初一数学教育.docx

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初一数学教育

第一章整式

一、数学天地

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

性质

1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。

　　2、第n行的数字个数为n个。

　　3、第n行数字和为2^（n－1）。

（2的（n-1）次方）

　　4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

可用此性质写出整个帕斯卡三角形。

　5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。

将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。

6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×（n-1），第三个数为1×（n-1）×（n-2）/2，第四个数为1×（n-1）×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。

7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第（n+1）行。

介绍

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。

中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

　　杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。

杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。

组合关系以及不同横行数字之间的联系。

杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。

在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

同时，这也是多项式（a+b）^n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。

因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（ynCrx）。

我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2^（x-1）（即（a+b）^x中a,b都为1的时候）。

上述y^x指y的x次方，（anCrb）指组合数。

而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。

简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）²=x²+2xy+y²，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。

这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角（Pascal'sTriangle）。

他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。

如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去，

二、知识串讲

1.单项式

①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.

③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

例1.在下列代数式：

中，单项式有【】

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

例2.单项式的次数是【】（A）8次（B）3次（C）4次（D）5次

例3.下列说法中正确的是【】

（A）代数式一定是单项式（B）单项式一定是代数式

（C）单项式x的次数是0（D）单项式－π2x2y2的次数是6。

例4.单项式的系数是，次数是。

2.多项式

①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.不含字母的项叫做常数项.

②一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.

例5.在下列代数式：

中，多项式有【】

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

例6.下列多项式次数为3的是【】

（A）－5x2＋6x－1（B）πx2＋x－1（C）a2b＋ab＋b2（D）x2y2－2xy－1

3.整式单项式和多项式统称为整式.

二.整式的加减

1.整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.

2.括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.

例7.化简：

（1）2a2－3ab＋2b2－（2a2＋ab－3b2）

（2）2x－（5a－7x－2a）

例8.减去－2x后，等于4x2－3x－5的代数式是什么？

例9.一个多项式加上3x2y－3xy2得x3－3x2y，这个多项式是多少？

三.同底数幂的乘法

1.同底数幂的乘法法则:

（m,n都是正数）

2.在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：

幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正数）；

④公式还可以逆用：

（m、n均为正整数）

例10.=________,=______.毛

例11.=_________________.

例12.若,则m=________;若,则a=__________。

例13.若,则=________.

例14.下面计算正确的是（）

A．；B．；C．；D．

四．幂的乘方与积的乘方

1.幂的乘方法则：

（m,n都是正数）。

2.积的乘方法则：

（n为正整数）。

3．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

例15.=_________。

例16.若,则=_______。

例17.计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

数学笑话

我们都知道0是最小的自然数。

有一天，0看见了8，便说：

“哥们，今天为什么扎腰带。

”8脸红红地走了。

0又看见101，便同情地说：

“哥们，你真惨，双拐都架上了，真是可怜”101顿时火冒三丈，对0说：

“你不惨，到现在还是光棍一个。

看看人家10都成双成对了”。

0脸红了，便去找10评理。

他气愤地说：

“小样儿，傍了大款就以为我不认识你了”。

10委屈地哭了。

“1”对“7”说：

兄弟，你啥时候被人把腰打断了？

“7”对“1”说：

你啥时候被人把脑袋砍掉了？

“0”对“9”说：

别以为装大尾巴狼就能吓唬人。

“9”对“0”说：

别以为剪掉尾巴你就是个人物了。

“1”对“0”说：

说你啥也不是，你还不承认。

“0”对“1”说：

就你好，你要是出息咋一辈子打光棍呢？

“0”对“8”说：

朋友，你啥时候买了根裤腰带呢？

“8”对“0”说：

你也太穷了，裤子都掉了也不买根裤腰带。

“1”对“2”说：

你以为你隆了腰就了不起啦。

“2”对“1”说：

你都瘦成那样了还减肥呢？

五.同底数幂的除法

1.同底数幂的除法法则:

（a≠0,m、n都是正数,且m>n）.

2.在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,（-2.50=1）,则00无意义.

③任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数）,等于这个数的p的次幂的倒数,即（a≠0,p是正整数）,而0-1,0-3都是无意义的。

例18.计算=_______,=______.毛

例19.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________.

例20.若有意义,则x_________.

例21.如果,则=________.

例22.若5x-3y-2=0,则=_________.

例23.计算：

（1）

（2）

六.整式的乘法

1.单项式与单项式相乘法则:

单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

2．单项式与多项式相乘法则：

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3．多项式与多项式相乘法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例24．计算：

（1）ab·（－４ab）

（2）x·（－５x－２y＋１）（3）（a＋１）（a－）

七．平方差公式

1．平方差公式：

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即。

2.结构特征：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

例25.下列式中能用平方差公式计算的有（）

①（x-y）（x+y）,②（3a-bc）（-bc-3a）,③（3-x+y）（3+x+y）,④（100+1）（100-1）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例26.利用平方差公式计算：

（1）（x+6）（6-x）

（2）毛（3）（a+b+c）（a-b-c）（4）

八．完全平方公式

1．完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即；

2．结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

例27.若x＋mx＋４是一个完全平方式，则m的值为。

例28.计算：

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）9982

九．整式的除法

1．单项式除法单项式法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

2．多项式除以单项式法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

例29.

（1）8a2b2c÷_________=2a2bc.

（2）__________÷

例30．计算：

（1）

（2）

（2）（7x3-6x2+3x）÷3x

（3）

三、信息反馈（拔高题专项练习）

1、若，则的值为。

2、在的积中，不想含有项，则必须为。

3、若，则=。

4、若是一个完全平方式，则的值为。

5、计算的结果是。

6、已知，则的值是。

7、若中不含有项，则，。

8、已知的值为。

9、若的值为。

10、已知的值为。

11、当=，=时，多项式有最小值，此时这个最小值是。

12、已知的结果是。

13、的个位数字是。

14、计算的结果是。

15、若的值是。

16、计算的结果为。

17、若的值为。

18、=。

19、若有意义，则的取值范围是。

20、若代数式的值为0，则，。

21、计算的结果为。

22、已知的值为。

23、多项式是一个六次四项式，则。

24、若代数式的值是8，则代数式的值为。

25、已知的值为。

26、已知的值等于。

27、如果，则的值为。

28、若的值为。

29、计算的结果为。

30、已知，则=。

31、已知=。

32、若的值为。

33、已知的值为。

34、若，则代数式的值为。

35、已知是一个完全平方式，则的值为。

36、若的值为。

37、若的值为。

38、已知，则的值是。

39、若的值为。

40、已知的值为。

第二章平行线与相交线

考点1：

余角、补角、对顶角

一、考点讲解：

1．余角：

如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角．

2．补角：

如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角．

3．对顶角：

如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

4．互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．

②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