必修四三角函数的图象与性质讲义.docx
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必修四三角函数的图象与性质讲义
1.4—1.5三角函数的图象与性质
一、正弦函数的图象与性质
1、利用描点法作函数图象（列表、描点、连线）
自变量
2
3
0
3
2
x
2
2
2
2
函数值
0
1
0
1
0
1
0
1
0
sinx
y
1–
x
52O25
22
1–
注意：
（1）由于sin（2k＋）＝sin，
因此作正弦函数图象时，我们经常采用
“五点法”：
（0，0），（，1），
．．．．．．．．．．．．．2．．．．
（，0），（3，－1），（2，0）；
．．．．．．2．．．．．．．．．．．
再通过向左、右平移（每次2个单位），即
可得正弦函数图象；
（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。
二、余弦函数的图象
1、余弦函数的图象：
y＝cosx＝sin（x＋
）可将正弦函数
y＝sinx向左平移
个单位得到。
2
2
2、“五点作图法”：
（0，1），
．．．．．．
（
，0），（
，－1），
．2
．．．．
．．．．．．
（3
，0），（2
，1）
．2
．．．．．．．．．
1
三、正、余弦函数的性质
f（x）＝sinxh（x）＝cosx
f（x）＝sinx
h（x）＝cosx
定义域
R
R
[－1，1]
当x＝2k
＋
时，f（x）max＝1
[－1，1]
当x＝2k
时，f（x）max＝1
值域
2
当x＝2k
－时，f（x）min＝－1
当x＝2k
＋
时，f（x）min＝－1
2
[2k
－
，2k
＋
]单增
[2k
，2k
＋]
单减
单调区间
2
2
＋3
[2k＋，2k
＋2
]单增
[2k
＋
，2k
]单减
2
2
对称轴
x＝k
＋
x＝k
2
对称中心
（k
，0）
（k
＋
，0）
2
周期性
sin（2k
＋
）＝sin
cos（2k
＋
）＝cos
最小正周期为2
奇偶性
sin（－
）＝－sin
奇函数
cos（－
）＝cos
例1：
求下列函数的定义域。
（1）f（x）＝sinx
（2）f（x）＝
1
cosx
2
2
变式练习1：
求下列函数的定义域
（1）f（x）＝lg（sinx）
（2）f（x）＝2cosx
7
（3）f（x）＝2sin2xsinx1
cosx
3
变式练习2：
已知cosx＝－1，且x∈[0，2]，则角x等于（
）
2
A：
2
或4
B：
2
或1
C：
5
或1
D：
5
或11
3
3
3
3
6
6
6
6
【解析】A
变式练习3：
当x∈时[0，2]，满足sin（
2
－x）≥－1的x的取值范围是（
）
2
A：
[0，2
]
B：
[4
，2
]C：
[0，2
]∪[4
，2]
D：
[2
，4
]
3
3
3
3
3
3
【解析】C
例2：
下列函数图象相同的是
（
）
A：
y＝sinx与y＝sin（x＋
）
B：
y＝cosx与y＝sin（
－x）
2
C：
y＝sinx与y＝sin（－x）
D：
y＝－sin（2
＋x）与y＝sinx
【解析】B
变式练习1：
y＝1＋sinx，x∈[0，2]的图象与直线
y＝2交点的个数是（
）
A：
0
B：
1
C：
2
D：
3
解析
B
变式练习2：
函数y＝sin（－x），x∈[0，2
]
的简图是（
）
【解析】B
变式练习3：
.函数y＝2sinx与函数y＝x图象的交点________个。
【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2sinx与y＝x的图象可见有3个
交点。
3个
变式练习4：
.若函数y＝2cosx（0≤x≤2）的图象和直线y＝2围成一
个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为___________。
【解析】：
图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1＝S2，S3
＝S4，因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积。
3
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π故.所求封闭图形的面积为4π.
