复数综合计算题.docx
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复数综合计算题
复数综合计算题70
1设
是虚数，
是实数，且
，求
的最小值。
2、z1,z2是不等复常数,求满足z－z1=t（z－z2）（t是实参数）的复数z对应点的轨迹.
3、复数z满足z
+z+
=3,求z在复平面内对应点Z的轨迹.
4、设复数z满足|z+1－2i|=3,复数ω=4z－i+1,求ω在复平面上对应点P的轨迹.
5、求复数z=
的模和辐角.
6、设复数z=cosθ+isinθ,θ∈（π,2π）,求复数z2+z的模、辐角和辐角主值.
7、复数z满足arg（z+3）=135。
求
的最大值,并求此时z的值.
8、已知z=1+i,且
求实数a,b的值.
9、若|z|=1,且z2+2z+
＜0,求z.
10、在复平面内,已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为2,
求第三个顶点对应的复数.
11、设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=4,z1－z2=1－2
求
.
12、已知z1,z2
C,且
=1,
=2,求
的值.
13、设Z1、Z2
C,
=1,
=4,Z1－Z2=1－2
求
.
14、已知：
z=1－i,求
的值.
15、设虚数Z满足Z2=
求
的值.
16、复数Z满足Z
－2Zi=3－2ai（a
R）,且
求a的取值范围.
17、若复数z=－
+2i,u=（
）3,求实数x、y，使
=z+2u
18、z=x+iy（x,y∈R）在复平面上对应点为P,z1=x+1+
－（2－y）i,
z2=x+1－
+（y－2）i,且|z1|+|z2|=6,求P点轨迹的普通方程.
19、已知复平面上A,B对应的复数分别为
i.z1对应的点在线段AB上运动,且|z2|=1.试求复数z=z1+z2所对应的点Z表示的图形,确定该图形的面积,并求argz的范围.
20、设复平面上复数z对应为P,O为坐标原点,以|OP|为边长作矩形OPQR（字母顺序按逆时针方向）,使|OR|=2|OP|,z满足方程|z+
|+|z－
|=6,
求动点R的轨迹.
21、复平面上点A,B,C分别对应于复数z,
.若△ABC是直角三角形,试求A点的轨迹.
22、设z∈C,a是常数且a≥1,解方程z+a|z+1|－i=0.
23、解方程 （2－2i）z3=
.
24、解方程 （1+i）z4=i.
25、求满足方程z2－5|z|+6=0的所有复数z.
26、已知a∈R,且关于x的方程x2－（2a－i）x+a+2i=0有实根,求a的值及此方程的根.
27、解方程x5+（24－10i）x3+ix2+10+24i=0.
28、设a∈R,关于x的方程2x2+3ax+a2－a=0至少有一个根的模是1,求a的值.
29、a,b是实数,关于x的方程x2+（2a－bi）x+a－bi=0的两个非零复数根的辐角分别为
及π,求a,b的值.
30、设z∈C,解方程z－2|z|=－7+4i.
31、已知复数
求
及argz3.
32、已知复数z1,z2对应点为P,Q,且|z2|=2,z12+3z22=0,O为原点,求△OPQ的面积.
33、在复平面内,已知复数z对应点在以－1+i对应点为圆心,
为半径的圆上,且argz＜π,求
对应点的轨迹.
34、z是辐角为
的任一复数,求
对应点的轨迹.
35、已知复平面上点集
（1） 若S≠φ,求a的范围;
（2） 当S≠φ时,S构成的图形是什么?
36、设z∈C,解方程
.
37、复数z满足方程|z+2|+5z－20i=0,求z.
38、复数z满足方程2z+|z|=2（1+
）,求z.
39、已知|z|≤1,|w|≤1,求证：
40、复平面内，已知点A，B，C分别对应于复数
以AB，AC为邻边作一平行四边形ABCD，求D点对应的复数z4及AD的长.
41、设p≠0,实系数一元二次方程z2－2pz+q=0有两个虚数根z1,z2再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2.求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.
42、B为圆|z|=1的上半圆上一动点,A点对应的复数是2,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,且ABC为顺时针方向（如图）.求B点对应的复数z取什么值时,坐标原点O和C点距离最远,并求这最远距离.
43、设非零复数z,w满足关系
-w=0,且z的实部为
（a、r∈R）
（1）当r=2时,求复数z,使z对应的复平面上的点位于实轴的下方.
（2）是否存在正整数r,使得u=
对于任意实数a,只有最小值而无最大值,若存在这样的r值,请求出此时使u取得最小值的a的值,若不存在这样的r的值,请说明理由.
44、已知复数z满足|1-z|=|1+z|，且
（1）求复数z；
（2）若数列{an}的通项an=
求这个数列的前n项之和。
45、求首项为
公比为
的等比数列的第七项.
46、设|z1|=3,|z2|=5,|z1+z2|=6,求|z1-z2|.
47、若|z1|=3,|z1+z2|=5,|z1-z2|=7,求|z2|.
48、复平面内三点A、B、C依次对应于复数1+z,1+2z,1+3z,其中|z|=2,O为原点，若
求复数z.
49、利用||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，求函数
的最小值及相应的x.
50、利用||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，求函数
的最大值及相应的x.
51、已知复数z满足|z|=2，求复数
在复平面内的对应点轨迹.
52、已知
在复平面内求
所表示的图形的面积。
53、已知复数z满足
求z所对应区域的面积.
54、已知复数z满足
求z.
55、已知复数z满足
求z的值。
56、求复数
的模和辐角，其中
57、已知复数
满足
（1）求
的值；
（2）求使zn为实数的最小自然数n.
