合情推理与演绎推理题型整理总结.docx
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合情推理与演绎推理题型整理总结
题型一用归纳推理发现规律
例 1：
通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
sin 2 150 + sin 2 750 + sin 2 1350 =
3 3
2 2
33
22
解析：
猜想：
sin 2 （α - 600 ） + sin 2 α + sin 2 （α + 600 ） =
3
2
证明：
左边= （sin α cos 600 - cos α sin 600 ）2 + sin 2 α + （sin α cos 600 + cos α sin 600 ）2
33
22
注；注意观察四个式子的共同特征或规律
（1）结构的一致性,
（2）观察角的“共
性”
（1）先猜后证是一种常见题型
（2）归纳推理的一些常见形式：
一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三
是“循环型”（周期性）
题型二用类比推理猜想新的命题
1
3
类似的结论是______.
111
223
111
334
1
4
注：
（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：
平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与
等比数列类比；圆锥曲线间的类比等
（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；
面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。
（4）找对应元素的对应关系，如：
两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂
直，边相等对应面积相等
题型三利用“三段论”进行推理
例 3 某校对文明班的评选设计了 a, b, c, d , e 五个方面的多元评价指标，并通过经
c1
bde
某班在自测过程中各项指标显示出 0 < c < d < e < b < a ，则下阶段要把其中一个
指标的值增加 1 个单位，而使得 S 的值增加最多，那么该指标应为．填
入 a, b, c, d , e 中的某个字母）
解析：
因 a, b, c, d , e 都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分
子都增加 1 的前提下，分母越小时，S 的值增长越多， 0 < c < d < e < b < a ，所
以 c 增大 1 个单位会使得 S 的值增加最多
注：
从分式的性质中寻找 S 值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过
思考才能得到
1.下列说法正确的是
（）
A.类比推理是由特殊到一般的推理
B.演绎推理是特殊到一般的推理
C.归纳推理是个别到一般的推理
D.合情推理可以作为证明的步骤
答案：
C
3.已知 a > 0 （i = 1,2,, n） ，考察下列式子：
（i） a ⋅ 1 ≥ 1 ； （ii） （a + a ）（ 1 + 1 ） ≥ 4 ；
i1 a12 aa
112
111
（iii） （a + a + a ）（
12312n
123
等式为
1
++
12n
12n
4.现有一个关于平面图形的命题：
如图，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方
形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为
a2
4
．类比到空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的
中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．
[解析]解法的类比（特殊化）
a 3
易得两个正方体重叠部分的体积为
8
5.已知 ∆ABC 的三边长为 a, b, c ，内切圆半径为 r （用 S
∆ABC
表示∆ABC的面积 ），
则 S
∆ABC =
1
2
r （a + b + c） ；类比这一结论有：
若三棱锥 A - BCD 的内切球半径为 R ，
则三棱锥体积 V
1
∆ABC∆ABD
+ S
+ S
∆ACD
+ S
∆BCD
）
6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为 Ax + By + C = 0 ，圆心在（ x , y ） 的圆的
00
一般方程为 （ x - x ） 2 + （ y - y ） 2 = r 2 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的
00
一 般 方 程 为 ________________, 球 心 在 （ x , y , z ） 的 球 的 一 般 方 程 为
000
_______________________.
答案； Ax + By + Cz + D = 0 ； （ x - x ）2 + （ y - y ）2 + （ z - z ）2 = r 2
000
7.
（1）已知等差数列的定义为:
在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前
一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的
公和．
类 比 等 差 数 列 的 定 义 给 出 “ 等 和 数 列 ” 的 定
义：
；
（ 2 ） 已 知 数 列 { }是 等 和 数 列 ， 且 a = 2 ， 公 和 为 5 ， 那 么 a的 值 为
n118
____________．
答案：
1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么
这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；
（2） a = 3 ；
18
8.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式：
22 = 1 + 332 = 1 + 3 + 542 = 1 + 3 + 5 + 7
23 = 3 + 533 = 7 + 9 + 1143 = 13 + 15 + 17 + 19
根据上述分解规律，则 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 , 若 m3 （m ∈ N * ） 的分解中最小的数是
73，则 m 的值为
答案：
m = 9
（2014 全国 I 卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；
乙说：
我没去过 C 城市；
丙说：
我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为.