四、正切函数的图象与性质【三点两线】
定义域：
x≠k＋
k∈Z
值域：
R
2
周期性：
最小正周期
T＝
单调递增区间：
（k
－，k
＋）
2
2
奇偶性：
tan（－x）＝－tanx奇函数
对称中心：
（k
，0）
2
例3：
求函数f（x）＝tan（2x－）的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心。
3
例4：
若直线l过点M（2，2）且与以点P（－2，－3）、Q（1，0）为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的范围是_________。
【解析】：
5≤k≤2
4
变式练习：
若直线l过点M（0，2）且与以点P（－2，－3）、Q（1，0）为端点的线段恒相交，则
直线l的斜率的范围是_________。
【解析】：
k≤－2，k≥
5
2
五、函数y＝sin（x＋）的图象与性质
（一）由y＝sinx的图象通过变换法作y＝Asin（
x＋）的图象
0时向左，（
0时向右）平移
个单位得到
1、先平移后伸缩：
y＝sinx
y＝sin（x＋）
1时缩短（01伸长）到原来的
1倍得到
y＝sin（
x＋）
4
A1时伸长（0A
1缩短）到原来的
A倍得到
y＝Asin（
x＋
）
2、先伸缩后平移：
y＝sinx
1时缩短（0
1伸长）到原来的
1倍得到
y＝sin
x
0时向左，（
0时向右）平移
个单位得到
y＝sin[
（x＋
）]
A1时伸长（0A
1缩短）到原来的
A倍得到
y＝Asin（
x＋
）
例5：
把函数y＝sin（2x＋
）的图象向右平移
8
个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短
4
到原来的1，则所得图象的函数解析式为（
）
2
3
1
A：
y＝sin（4x＋
B：
y＝sin（4x＋
）
C：
y＝sin4x
sin2x
）
D：
y＝
8
8
2
【解析】：
D
变式练习1：
将函数y＝sin（x＋
4
）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍（纵坐标不
变），所得图象的函数解析式是
（
）
A：
y＝cos2x
B：
y＝sin（2x＋
）
1
）
D：
y＝sin（
1
）
C：
y＝sin（x＋
x＋
【解析】：
选D
4
2
8
2
4
变式练习2：
已知函数f（x）＝sin（
x＋
）（
＞0）的最小正周期为
，则函数f（x）的图
3
象可以由函数
y＝sin2x的图象（
）
A：
向左平移
6
个单位长度
B：
向右平移
个单位长度
6
C：
向左平移
个单位长度
D：
向右平移
个单位长度
【解析】选A
3
3
变式练习3：
要得到函数y＝2cos（2x－
）的图象，只要将函数
y＝2cos2x的图象（
）
6
A：
向左平行移动
6
个单位长度
B：
向右平行移动
个单位长度
6
C：
向左平行移动
12
个单位长度
D：
向右平行移动
12
个单位长度
【解析】选D
变式练习4：
）的图象，只需将函数y＝－cos（2x－
）的图象（
）
要得到函数y＝sin（2x－
3
A：
向左平移
6
个单位长度
B：
向左平移5
个单位长度
12
5
C.向右平移
5
个单位长度
D：
向右平移
个单位长度
12
3
【解析】选C.由于y＝－cos（2x－π）＝cos2x＝sin
＝sin2
，
y＝sin＝sin2＝sin2.
故只需将函数y＝－cos（2x－π）的图象向右平移π个单位长度得到函数y＝sin
的图象.
五、有关函数y＝Asin（x＋）的性质
1、定义域为R2、值域为[－A，A]3、最小正周期T＝2
4、当
＝k
时，函数y＝Asin（
x＋
）为奇函数；当
＝k＋
函数是偶函数。
2
5、对于函数y＝Asin（
x＋
）（A＞0，＞0）的单调区间，把
x＋
看成整体
2k
－
≤
x＋
≤2k
＋
，解出x的范围为函数的单调递增区间
2
2
2k
＋
≤
x＋
≤2k
＋3
，解出x的范围为函数的单调递减区间
2
2
6、函数y＝Asin（
x＋
）的对称轴
x＋＝k＋
，解出x求得；对称中心
x＋
＝
2
k，解出x求得。
例6：
指出函数y＝3sin（2x－）的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对
3
称中心。
变式练习1：
函数f（x）＝3sin（x＋
）在下列区间内递减的是（
）
6
A：
[－1
，1
]B：
[0，1
]
C：
[－2
，2
]
D：
[1
，2
]
2
2
2
3
3
2
3
【解析】:
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z可得2kπ＋≤x≤2k＋π，k∈Z，∴函数f（x）的递
减区间为，k∈Z.从而可判断，答案:
D
6
变式练习2：
设函数f（x）＝sin（2x－1），x∈R，则f（x）是（）
2
A：
最小正周期为
1
C：
最小正周期为
