论数形结合方法的应用.docx

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论数形结合方法的应用

宁夏师范学院2010届毕业生

毕业论文

题目：

论数形结合方法的应用

院系：

数学与计算机科学学院

指导教师：

金钰

班级：

07级数学与应用数学三班

姓名：

毛婧

完成时间：

2011-4-7

【摘要】本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题，及其应注意的事项。

数形结合"这一贯彻在数学教学始终的解题思想方法，其本质是"数"与"形"之间的相互转换。

在数学教学中，通过有效的"数形结合"思想方法的运用可以使学生在学习过程中绕过障碍。

同时，有效的"数形结合"使代数问题得以用几何来诠释，体现出神奇的数学之美以及思维的灵活之美，在一定程度上使许多复杂问题简单化、明了化。

【关键词】数形结合；数形结合思想；以形助数；

[abstract]Thisarticlemainlyintroducedhowtheapplicationnumbershapeuniondoessolvesomemathematicsproblem,andshouldpayattentionitem.Countstheshapeunion"thisimplementationinmathematicsteachingthroughoutproblemsolvingthinkingmethod,itsessenceis"thenumber"and"theshape"betweeninterconversion.Inmathematicsteaching,thinkingmethod'sutilizationmaycausethestudentthrougheffective"thenumbershapeunion"tobypassthebarrierinthelearningprocess.Atthesametime,effective"thenumbershapeunion"enablesthealgebraquestiontousethegeometrytoannotate,manifestsbeautyaswellasthethoughtthemysteriousmathematicsnimblebeauty,toacertainextentcausesmanycomplexquestionsimplification,theperspicuity.

[keyword]Countstheshapeunion;Countstheshapeunionthought;Helpsthenumberbytheshape;

目录

1.引言……………………………………………………………1

2.浅谈数形结合思想的实质……………………………………2

2.1数形结合是一种数学思考方法……………………………2

2.2在数学教学中渗透数形结合的思想………………………2

2.3注重对学生数形结合学习方式的应用指导…………………3

2.4让学生养成数形结合的良好习惯…………………………3

3.数形结合方法的应用.………………………………………3

3.1应用数形结合方法分析一元一次方程与一元一次函数………3

3.1.1一次函数与一元一次方程。

…………………………3

3.1.2一次函数与一元一次不等式…………………………5

3.2一次函数与二元一次方程（组）…………………………6

3.3二次函数、一元二次方程和一元二次不等式………………8

3.3.1二次函数与一元二次方程。

…………………………8

3.3.2二次函数与一元二次不等式…………………………10

4．形结合方法分析两个函数相减等于零的情况。

…………10

5.分析数形结合方法的优越性。

………………………………11

6.结束语………………………………………………………12

论数形结合方法的应用

1引言

数和形是走进数学殿堂的两条基本通道，它把对象的空间形式和数量关系有机地结合在一起，使形象思维和抽象思维结合起来，实现优势互补，数形互补的观点可以用来处理很多问题。

数形结合包括两个方面。

第一，通过理想化抽象的方法，转化为适当的图形，从图形直观地发现数量之间存在的内在关系，解决数量关系的数学关系的数学问题。

第二，把关于几何的问题，用数量和方程来表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。

通常是将数量关系转化为线段图，曲线图，这是基本的方法。

对于某些问题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的集合图形。

2.浅谈数形结合思想的实质。

2.1数形结合是一种数学思考方法

数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

我国著名数学家华罗庚曾说过：

“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：

或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：

第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。

由于这“以数解形”比较简单，所以这里就不多做介绍了。

“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。

学生通常把“数形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。

“以形助数”中的“形”，或有形或无形。

若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。

因此“以形辅数”的途径大体有三种：

一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。

当然，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。

　就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。

　就学生的年龄特征而言。

中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，揭示出面积变化的规律，在教学分数应用题时，让学生通过准确的线段图，很快找出单位“l”，量和量所对应的分率，确定解题的方法，从而提高学生的逻辑思维能力和解决数学问题的能力。

如：

《点阵中的规律》从数一形一数的应用；平时教学《三角形内角和》时，既用图形演示三个内角拼成一个平角，又用量角器量出三个角的度数计算出三个内角的和为180。

注重学生用数来表示形，用数来具体量化形，从而解决形的问题。

教师在数学教学中，多注重转化的思想，如：

《组合图形面积》充分利用分割、添补、割补等方法，将组合图形转化为已学的图形来计算面积；又如平行四边形转化为三角形，圆转化为近似的长方形等，让学生在转化中培养用数来表示形，用形来揭示数的能力。

　　2.2在数学教学中渗透数形结合的思想

　　现行教材和《课标》，注重了知识、能力、数学活动经验、数学教学思想的培养，而数学思想的核心是数学本质，要揭示数学本质，主要应阐述知识之间的内在联系、规律的发现过程、数学思想方法的渗透、理性知识的应用等有理有据地发现规律，并应用发现的规律解决实际问题。

