短除法在小学数学中的应用.docx
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短除法在小学数学中的应用
短除法在小学数学中的应用
赵龙华
云南省红河州绿春县大水沟乡大果马小学
云南省红河州绿春县大水沟乡大果马小学662502
摘要：
短除法是在小学数学五年级下册人教版中所学到的一种解题方法。
短除法在小学数学的学习也是很重要的知识，它能使我们在求分解质因数、求最大公因数、求最小公倍数、约分、通分、化简比、求比值、百分数、公倍数和公因数等方面使计算简便，便于学生对这些方面知识的理解并掌握。
短除法的解题方法一般教师认为只有用短除法求分解质因数、求最大公因数、求最小公倍数这三种。
其实，在我教学过程中及与其他教师交流中发现，用短除法解题的方法还有约分、通分、化简比、求比值、百分数、公倍数和公因数
关键词：
短除法；应用；解题方法
正文：
短除法是在小学数学五年级下册人教版中所学到的一种解题方法。
短除法在小学数学的学习也是很重要的知识，它能使我们在求分解质因数、求最大公因数、求最小公倍数、约分、通分、化简比、求比值、百分数、公倍数和公因数等方面使计算简便，便于学生对这些方面知识的理解并掌握。
短除法的解题方法一般教师认为只有用短除法求分解质因数、求最大公因数、求最小公倍数这三种。
其实，在我教学过程中及与其他教师交流中发现，用短除法解题的方法还有约分、通分、化简比、求比值、百分数、公倍数和公因数等
短除法的应用很普遍，下面我们就一种一种地举例说明及作比较。
（一）短除法在分解质因数中的应用
质因数:
每个数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个数的质因数。
把每一个合数用质数相乘的形式表示出来就是分解质因数。
分解质因数时，短除法与一般解题法在数学应用中的比较，在做分解质因数时，一般教材或一些教师常使用的方法是树枝图示分解法。
我在教学中已经发现，短除法更通俗易懂，计算方便，出错少。
我们来用几个例题来看一下。
1、把下面的各数分解质因数。
（1）36
（2）72
分析：
分解质因数我们有两种解题方法，一种树枝图示分解法另一种是短除法。
我们今天特别来研究短除法的使用。
注意分解质因数时要找对该数的最小质数。
解：
（1）①树枝图示分解法②短除法
3636=2×2×2×3
∕＼
218
∕＼
29
∕＼
33
36=2×2×2×3
（2）①树枝图示分解法②短除法
72=2×2×2×3×3
72
∕＼
236
∕＼
218
∕＼
29
∕＼
33
72=2×2×2×2×3
方法与技巧：
利用短除法解分解质因数题时，应注意要从较小的质数开始除起，一定要分到较小质数为止。
从上述例题看，树枝图示分解法过程复杂，做题步骤繁多；而短除法解题时，步骤少，过程简单，一目了然。
（二）求公倍数和公因数时，短除法与一般解题法在数学应用中的比较
几个数公有的因数就是公因数，几个数公有的倍数就是公倍数。
求一组数的公因数或公倍数时，有两种方法，一种是分别求出每组中各个数的因数或倍数。
在找出共有的因数或倍数。
另一种就是我们特别介绍的短除法。
求公倍数和公因数的方法有列举法和短除法，一般先找出每组数中每个数的因数或倍数再找出它们共同的数。
使用短除法，短除法通俗易懂，计算方便，出错少。
我还是用事实说话。
1、求公倍数和公因数。
（1）18和16
（2）6和36
分析：
我们先用一般方法解题，再用短除法解题，看看哪一种方法方便、实用。
解：
（1）①列举法
18=1×1818=2×918=3×6
16=1×1616=2×816=4×4
18的因数：
1，2，3，6，9，1816的因数：
1，2，4，8，16
16和18的公因数：
1，2
1×18=182×18=36……16×18=288……32×18=576……
1×16=162×16=32……18×16=288……36×16=576……
18的倍数：
18…288…576……16的倍数：
16…288…576……
16和18的公因数：
288，576……
②短除法
16和18的公因数：
1，216和18的公倍数：
2×2×2×2×2×3×3=288
288，576……
（2）①列举法
6=1×66=2×336=1×3636=2×1836=3×1236=4×936=6×6
6的因数：
1，2，336的因数：
1，2，3，4，6，9，12，18，36
16和18的公因数：
1，2，3
1×6=62×6=12……6×6=36……6×12=72……
1×36=362×36=72……
6的倍数：
6，12…36…72……36的倍数：
36，72……
16和18的公倍数：
36，72……
②短除法