2
的奇函数B：
最小正周期为
的奇函数D：
最小正周期为
1
2
的偶函数
的偶函数
【解析】:
因为f（x）＝sin
＝-cos
2x，所以f（-x）＝-cos2（-x）＝-cos2x＝f（x），
所以f（x）是最小正周期为
π的偶函数.答案:
B
例
7：
若函数f（x）
3sin（2x
）的图象关于直线
x
2
对称，那么︱
︱的最小值为
3
（
）
A：
B：
C：
4
D：
12
6
3
【解析】：
B
例8：
函数f（x）＝Asin（
x＋
）（A＞0，
＞0，︱
︱
＜
）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（
）
2
A：
f（x）＝2sin（x－
）
B：
f（x）＝2sin（2x－
）
6
3
C：
f（x）＝2sin（x＋
）
D：
f（x）＝2sin（2x－
）
12
6
【解析】：
B
变式练习
1：
已知cos＝－4，且
∈（
，
），函数f（x）＝sin（
x＋
）（
＞0）的
5
2
图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则f（
）的值为（
）。
2
8
2
B：
－
2
7
2
D：
－
7
2
A：
10
C：
10
10
10
【解析】：
B
变式练习2：
＞0，︱
︱＜
）
已知函数f（x）＝sin（x＋）（
的部分图象如图，则
＝_______。
2
【解析】：
6
变式练习3：
x＋
）（
＞0）的图象如右图如
已知函数f（x）＝sin（
示，则f（4）＝______。
7
【解析】：
2
2
变式练习4：
函数f（x）＝sin（x＋
），（︱
︱＜
）的部分图
f（x）的单调递增区间为（
2
象如图所示，则
）
A：
（－1＋4k
，1＋4k
），k∈Z
B：
（－3＋8k
，1＋8k
），k∈Z
C：
（－1＋4k，1＋4k），k∈Z
D：
（－3＋8k，1＋8k），k∈Z
【解析】：
【解答】解：
根据函数f（x）＝sin（ωx＋φ），（|φ|＜
）的部分图象，可得
＝3﹣1＝2，
求得ω＝，再根据五点法作图可得?
1＋φ＝，∴φ＝，∴（fx）＝sin（x＋）．
令2kπ﹣≤x＋≤2kπ＋，求得8k﹣3≤x≤8k＋1，故函数的增区间为[﹣3＋8k，1＋8k]，k∈Z，故选：
D．
例9：
已知函数f（x）＝2sin（2x－）
4
（1）求函数f（x）的最小正周期。
（2）求函数f（x）的单调递增区间以及对称中心。
（3）求函数f（x）在区间[，3]上的最大值和最小值。
84
变式练习1：
x＋
）（其中
＞0，|
|＜
），若函数y＝f（x）的图象
已知函数f（x）＝sin（
2
与x轴的任意两个相邻交点间的距离为
2
，且直线x＝
是函数y＝f（x）图象的一条对称轴.
6
（1
）求
的值；
（2）求y＝f（x）的单调递增区间；
（3
）若x∈[－，
]，求y＝f（x）的值域。
6
3
【解析】：
（1）因为函数y＝f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的
周期T＝π，所以ω＝＝2.
（2）因为直线x＝是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，所以
8
2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝.
所以函数的解析式是y＝sin.令2x＋，k∈Z，
解得x∈，k∈Z.所以函数的单调递增区间为，k
∈Z.
（3）因为x∈，所以2x＋.所以sin，
即函数的值域为.
变式练习2：
设函数f（x）＝sin（2x＋（）－＜＜0），已知它的一条对称轴是直线x＝。
8
（1）求；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求函数的对称中心；（4）当x∈[，5]
88
函数f（x）的取值范围。
【解析】
（1）函数的一条对称轴是直线x＝，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，因为-π<φ<0，
所以φ＝-.
（2）由
（1）知，f（x）＝sin，＋2kπ≤2x-≤＋2kπ，k∈Z，
即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为
（k∈Z）.
变式练习3：
设函数f（x）＝tan（1x－）。
23
（1）求函数f（x）的定义域、周期和单调区间；
（2）求不等式－1≤f（x）≤3的解集。
【解】:
（1）由+kπ（k∈Z）,得x≠+2kπ,∴f（x）的定义域是
.∵ω＝,∴周期T＝＝2π.
9
由-+kπ<+kπ（k∈Z）,得-+2kπ
∴函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）.
（2）由-1≤tan,得-+k
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