1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
小王说：
“我肯定考上重点大学。
”
小刘说：
“重点大学我是考不上了。
”
小张说：
“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。
发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三
个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。
可见：
）
（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
3、给出下列三个命题：
①若 a ≥ b ≥ -1, 则
a b
≥
1 + a 1 + b
；②若正整数 m和n 满足 m ≤ n ，
则 m（n - m） ≤
n
2
；③设 P（ x , y ）为圆O :
x 2 + y 2 = 9 上任意一点，圆 O 以 Q（a, b） 为
1 1 1 2
圆心且半径为 1。
当 （a - x ） 2 + （b - y ） 2 = 1 时，圆 O 与圆O 相切。
1112
其中假命题的个数是（）
（A） 0（B ） 1（C）2（D）3
二、填空题
4、设函数 f （ x） =1
2 x + 2
，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求
得 f （-5） +⋅⋅⋅+ f （0） +⋅⋅⋅+ f （5） + f （6） 的值为.
一、选择题
（1）由推理知识，可知应选（C）
（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）
二、填空题
（4）分析此题利用类比课本中推导等差数列前 n 项和公式的倒序相加法，观察每一个因
式的特点，尝试着计算 f （ x） + f （1 - x） ：
f （ x） =1
2 x + 2
，
f （1 - x） =1
2 x
2 + 2 ⋅ 2 x =
1
⋅ 2 x
2
2 + 2 x
，
∴ f （ x） + f （1 - x） =
1 +
1
⋅ 2 x
2
2 + 2 x
= 2
2
，
发现 f （ x） + f （1 - x） 正好是一个定值， ∴2S =
2
2
⨯ 12 ，∴S = 3 2 .
【典型例题】
例 1：
（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。
小王
发现由 8 个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式，并根据通
项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。
小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，
再往后写几个数发现它们不是质数。
他写出不是质数的一个数是（）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
答案：
C。
解析：
观察可知：
a - a = 2, a - a = 4, a - a = 6,, a - a
213243n
n-1
= 2（n - 1）,
累加可得：
a - a = 2 + 4 + + 2（n - 1） = （n - 1）（2 + 2n - 2） = （n - 1）n ，
n1
∴ a =
n
n 2 n
- + 41, 验证可知 1681 符合此式，且 41×41=1681。
2 2
（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量 a 的性质|a|2=a2 类比得到复数 z 的性质|z|2=z2；
③方程 ax 2 + bx + c = 0 （a, b, c ∈ R） 有两个不同实数根的条件是 b 2 - 4ac > 0 可以类比
得到：
方程 az 2 + bz + c = 0 （a, b, c ∈ C ） 有两个不同复数根的条件是 b 2 - 4ac > 0 ；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是（）
A.①③B. ②④C. ①④D. ②③
答案：
D。
解析：
由复数的性质可知。
（3）定义 A * B, B * C, C * D, D * A 的运算分别对应下图中的
（1）、
（2）、（3）、（4），那
么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（）
（1）
（2）（3）（4）（A）（B）
A. B * D, A * DB. B * D, A * CC. B * C, A * DD. C * D, A * D
答案：
B。
22
2
面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
答案：
本题是“由平面向空间类比”。
考虑到平面中的图形是一个直角三角形，
所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑。
取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A—BCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，
222
2
例 4：
请你把不等式“若 a , a 是正实数，则有
12
a 2 a 2
1 + 2 ≥ a + a ”推广到一般情形，并
1 2
2 1
证明你的结论。
答案：
推广的结论：
若 a , a ,, a 都是正数，
12n
23n-11
a 2 a 2 a 2 a 2
n
1 2
n
证明：
∵ a , a ,, a 都是正数∴
12n
a 2 a 2
1 + a ≥ 2a ， 2 + a ≥ 2a
2 1 1
2 1
2
………，
a 2
n-1 + a
a
n
n
≥ 2a
n-1
a 2
， n + a ≥ 2a
1
1
n
23n-11
【课内练习】
a 2 a 2 a 2 a 2
n
1 2
n
1．给定集合 A、B，定义 A * B = {x | x = m - n, m ∈ A, n ∈ B} ，若 A={4,5,6},B={1,2,3},