　　在数学教学中，教师要注重教材，钻研教材要有深度，教材中有内涵的内容就应充分发掘出来，没有的就要进行创设，要在教学中时时渗透数形结合的思想，更重要的是教师在教学设计、教学方法、教学手段中要有渗透数形结合思想的意识。

教师充分利用教材中的主题图，让学生通过“形”找出解决问题的“数”。

在平时的教学工作中，引导学生主动而有效利用课本中的主题图或其他图形，从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题。

在课堂教学中，要给学生更大的空间．多发现学生的闪光点，让学生养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形教学对数学知识形成的意义，注意加强数形结合思想的渗透，关注学生数形结合思维能力的提高，从而培养图形与空间观念的认知能力。

　2.3注重对学生数形结合学习方式的应用指导

　　在课堂教学中，数与形的结合是教师和学生学习数学的一种思想方法，两者不能截然分开，两种都是符号，要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思数，帮助记忆；数形对照，加深理解；数形联系，以利解题；以形载数，以数量形；数形互释，图文并茂。

把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的终结目标。

在知识的形成过程中，突出形象的感觉、形象的储存、形象的判断、形象的创造和形象的描述，重视有效的动手操作和情境的创设，让学生动手、动跟、动口，多种感官参加学习，使操作、观察等有机结合，激发学生多向思维。

　　教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。

如在应用题教学中特别重视发挥线段图的作用。

数学教学中的实物、示意图、线段图、平面图、立体图等是用形来表示数量关系，用形来表示数，它既能舍去应用题的具体情节，又能形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形，明确显示出已知与未知的内在联系，激发学生的再造性想象，激活学生的解题思路。

在教学中，可经常进行一些根据线段图列出算式，根据算式画线段图，根据线段图编应用题，根据应用题画线段图等训练，让学生在潜移默化中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，养成根据题意画图帮助理解题意，激发学生数形结合的学习兴趣，为学生长远学习奠定好的学习方法，从而提高学生的数形转化能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。

　2.4让学生养成数形结合的良好习惯

　　我们在学习简单的应用题、认识整数、分数、小数的意义以及加、减、乘、除的意义及计算时，在解决分数应用题时，就要求学生画出线段图来。

在学习了平面图形、立体图形以及它们的周长、面积、表面积、体积发生变化时，都要求学生画出图形，用“形”来理解它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”。

经过长期的训练，让学生有很好的数形结合的好习惯，提高学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一。

数学家华罗庚先生说过：

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。

通过这次测试、调查和论坛交流，让一线教师对数形结合思想有了新的认识和重视，在平时的教学中，重视在教学设计、教学方法、教学手段等多方面加以培养和训练，使学生逐渐养成数形结合的习惯，才能真正提高学生的数学分析思维能力和解决数学问题的能力，不断提高学生的逻辑思维能力和形象思维能力。

3.数形结合方法的应用.

3.1应用数形结合方法分析一元一次方程与一元一次函数。

3.1.1一次函数与一元一次方程。

一元一次方程问题其实质就是其相应一次函数的零点（图象与轴的交点）问题，因此，一元一次方程的实根分布问题，即一元一次方程的实根在什么区间内的问题，借助于一次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的。

我们先来看下面两个问题有什么关系：

（1）解方程2x+20=0.

（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？

（3）在问题

（1）中，解方程2x+20=0.，得x=-10;解问题

（2）就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10因此这两个问题实际上是同一个问题。

从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10,0）（图1），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.

图1

思考：

由上面两个问题的关系，能进一步得到“解方程ax+b=0（a,b为常数）”与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？

由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a,b为常数,a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。

例1一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？

解法一：

设再过x秒物体的速度为17米/秒，列方程

2x+5=17

解得

x=6.

解法二：

速度y（单位:

米/秒）是时间（单位：

秒）的函数

y=2x+5

由

2x+5=17

得

2x-12=0

由图2，看出直线y=2x-12与x轴的交点为（6,0），得x=6.

（图2）

3.1.2一次函数与一元一次不等式

看下面两个问题有什么关系：

（1）解不等式5x+6>3x+10.

（2）当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？

在问题

（1）中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个不等式得x>2；解问题

（2）就是要解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0，因此这两个问题实际上是同一个问题，从直线y=2x-4（图3）可以看出，当x>2时这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0

（图3）

思考：

由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系？

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：

当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

例2用画函数图像的方法解不等式5x+4<2x+10

解法1：

原不等式化为3x-6<0，画出直线y=3x-6（图4），可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2。

解法2：

将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10（图5），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2。

