B题1145国防科大许亮亮梁圣徐银银.docx
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B题1145国防科大许亮亮梁圣徐银银
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
20001145
所属学校（请填写完整的全名）：
国防科学技术大学
参赛队员（打印并签名）：
1.许亮亮
2.梁圣
3.徐银银
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2008年9月22日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
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阅
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分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
B题高等教育学费标准探讨
【摘要】
本文探讨了高等教育学费标准高低对社会的影响，从培养质量、收益、教育成本、支付能力与入学率等几方面入手，构建了学费制定加权模型，举例计算得到几类有代表性的专业的具体学费，并进一步讨论了确定助学金发放对象及具体金额的方法。
论文第一步按照教育部教学评价优秀标准对学校教育质量指标量化，考虑教育成本，从整体上构建学校学费的最低标准计算模型。
通过分析我国财政指标、人民生活水平指标相关数据，可得支付能力和个人、社会收益与学费的关系的一些结论，在这些结论和最低标准计算模型的基础上进一步建立完整学费计算模型。
所建学费计算模型学费分为两个部分：
个人收益学费和支付能力学费。
其中利益获得学费与所在专业的个人收益获得率和专业的生均成本有关，支付能力学费与我国国民经济水平有关，进而有区别的建立了不同专业学费的普遍加权模型和某家庭实际可以承受的学费具体模型，给出了确定某专业学费的具体步骤，这是论文的核心。
在模型计算中，首先根据全国统计数据确定了模型中的加权系数
，
，得到了计算特定专业学费具体的经验公式，并对其方法进行了单因素方差分析，证实了这样计算的合理性；然后再有选择的计算出了一些学科专业的学费标准（见表6）。
在计算所得学费基础上说明了助学金的必要性，进一步拓展模型，按照不同收入人群分类计算应补助学费金额，并设立公平度指标，讨论了给谁发放助组学金和最终发放金额。
模型的验证尝试新的思路，借鉴蚁群和蒙特卡罗算法的一些思想，从微观到宏观验证模型。
通过定义个体行为，设定意愿度指标，用matlab编程，以计算机仿真的形式试验，用统计学观点说明学费是否合理。
这是本文的亮点之一。
讨论了模型的优缺点后，本文提出了问题拓展的几点思路，一是综合考虑各种因素，量化指标，给出建立优化模型，直接计算学费的思路；二是讨论了文章前一部份没有考虑的各种因素对学费的影响，以及加入这些因素后建模的思路。
文末以报告的形式给出了关于学费制定标准的一些研究结论和建议（附录5）。
关键词：
学费标准培养质量生均培养成本加权模型
目录
一、问题重述3
1.1问题背景3
1.2问题提出3
二、问题分析3
2.1高校收费制度的确立3
2.2高校收取学费的各类理论依据综述3
2.3学费制定标准的影响因素4
2.4高等学校教学质量与学费的关系4
2.5关于助学金4
2.6重点把握4
2.7方向选取4
三、问题假设5
四、符号说明5
五、分析与建模5
5.1从学校角度考虑的最低学费5
5.1.1教学评估的指标取舍5
5.1.2指标转化6
5.2教育投资的收益分析7
5.2.1个人收益率与社会收益率的比较7
5.2.2个人受教育水平与就业收入水平之间的关系8
5.2.3不同学科专业与收入之间的关系9
5.3支付能力分析9
5.3.1国家财政的承担能力9
5.3.2我国居民的支付能力10
5.4建立高等教育学费标准模型10
5.4.1高校学费的个人利益学费11
5.4.2高校学费的支付能力学费11
5.4.3不同专业高等教育学费标准的建立12
5.4.4学费标准中的参数P的确立方法12
5.5确定最终学费的方法12
5.6模型优化方向13
六、模型的计算与检验13
6.1确定权值系数
，
13
6.2对