6和36的公因数：
1×2×3=66和36的公倍数：
1×2×2×3×3=36
36，72……
方法与技巧：
特别值得注意的是我们用短除法求出的是最小的一个公倍数，我们要乘以1倍、2倍、3倍……所得的积就是它们的公倍数。
（三）求最小公倍数和最大公因数时，短除法与一般解题法在数学应用中的比较
最小公倍数是几个公有的倍数就是它们的公倍数，其中最小的一个就是最小公倍数。
最大公因数是几个公有的因数就是它们的公因数，其中最大的一个就是最大公因数。
求最小公倍数和最大公因数时有一般教学法和短除法。
我们今天重点推出短除法。
我们今天来看用短除法解题，用短除法一次性就求出它们的最大公因数和最小公倍数。
先来看题。
1、求下面各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）36和12
分析：
在解此类题时要先找出它们的最小质数，一定要用短除法除到不是合数，并且为较小质数为止。
解：
（1）①列举法
12=1×1212=2×612=3×4
36=1×3636=2×1836=3×1236=4×936=6×6
6的因数：
1，2，4，6，1236的因数：
1，2，3，4，6，9，12，18，36
16和18的公因数：
1，2，3，4，6，12
16和18的最大公因数：
12
1×12=122×12=243×12=364×12=485×12=3612×6=72……
1×36=362×36=72……
6的倍数：
12，24，36…72……36的倍数：
36，72……
16和18的公倍数：
36，72……
16和18的最小公倍数：
36
②短除法
6和36的最大公因数：
2×3=66和36的最小公倍数：
1×2×2×3×3=36
（四）做约分题目时，短除法与一般解题法在数学应用中的比较
约分是把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，是最简分数。
约分在计算中，其实是求最大公因数，找到每组的最大公因数，利用分数的基本性质，分数的分子和分母同时除这一最大公因数。
我们来看几个题。
1、约分。
（1）
分析：
在做类似题目时，关键是一定要找对最大公因数，同时运用分数的基本性质使分数的分子和分母同时缩小为最简分数。
解：
（1）①列举法
12=1×1212=2×612=3×4
36=1×3636=2×1836=3×1236=4×936=6×6
6的因数：
1，2，4，6，1236的因数：
1，2，3，4，6，9，12，18，36
16和18的公因数：
1，2，3，4，6，12
16和18的最大公因数：
12
1×12=122×12=243×12=364×12=485×12=3612×6=72……
1×36=362×36=72……
6的倍数：
6，12，24，36…72……36的倍数：
36，72……
16和18的公倍数：
36，72……
16和18的最小公倍数：
36
②短除法
6和36的最大公因数：
2×3=66和36的最小公倍数：
1×2×2×3×3=36
方法与技巧：
在做此题时，要注意最大公因数就是两个数或两个以上数的公因数之积。
同时运用分数的基本性质使分数的分子和分母同时缩小为最简分数。
做题时，一定要细心和认真。
（五）在通分中短除法与一般解题法在数学应用中的比较
通分是把异分母分数化成和原来分数相等同父母分数。
通分可以对分数的分子进行通分，也可以对分数的分母进行通分。
通分在计算中，其实是求最小公倍数，找到每组的最小公倍数，利用分数的基本性质，分数的分子和分母同时同时扩大相同的倍数使两个分子相同或分母相同。
我们来看几个题。
1、通分。
（1）
和
分析：
在做类似题目时，关键是一定要找对最小公倍数，同时运用分数的基本性质使每组两个分数分母或分子相同。
通分可以对分数的分子进行通分，也可以对分数的分母进行通分。
解：
（1）①列举法
1×6=62×6=123×6=184×6=24…7×6=42……
1×7=72×7=143×7=214×7=28…6×7=42……
6的倍数：
6，12，24…42……36的倍数：
7…42……
16和18的公倍数：
42……
16和18的最小公倍数：
42
②短除法
①通分子②通分母
最小公倍数：
2×3×5=30最小公倍数：
2×3×7=42
方法与技巧：
在做此题时，一定要找对最小公倍数，对分子或分母进行通分时，一定要认真、细心。
（六）在化简比中短除法与一般解题法在数学应用中的比较
化简比也就是求比的最大公因数，我们用同样使用短除法，用短除法时应注意要找到两个数公有的因数为止。
还是看几个实例吧！
1、化简比。
（1）9:
3
分析：
做此题时，使用短除法时一定要找出每组数的最大公因数。