58、已知复数z1,z2,z3满足
，试判断复平面内的z1,z2,z3的对应点
为顶点的三角形的形状，并求其各内角的值.
59、已知复数z1,z2满足4z12-2z1z2+z22＝0且|z2|=4，z1,z2,0所对应的点分别为A，B，O，求△AOB的面积.
60、复平面内，已知A，B，C三点对应的复数z1,z2,z3满足
，试求这个三角形三边长之比.
61、复平面内，已知Rt△ABC的三个顶点A，B，C分别对应于复数z,z2,z3,且|z|=2，
求复数z.
62、已知复数
且
求argz的最大值.
63、已知
求复数z2虚部的取值范围.
64、已知复数z1和z2满足|z1|=|z2|=1,且z1-z2=
设
是
的辐角，求
的值.
65、已知z1,z2∈C,且|z1|=|z2|=1,z1+z2=
求tg（argz1+argz2）.
66、若|z|=1,求|z2-z+1|的最大值和最小值.
67、设
求|z+z2+…+z100|.
68、已知复数
求|z-z2+z3-z4+z5-z6+z7-z8+z9-z10|.
69、已知
求|z+2z2+3z3+…＋12z12|.
70、设复数
且
求
复数综合计算题〈答案〉
1、12、过z1,z2对应点的直线（除去z2对应点）.
3、以（－1,0）为圆心,2为半径的圆.4、以（－3,7）为圆心,12为半径的圆.
5、|z|=
.当
＞0时,z的辐角是2kπ+
;当
＜0时,z的辐角是2kπ+
.
6、模为
，辐角为
，辐角主值为
。
7、
.8、a=－1,b=2.
9、
.10、
.11、
.12、
13、解析：
设Z1=cos
＋isin
Z2=-4（cos
＋isin
）
∵Z1－Z2=1－2
∴
（1）2＋
（2）2得
1＋16－8cos（－
）=13,∴cos（
－
）=
sin（
－
）=
∴
=
=[cos（
－
）＋isin（
－
）]=
i
14、
15、解析：
∵Z2=
∴
=0或1.但Z是虚数,∴
=1,
由
可得
则Z2=
∴Z3=1
.
16、解析：
设Z=x＋yi（x、y
R）代入Z
－2Zi=3－2ai得x2＋y2＋2y－2xi=3－2ai由复数相等条件有
由
（2）有x=a,代入
（1）得（y＋1）2=4－a2
∴y=－1
≤2.
又
∴在复平面上对应的点（x,y）有x＜0,y＞0.
∴
解得－
＜a＜0，故a的取值范围是（－
0）.
17、x=8,y=－818、
19、Z表示的图形如图,面积为4+π,argz的范围是
.
20、以原点为中心,焦点为（0,－2
）和（0,2
）,且长轴长为12的椭圆.
21、双曲线x2－y2=1（除去顶点）.
22、当a=1时,z=－1+i;当1＜a≤
时,z=
;
当a＞
时,无解.
23、z1=
z2=
z3=
.
24、z1=
z2=
z3=
z4=
25、±2,±3,±i.26、
.
27、1+5i,－1－5i,i,
28、a=－1,或2±
.
29、a=1,b=
.30、
31、
.32、
.
33、射线：
2x+2y+1=0（y＜0）.34、双曲线x2－y2=2的右支.
35、
（1）0≤a≤
;
（2）以（－1,－1）为圆心,
为半径的圆上的一段劣弧,劣弧端点是（0,0）及（0,－2）.
36、－1或－1+3i.37、
.38、
.
39、证明：
∵
＝
∴
于是
40、
41、
.长轴长为|OZ1|+|OZ2|.
42、当
时,|OC|最大,最大值为1+2
.
43、解：
∵w≠0依
-w=0∴z=
.|z|=
=1.
设z=
（a,b∈R），由|z|2=1得
+b2=1.
又z对应在复平面上的点位于实轴的下方,因此b＜0
可得：
其中a∈（-
0）∪（0,
）
∴z=
其中a∈（-
0）∪（0,
）.
这里,对于求出的z,满足
的w一定存在.
（2）∵|z|=1设z=cosθ+isinθ
则u=z2-z+2=（cos2θ-cosθ+2）+（sin2θ-sinθ）i
u2=|z2-z+2+|2=（cos2θ-cosθ+2）2+（sin2θ-sinθ）2=8（cosθ-
）2+
.
当
.
∵cosθ∈[-1,1]，∴当cosθ=-1时,u2有最大值16,此时,
.
∴（r-1）a2=2欲使此等式对于任意实数a之值均不成立,须有
r-1≤0,即r≤1,又r为正整数,因此,只能r=1.
当r=1时,对于任意实数a,u均没有最大值,只有最小值umin=
此时a=
.因此存在r=1使得u只有最小值
而没有最大值,且当u取最小值时,a的值为
.
44、
（1）∵|z-1|=|z+1|，∴z=yi（y∈R）,代入得
，
即
，∴y=
z=
.
（2）an=
.
设ω=
∴Sn=
∴Sn=
.
45、
46、
47、
48、
49、当
时，
50、当x=3时，
51、轨迹是圆
52、
53、
54、
55、
56、当
时，
当
时，
57、
（1）
（2）
58、直角三角形，三内角为300,600,900.
59、S＝460、三边长之比为5：
4：
3
61、由
可得
再由
，便得
62、可求得
于是当
时，
63、可得
，
∴
，于是
64、
65、
66、最大值为3，最小值为0.67、168、169、12
70、可得
经过检验可得
或
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