采取均值有效性进行检验13
6.3部分专业的学费标准15
6.4助学金的计算模型15
6.5模型验证方法16
6.5.1检验模型的基本假设16
6.5.2入学意愿度17
6.5.3收益比及学费确定17
6.5.4社会相对总收益17
6.5.5信息素确定18
6.5.6计算流程18
6.5.7结果分析：
19
七、模型的评价20
7.1模型优点20
7.2模型缺点20
八、问题的进一步拓展21
8.1优化模型的思路分析21
8.2其他因素分析22
8.2.1社会捐资和集资办学经费、社会团体和个人办学经费的变化趋势分析22
8.2.2我国高校在校生数的变化趋势23
九、参考文献23
十、附录24
一、问题重述
1.1问题背景
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。
培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。
高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。
对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。
学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：
过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。
学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。
1.2问题提出
问题要求根据中国国情，收集相关数据、通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。
二、问题分析
2.1高校收费制度的确立
1998年通过的《中华人民共和国高等教育法》规定：
高等教育的学生应当按照国家规定缴纳学费。
这在法律上确立了高等学校的学费制度。
2.2高校收取学费的各类理论依据综述
纵观各类有关此问题的资料论述，高校收费的相关理论依据可大致分为：
公共产品说、教育投资个人收益说、成本说、能力与公平说等理论学说。
其中：
公共产品说和教育投资个人收益说都指出高等教育具有准公共产品的性质，对其投资将不仅给投资者带来收益，还会带来社会利益，所以教育费用理应由社会、政府、个人共同承担【1】。
能力说提出了分担的方法:
即个人高等教育负担率等于社会高等教育负担率。
成本说是指高等教育成本补偿的额度要依据成本的一定比例来确定【2】。
以上各种学说虽都有一定的缺陷，但有现实的可取之处。
此外，要想构建学费制定的公式模型，最关键的就是要研究清楚学费制定究竟要受哪些因素影响。
因此下面有必要对影响高等教育学费制定的因素进行分析。
2.3学费制定标准的影响因素
影响一个国家高校总体学费的因素是很多的，包括政治因素、经济因紊、历史文化传统因素、思想观念因素、国际因素【3】等等。
由于政治、文化、思想因素的难以量化分析，此问题应着重对经济因素进行定量分析研究。
经济因素方面需考虑政府的教育承担能力和受教育者自己的受教育费用支付能力，这样才能兼顾教学的质量和教育的公平性。
此外，教育所带来的收益分配情况，也是一个应当考虑的重点，因为大家有一个普遍的共识就是谁受益多，谁就应当付费多，而不应当没有差别的大家一起付费，这也关系到社会公平的问题。
以上两点因素应当兼顾才能使高等教育学费更加合理。
2.4高等学校教学质量与学费的关系
关于高校的教学质量的衡量标准，题目提示其需一定的教育经费做支撑，可以借鉴近年的教育部教学评价指标，将一些关键指标量化成相应的教育经费，再结合政府的教育拨款，从学校的声誉角度出发，可计算出一个保证某学校教育评估为优的最低学费标准，进而可将教学质量和学费联系起来。
2.5关于助学金
学校关于助学金的发放是考虑到贫困学生的经济状况而设立的补偿性措施，但是其标准也是一个待规范的细节问题，很难量化成数字指标来确定，以前通过学生汇报家庭状况来评价给谁助学金的方法，主观性太大，背离了助学金设立的初衷。
可以通过将助学金的发放标准量化，通过计算给谁，给多少的具体数目，从而部分解决之前主观性过大的问题。
2.6重点把握
针对学费的定量研究，初步分析发现每年的财政拨款和学生的学杂费是教育经费的主要组成部分，需重点量化分析和计算，而奖学金等方式是难以量化计算的一小部分，在定量计算时可以予以忽略。