则集合 A * B 中的所有元素之和为（）
A.15B.14C.27D.-14
答案：
A 。
解析：
A * B = {1,2,3,4,5} ，1+2+3+4+5＝15。
2．观察式子：
1 + 1 < 3 ,1 + 1 + 1 < 5 ,1 + 1 + 1 + 1 < 7 ，…，则可归纳出式子为（）
222223232232424
A、 1 + 1 + 1 + 1 <
2232n2
1
2n - 1
B、 1 + 1 + 1 + 1 <
22 32 n2
1
2n + 1
C、 1 + 1 + 1 + 1 < 2n - 1
2232n2n
D、 1 + 1 + 1 + 1 < 2n
22 32 n2 2n + 1
答案：
C。
解析：
用 n=2 代入选项判断。
3．有一段演绎推理是这样的：
“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
b ⊆/ 平面 α ，直线 a ⊂ 平面 α ，直线 b ∥平面 α ，则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误
≠
的，这是因为（）
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误
答案：
A。
解析：
直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
4．古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第 30
个三角数与第 28 个三角数的差为。
{}
213243
302929283028123
猜测 an = 1 + 2 + + n 。
5．数列{a } 是正项等差数列，若 b =
nn
a + 2a + 3a + + na
1 2 3
1 + 2 + 3 + + n
n ，则数列{b } 也为等差
n
数列. 类比上述结论，写出正项等比数列{c } ，若 d =，则数列{ d }
nnn
也为等比数列.
1
23
123
6．“ AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线，∴ AC,BD 互相垂直且平分。
”补充以上推理的大前提
是。
答案：
菱形对角线互相垂直且平分。
7．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由
6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形,
第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图
4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠
宝 , 使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 , 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_______________颗珠宝;则
前 n 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 ________________颗.（结果用 n 表示）
图 1图 2
答案：
66,n （n + 1）（4n - 1）
6
图 3 图 4
。
解析：
利用归纳推理知。
8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，
按图所标边长，由勾股定理有：
c 2 = a 2 + b 2 .
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的
1234
结论是.
答案：
S 2 + S 2 + S 2 = S 2 。
1234
22
a2b2
圆 C 上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 KPM、KPN 时，那么 KPM 与 KPN 之积
22
a2b2
22
a2b2
原点对称的两点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 KPM、
KPN 时，那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。
证明如下：
22
a2b2
设 P（x, y） ，由 K
PM =
x - m x + m
得 K
PM ⋅ K
PN =
y - n y + n y2 - n2
⋅ =
x - m x + m x2 - m2
22
a2a2
PM ⋅ K
PN =
b2 。
a2
10．观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：
（Ⅰ）求第六行的第一个数．
3
1
5
（Ⅱ）求第 20 行的第一个数．
7
9
11
（Ⅲ）求第 20 行的所有数的和．
13 15
17
19
答案：
（Ⅰ）第六行的第一个数为 31
（Ⅱ）∵第 n 行的最后一个数是 n2 + n - 1 ，第 n 行共有 n 个数，且这些数构成一个等差数
列，设第 n 行的第一个数是 a
n1
∴ n2 + n - 1 = a + 2（n - 1）
n1
∴ a = n2 - n + 1
n1
∴第 20 行的第一个数为 3
（Ⅲ）第 20 行构成首项为 381，公差为 2 的等差数列，且有 20 个数
设第 20 行的所有数的和为 S 则 S
20
【作业本】
A 组
20 = 381⨯ 20 + 20（20 - 1）
⨯ 2 = 8000
1．在数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第 25 项为
A．25B．6C．7D．8
（ ）
答案：
C。
解析：
对于
n（n + 1） 6 ⨯ 7
中，当 n＝６时，有
2 2
= 21, 所以第２５项是７。
2．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ⊥ AB 时,其离心率为
5 - 1
2
此类椭圆被称
为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率 e 等于（）
5 + 15 - 1
A.B.