注意在找最大公因数时，除到较小质数为止。
解：
（1）①列举法
9=1×99=3×3
3=1×3
9的因数：
1，3,93的因数：
1，3
9和3的公因数：
1，3
9和3的最大公因数：
3
9：
3=3
②短除法
最大公因数：
39：
3=3
方法与技巧：
从上面的题目来看，短除法要方便、实用一点。
（七）在求比值中短除法与一般解题法在数学应用中的比较
求比值也就是求比的最大公因数，我们用同样使用短除法，用短除法时应注意要找到两个数公有的因数为止。
在进行约分时直把比化到最简为止。
还是看几个实例吧！
1、求比值。
（1）9:
18
分析：
做此题时，使用短除法时一定要找出每组数的最大公因数。
注意在找最大公因数时，除到较小质数为止。
解：
（1）①列举法
9=1×99=3×3
18=1×1818=2×918=3×6
9的因数：
1,3,918的因数：
1，2,3,6,9,18
9和18的公因数：
1,3,9
9和3的最大公因数：
9
9：
18=1:
2
②短除法
最大公因数：
3×3=99：
18=1：
2
方法与技巧：
做该题时，用短除法找最大公因数时应注意从较小的公因数开始除起，除到都是较小质数时为止。
我们不难看出短除号下边的质数就是比值。
但是与化简比不同的是化简比比为1的可以不写，而求比值
必须写。
（八）在百分数中短除法与一般解题法在数学应用中的比较
百分数其实是除法算式的另一种变化，求百分数题目时，我们也可以尝试用短除法来做。
下面一起来看几个题目。
1、把下面的百分数化为小数。
（1）75%
（2）50%
分析：
在把百分数化成小数时，能约分的要进行约分，约分时用短除法，化成分数，再用分数与除法的关系，化为小数。
解：
（1）①列举法
75=1×7575=3×2575=5×15
100=1×100100=2×50100=4×25100=5×20100=10×100
75的因数：
1,3,5，15，25，75100的因数：
1，2,4,5,10,20，25，50，100
75和100的公因数：
1,5,25
75和100的最大公因数：
25
3÷4=
②短除法
最大公因数：
5×5=25
3÷4=
（2）①列举法
50=1×5050=2×2550=5×10
100=1×100100=2×50100=4×25100=5×20100=10×100
50的因数：
1,2,5，10，50100的因数：
1，2,4,5,10,20，25，50，100
50和100的公因数：
1,2，5,10，50
50和100的最大公因数：
50
1÷2=
②短除法
最大公因数：
2×5×5=50
1÷2=
方法与技巧：
从例题中可以看出，短除号左边的数是该组公有的数之积就是最大公因数，而短除号下边的数就是最简分数。
用分数与除法的关系，把最简分数化为小数。
（九）在做异分母分数加减法题时，短除法与一般解题法在数学应用中的比较
在做异分母分数加减法题时，先把异分母分数化成同分母分数，做法就和同分母分数一样。
我们在做这种题时，其实是先通分，通分时是找最小公倍数。
找最小公倍数前面我们已经讨论过了。
我先来看几个题目。
1、怎样简便就怎样计算。
（1）
（2）
分析：
在做类似题目时，谨记做同分母分数加减法时，分母一定不能相加减，只对分子进行相加减。
从题目特点来看，可以简便的一定要简便，做题时可以使用整数的交换律和结合律。
解：
（1）列举法
1×2=22×2=43×2=64×2=85×2=106×2=12……
1×4=42×4=83×4=12……
1×6=62×6=12……
6的倍数：
6，12，24…42……2的倍数：
2，4，6，8，10，12……
4的倍数：
4，8，12，……
2、4和6的公倍数：
12……
2、4和6的最小公倍数：
12
2、4的公倍数：
4……
2、4的最小公倍数：
4
②短除法
2和4最小公倍数：
1×2×2=4
4和6最小公倍数：
2×2×3=122、4和6最小公倍数：
1×2×2×3=12
或
（2）短除法
方法与技巧：
一般情况下，能够简便计算的题目都比较有特点，因此做题时，不要盲目计算，要先认真审题，认真思考后，再计算。
短除法在数学教学中用处用法我举了九种，并且与一般教学方法做了比较，这九种用法都是比较常见常用的，在教学中，对我们解题和教学帮助非常大的，而教材在教学中只是蜻蜓点水地提了一下，我认为很有必要让学生知道，让大家都懂，都能明白，都会做。
短除法是一种方法解多种题。
参考资料：
1.《数学》五年级下册人民教育出版社2006年10月卢江杨刚
2.《小学创新一点通·数学》五年级下册河北教育出版社2005年12月陈永梅
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