所以重点在定量分析出按怎样的原则安排学费才最合理，以及在这样的原则下提出具有建设性的学费标准订立方法，以兼顾足够的经费来保证教学质量和社会教育公平的两个热点问题。
同时，从学校的角度出发，以上原则计算出的学费标准应当保证满足学校的教学评优的底线，否则很难被学校接受，要巧妙的将评价指标量化成经费，进而与学费相联系。
针对不同家境的学生，尤其是相对贫困的学生，助学金对他们的实际缴纳的学费影响很大，而他们实际缴纳的学费应当以他们的支付能力为依据。
2.7方向选取
综合分析各种收取学费的理论思想，结合大众心理，支付能力说和收益说更具普遍性和说服力，体现了教育公平的意愿，符合和谐社会的理念，这里将予以重点考虑。
三、问题假设
1、所有收集到的数据可靠。
2、不发生意外情况造成国民经济的严重动荡。
3、假设全国各地家庭对教育的重视程度相同，不会因收入不同而改变。
四、符号说明
这里只列出主要模型的全局参数，其他局部参数见文中。
Q
个人收益；
T
某学科专业的学费；
K
个人收益率；
N
受高等教育的学生总数；
e
高等教育生均成本；
M
高等教育的总投入；
F
个人支付能力学费部分；
F1
个人利益学费部分；
F2
学生家庭的实际能够支付的个人支付能力学费；
G
全国家庭平均纯收入；
P
高等教育支出的一般比例，可通过统计数字来确定；
权重系数，其取值范围为
；
表示家庭可支配收入。
五、分析与建模
5.1从学校角度考虑的最低学费
学校的教学质量是社会普遍关注的焦点，而教学质量通常由教学评价的确定指标来反映，这些指标与教育资金有密切的联系，考虑到学校的声誉，必须制定一个保证学校在教育部的教学评价中达优的最低学费标准。
5.1.1教学评估的指标取舍
培养质量的指标是反映学校的教学质量和办学实力的核心指标，影响培养质量的因素有很多，联系近年来的教学评价【4】其中与教学经费关系密切的有：
1、师生比要>1/18；
2、生均教学行政用房（教学及辅助用房面积+行政办公用房面积）/学生自然数>14（m2/生）；
3、生均教学科研仪器设备值（教学科研仪器设备资产总值/学生当量数）>5000（元/生）；
4、生均图书（图书总数/学生当量数）>100（册/生）；
5、具有副高级职务专任教师占专任教师的比例>30％；
6、生均占地面积（占地面积/学生自然数）>54（m2/生）；
7、生均宿舍面积（学生宿舍面积/学生自然数）>6.5（m2/生）；
8、百名学生配教学用计算机台数（教学用计算机台数/学生自然数）×100>10台；
9、百名学生配多媒体教室和语音室座位数（多媒体教室和语音室座位数/学生自然数）×100>7（个）；
10、新增教学科研仪器设备所占比例（当年新增教学科研仪器设备/（教学科研仪器设备资产总值－当年新增教学科研仪器设备值））；
11、生均年进书量（当年新增图书量/学生当量数）（电子类图书不计）>4（册/生）；
将这些指标量化为学校教学成本，进而进行定量的资金分析，以确定学校总体学费的最低标准。
其他一些定性的指标（比如发展势头、学风等）由于受到影响的因素很多，又不好定量说明，所以在这里予以忽略。
5.1.2指标转化
经分析，可以将这些指标分类转化为教育经费：
1、教师约束
师生比>1/18，且具有副高级职务专任教师占专任教师的比例>30％
若设：
S某校折合在校学生数
H1不具副高级职务的老师数；
H2具副高级职务的老师数；
X1不具副高级职务的老师年薪水；
X2具副高级职务的老师年薪水；
若学校的学生规模一定的情况下，可以想象师生比决定了一个学校拥有的教师数量，而授课教师的工资是教学活动的一项主要的经费开销，其决定于教师的数量。
约束转化为模型：
，
……………
（1）
则教师的总薪水X最小为:
X=
，……………………
（2）
且有：
…………（3）
2、硬件要求
硬件要求转化为费用体现在对原有硬件的折旧维护费、将要够入新硬件的费用。
参数设置：
S2生均教学行政用房的面积；
X3生均教学行政用房的面积的单价（元）；
X4学生用计算机单价（元）；
M1原有教学科研仪器的固定价值；
N每100名学生均有的计算机台数；
M2原多媒体教室和语音室总价值；
M3原有宿舍和教学楼的固定价值；
年均折旧率，一般为5％~7%，这里取7％；
M4原有图书的总价值；
W硬件维护费；