22
B
y
C. 5 - 1D. 5 + 1
F O A x
答案：
A。
解析：
猜想出“黄金双曲线”的离心率 e 等于
5 + 1
2
事实上对直角 ABF 应用勾
股定理,得 AF
2
= BF 2 + AB 2 ,即有 （a + c）2 = （b2 + c 2 ） + （a 2 + b2 ） ,
注意到 b2 = c2 - a2 , e = c
a
变形得 e2 - e - 1 = 0, 从而e =
5 + 1
2
.
3．下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠
B=180°
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C、某校高三共有 10 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，三班有 52 人，由此推测各班都超过
50 人
2
1
a
n-1
）（n ≥ 2） ，由此推出 {}的通项公式
答案：
A。
解析：
B 是类比推理，C、D 是归纳推理。
4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据
“三段论”推理出一个结论，则这个结论是。
答案：
②③ ⇒ ①。
解析：
②是大前提，③是小前提，①是结论。
5．公比为 4 的等比数列 {
n
}中，若 T
n
是数列 {
n
}的前 n 项积，则有 T20 , T30 , T40
T T T
10 20 30
也成等比
数列，且公比为 4 100；类比上述结论，相应地在公差为3 的等差数列 {
n
}中，若 S
n
是 {
n
}
的前 n 项和，则数列也成等差数列,且公差为。
答案：
S
20
- S ， S
10
30
- S ， S
20
40
- S ；300。
解析：
采用解法类比。
30
6．二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：
一个自然数，如果它是偶数
就用 2 除它，如果是奇数，则将它乘以 3 后再加 1，反复进行这样两种运算，必然会得到什
么结果，试考查几个数并给出猜想。
答案：
取自然数 6，按角谷的作法有：
6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，
4÷2=2，2÷2=1，其过程简记为 6→3→10→5→16→8→4→2→1。
取自然数 7，则有 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。
取自然数 100，则 100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。
归纳猜想：
这样反复运算，必然会得到 1。
7．圆的垂径定理有一个推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭
22
a2b2
存在，并设为 KOM、KAB，则 KOM 与 KAB 之间有何关系？
并证明你的结论。
2
112200
⎧ x2
⎪ 1 +
⎪ a2b2（x + x ）（x - x ）（ y + y ）（ y - y ）
21121
22a2b2
⎩ ab
2
120120
12
2
a2
∴OM 与 AB 不垂直，即不能推广到椭圆中。
B 组
1．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解
密）,已知加密规则为:
明文 a, b, c, d 对应密文 a + 2b,2 b + c,2 c + 3d ,4 d ,例如,明文
1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16 .当接收方收到密文14,9,23,28 时,则解密得到的明文为（）
A． 4,6,1,7B． 7,6,1,4C． 6,4,1,7D．1,6,4,7
⎧ a + 2b = 14⎧ a = 6
⎪⎪ b = 4
⎪⎪
⎪4d = 28
⎪d = 7
即解密得到的明文为 6,4,1,7 。
2．平面上有 n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成 f （n） 块
区域，有 f
（1） = 2, f
（2） = 4, f （3） = 8 ，则 f （n） 的表达式为（）
A、 2nB、 n2 - n + 2C、 2n - （n - 1）（n - 2）（n - 3）D、 n3 - 5n2 + 10n - 4
答案：
B。
解析：
由 f
（2） - f
（1） = 2, f （3） - f
（2） = 4, f （4） - f （3） = 6,猜测f （n + 1） - f （n） = 2n ，利用累
加法，得 f （n） = n2 - n + 2 。
3．设 f （ x） =1
f （-5） + f （-4） + + f （0） + + f （5） + f （6） 的值为（）
A、 2B
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