在人数增加了10人，要生产2700个玩

具，需要多少天？

7.三台拖拉机4小时耕地120亩，一块210亩的地，计划3小时耕完，需要增加几台

这样的拖拉机？

（6分）

8.今年小红全家人的年龄加在一起，刚好是90岁。

小红的爸爸比妈妈大3岁，小红比

妹妹大5岁。

在8年前，他们全家人的年龄和刚好是60岁，小红家四口人，今年各

多少人？

（6分）

9.现存有16人15天吃的干粮，16人吃了5天后调走6人，余下的干粮可以吃几天？

（6分）

附参考答案：

“间隔规律”形成性练习答案

1.11面，20盆；2.265米；3.3次，28分；4.23米，11米；5.36级；6.11秒；7.7楼，3层。

“巧算年龄”形成性练习答案

1.哥15岁，弟12岁；2.13岁；3.3岁；4.陈军17岁，张明33岁；5.姐16岁，弟11岁；6.叔叔30岁，小芳12岁；7.哥32岁弟23岁或哥41岁弟14岁；8.甲22岁，乙17岁，丙14