W1新增硬件（包括宿舍、教学建筑、场馆、行政用房、科研仪器、图书、计算机、语音教室等）所需的费用；
对于教学用行政房的维护费用，
则可计算出：
折旧维护费用为：
W=
……（4）
则硬件要求需经费为：
Y=W+W1………………………………………………………（5）
而学校经费的来源主要有学费、财政拨款、社会捐助、学校自筹等。
不妨设需收学费总数为M5，财政拨款、社会捐助、学校自筹的学校经费和为M6，则必然有：
……………………………………………（6）
综上，可以初步得到应收学费总数的最小值为：
……………………………………………（7）
进而，得到该校平均应收学生学费的最低值为：
……………………………………………（8）
从现实学校的教学质量和教学评价对学校的声誉影响上看，这个最低值应该作为学校学费的首要考虑标准。
5.2教育投资的收益分析
在市场经济条件下，为保证学校的发展，仅考虑成本的最低学费已经不能满足学校和学生发展的要求。
根据相关知识的了解，我们初步认为针对高等教育学费标准的订立应紧紧抓住谁获利和受教育者的支付能力这两个因素来分析。
教育投资的收益可分为个人收益和社会收益，按照“谁收益，谁投资”的原则【5】，两者的相对关系将影响学费标准的建立。
5.2.1个人收益率与社会收益率的比较
个人收益率是指个人由于受教育而获得的利益与生均培养成本的比值；
社会收益率是指社会由于教育投入而获得的利益与生均培养成本的比值；
生均培养成本表示平均每个学生占有高等教育投入的金额，计算模型为：
………………（9）
世界高等教育收益的大致情况有如下研究数据显示：
表1：
世界高等教育收益率对比
国家
高等教育的社会收益率%
高等教育的个人收益率%
低收入国家
10.6
19.3
中低收入国家
11.4
18.7
中高收入国家
9.5
12.7
高收入国家
8.2
7.7
世界平均水平
10.7
15.7
来源于：
Psachaopoulos（1994）."RetumstoInvestmentiiiEducation:
AGlobalUpdate".WorldDevelopmentVol（20（9））.P1328
对上述表格数据做出对比柱状图为：
图1：
世界高等教育收益率对比
从高等教育收益率比较中可以很直观的发现，除了高收入国家的个人收益率稍稍低于社会社会收益率外，其他收入的国家以及世界平均水平都是个人收益率高于社会收益率，且在经济越不发达的国家，个人收益率越比社会收益率高。
可见，对处于发展中国家行列的中国，高等教育的个人收益率是远大于社会收益率的。
5.2.2个人受教育水平与就业收入水平之间的关系
相关研究表明个人受教育水平与就业及收入水平有一定的关系【6】，根据2002年的相关数据得到家庭财产与户主文化程度关系的研究图表为：
图2：
家庭财产总量与文化程度的关系
从图中可以看出家庭财产总量与文化程度呈正比关系，且教育水平越高拉开的差距越大。
随着社会的发展，知识对财富的决定性作用越来越明显，可以推测当今我国居民的家庭财产与文化程度的关系仍具有这样的特点，甚至更加明显。
5.2.3不同学科专业与收入之间的关系
不同学科专业的学生毕业后半年的个人收益情况也存在着一定的差异，以下是中国2007届大学毕业生就业与工作能力调查的中国应届大学生月薪最高的十个专业的排行榜【7】：
表2：
不同学科专业的学生毕业后半年的月薪排行榜
专业
全国平均月薪/元
专业
全国平均月薪/元
法语
4783
信息安全
3293
注册会计师
3494
保险
3102
德语
3473
日语
3096
微电子学
3447
信息工程
3091
建筑学
3427
金融学
3080
软件工程
3384
对外汉语
3071
由表2可见第十与第一的差距已达到了1712元，这说明不同专业之间的收入存在较大的差异，即对于一个学生来讲，上不同的专业其个人受益有较大差距。
综合以上比较分析可以得出结论：
要兼顾教育的公平，高等教育学费标准的制定就应当考虑个人由于受教育而将会得到的利益因素，可建立个人利益因素对应的学费部分，称为个人利益学费，做为高校学费的一个量化的组成部分。
5.3支付能力分析
居民的学费支付能力应当作为学费制定的重要指标，因为撒开支付能力的学费标准，其结果很可能导致国家不堪重负或是众多家庭、个人不能承受高昂的学费，从而使经济上的不平等转化为受教育机会的不平等。
因此考察国家和个人的支付能力是进行成本分担、制定学费标准时所必须考虑的又一重要因素。