（图4）（图5）

这两种解法都把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低。

归纳：

虽然像上面那样用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要。

3.2一次函数与二元一次方程（组）

我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-

x+

，并且直线y=-

x+

上每个点的坐标（（x,y）都是方程3x+5y=8的解。

由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。

解二元一次方程组3x+5y=8①,2x-y=1②可以看作求两个一次函数y=-

x+

与y=2x-1图象的交点坐标（图6），因此我们可以用画图象的方法解二元一次方程组。

（图6）

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。

从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

综上所述，一次函数与二元一次方程（组）有密切的联系。

例3.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：

方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。

如何选择收费方式能使上网者更合算？

分析：

计费与上网时间有关，所以可设上网时间为x分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再做比较。

解法1：

设上网时间为x分，若按方式A则收y=0.1x元；若按方式B则收y=0.05x+20元。

在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象（图7）

（图7）

解方程组y=0.1x①y=0.05x+20②得x=400y=40所以两图象交于点（400,40）。

由图象易知：

当0

当x=400时,0.1x=0.05x+20;

当x>400时,0.1x>0.05x+20

因此，当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分时，选择方式A、方式B没有区别；当上网时间多于400分时，选择方式B省钱；

解法2：

设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为y=（0.05x+20）-0.1x化简得y=-0.05x+20在直角坐标系中画出这个函数的图象（图8）

（图8）

解方程﹣0.05x+20=0，得出直线y=﹣0.05x+20与x轴的交点为（400,0）。

由函数图象得：

当0﹤x﹤400时，y>0，即选方式A省钱；

当x=400时，y=0，即方式A,B

当x﹥400时，y<0，即选方式B省钱

归纳：

方程（组）、不等式与函数之间的互相联系，用函数观点可以把它们统一起来。

解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用。

3.3二次函数、一元二次方程和一元二次不等式

二次函数和一元二次方程、一元二次不等式三者联系密切。

一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。

一元二次方程根的范围的研究是讨论一元二次方程的重要内容之一。

欲求方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根在某个区域的充要条件，可借助于二次函数的图象，数形结合，形象直观，思路简捷，解法简单。

学生也不难掌握，还能激发学习兴趣，提高学生的思维能力和灵活解题的能力。

3.3.1二次函数与一元二次方程。

一元二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点）问题，

因此，一元二次方程的实根分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的。

我们先看二次函数的图象与一元二次方程的根的关系。

表1-2二次函数的图象与一元二次方程的根的关系。

以a﹥0，x∈R为例说明，如下表所示：

△=b

-4ac

△﹥0

△=0

△<0

ax2+bx+c=0

（a>0）

x

=

x

=-

方程无实数根

y=ax2+bx+c

（a>0）

设f（x）=ax

+bx+c（a≠0）的二零点为x1,x2（x1

-4ac且A、B（A

当两根都在区间（A,B）内，即A

△>0,A<-

0,af（B）>0①

当两根中有且仅有一根在区间（A,B）内，即A

△>0,f（A）f（B）<0②

当两根都不在区间[A,B]内方程系数所满足的充要条件为

（1）两根分别自区间[A,B]之外的两旁，（即x1

△>0,af（A）<0,af（B）<0③

（2）两根分别在区间[A,B]之外的同旁，

当x1

△>0,-

0④

当B

△>0,-

>B,af（B）>0⑤

例10已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。

若方程f（x）=x无实根，求证：

方程f[f（x）]=x也无实根，

证明：

已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0,方程f（x）=x无实根，即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c无实根。

由于f（x）-x仍是二次函数，则f（x）-x=0仍是二次方程，它无实根即△=（b-1）2-4ac<0

（1）若a>0，则函数y=f（x）-x的图象位于x轴上方，于是y>0，有f（x）-x>0恒成立。

因此f（x）>x对任意实数x恒成立，从而，有f[f（x）]>f（x）>x恒成立，即f[f（x）]-x>0,对任意实数x恒成立。

故f（f（x））=x无实根。

（2）若a<0，函数y=f（x）-x的图象位于x轴下方，于是y<0，即f（x）-x<0恒成立。

从而，有f[f（x）]

故f[f（x）]=x无实根。

综上可知，当f（x）=x无实根时，方程f[f（x）]=x也无实根。

例11，某跳水运动员进行10米跳台训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图4所示坐标系下经过原点0的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动运在空中的最高处距水面11米，最高点距池边的距离为3，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式：

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是

（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.5米，问此次跳水会不会失误？

并通过计算说明理由图1

分析：

（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点0（0,0）入水点（2，-10），最高点的,坐标为（1,1）。

（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动运在距池边水平距离为3.5米时，该运动员是不距水面高度大于5米。

解：

（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax

+bx+c。

由题意，知0（0,0），B（2,-10）,且顶点A的坐标为（1,1），则有待定系数（图1）

法可解得，a=-6;b=7。

故抛物线的解析式为y=-6x

+7x，

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3.5米时，即y=-3时。

此时运动员距水面的高度为7米因此，此次跳水会失误。

3.3.2二次函数与一元二次不等式

一元二次不等式的解集相应于二次函数的正值、负值区间。

解不等式与证明不等式成立，经常要用到二