5.3.1国家财政的承担能力
我们收集到了我国近三十年来国家财政收入占国内生产总值的比重的数字信息【8】，从中可以发现一些微妙的变化。
表3：
国家财政收入占国内生产总值的比重
年份
1978
1985
1990
1991
1995
2000
2001
2002
2005
2006
比重
31.2
22.4
15.8
14.6
10.7
15
17.1
18
17.21307
18.381
将数据表做成较为直观的散点图如下：
图3：
国家财政收入占国内生产总位的比重
可以看出：
国家财政收入占国内生产总值的比例从1978年的31.2%降低到1995年的10.7%，虽近几年有所回升但总的来说比例还是很低。
5.3.2我国居民的支付能力
与此同时我国居民的教育支付能力也是一个关键。
这里假设某家庭的支付能力模型为：
。
从我国的基本国情出发，从客观数据分析可以推知我国居民的支付能力现状。
建立城乡居民家庭人均收入及恩格尔系数【9】表（见附录1）：
图4：
城镇、农村居民的人均收入条形图
总体上居民收入总体逐年迅速增加，尤其是城镇居民的收入增加的较为快。
图5：
镇、农村居民的恩格尔系数折线图
城乡居民的恩格尔系数呈逐年下降趋势，我国居民的消费水平在逐渐改善。
综上数据分析，可见居民的教育支付能力总体增强的同时，城乡差距明显，所以在高等教育学费标准制定时家庭的支付能力应当作为重要的因素考虑进来，以避免或减轻由于忽略支付能力而造成的教育不公平问题。
5.4建立高等教育学费标准模型
综上可知高等教育学费模型应包含量部分内容：
考虑个人利益获得应收取的利益学费部分和考虑支付能力收取的能力学费部分。
定义：
个人利益学费——因个人受教育而获利所决定的应缴纳学费的部分；
支付能力学费——因支付能力而决定的缴纳学费的部分。
5.4.1高校学费的个人利益学费
经上文分析可知利益获得因子与个人收益具有正相关的关系，设定参数：
个人收益为Q；
个人收益率为k；
受高等教育的学生总数为N；
高等教育生均成本为e；
高等教育的总投入为M；
则有基本模型：
………………………………（10）
假设学生的个人利益学费为F1，则有
，其中
为一权重系数，其取值范围应该为
。
具体到某专业时，有：
，………………………（11）
即：
这样，若知道了某专业的个人收益率k的统计数据和权值
，此部分就可以计算出来。
5.4.2高校学费的支付能力学费
从实际出发，支付能力强相应的应当肩负起相对较多的学费，来协助学校帮助上学困难的学生，这在社会和谐与教育公平上是具有一定的现实意义的。
首先，我们考虑建立具有普遍指导意义的模型。
对于全国范围，全国的家庭平均纯收入一定意义上决定了个人的学费支付能力，所以我们建立学费的支付能力学费部分的普遍形式为：
……………………………（12）
其中：
F为学费的支付能力学费；
G为全国家庭平均纯收入；
p为高等教育支出的一般比例，可通过统计数字来确定；
为权重系数，其取值范围应该为
。
据此可以计算某专业的全国学费标准的个人支付能力学费部分。
而根据前面的分析，对于某收入水平的家庭的学生来说，实际能够承担的个人支付能力学费
应与其家庭可支配收入紧密联系，形式可改写为：
…………………………（13）
其中：
表示其家庭可支配收入；
某收入水平的家庭的高等教育支出占纯收入的一般比例。
据此可以计算出某学生家庭的实际能够支付的个人支付能力学费F2，若家庭贫困，此项应该小于上述的个人支付能力学费F。
这样，若调查到了学生的家庭收入情况、确定了高等教育支出占纯收入的一般比例和权值
，某个专业的支付能力学费就可以计算出来，同时贫困家庭实际能够承担的支付能力学费也可以量化出来。
5.4.3不同专业高等教育学费标准的建立
假设某学科专业的学费为T，将上述的个人利益学费和支付能力学费两部分加权相加便可得到在只考虑利益获得和支付能力两个重要因素情况下的学费模型:
普遍模型：
……………………（14）
此模型可用于计算各个专业的学费。
针对某学生上某学科专业，其家庭可以承受的学费具体模型：
…………………（15）
其中
，
分别为两部分因子的权重，且使
，
，
，
的具体数值需按实际情况订立，可采用数据回归分析的方法来拟合出它们合适的取值。
这样，只要相关参数都通过足够的数据分
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