6-1-10牛吃草问题.题库教师版.doc

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牛吃草

教学目标

1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.

2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

知识精讲

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．

“牛吃草”问题主要涉及三个量：

草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．

解“牛吃草”问题的主要依据：

①草的每天生长量不变；

②每头牛每天的食草量不变；

③草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值

④新生的草量每天生长量天数．

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度（对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数）（较多天数较少天数）；

⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；

⑷吃的天数原来的草量（牛的头数草的生长速度）；

⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

例题精讲

板块一、一块地的“牛吃草问题”

【例1】青青一牧场，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走他方；

若养二十一，可作几周粮？

（注：

“廿”的读音与“念”相同。

“廿”即二十之意。

）

【解说】题目翻译过来是：

一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。

若是21头牛，要几个星期才可以吃完？

（注：

牧场的草每天都在生长）

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了份；23头牛吃9周共吃了份．第二种吃法比第一种吃法多吃了份草，这45份草是牧场的草周生长出来的，所以每周生长的草量为，那么原有草量为：

．

供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要（周）可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．

【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了份；15头牛吃10天共吃了份．第一种吃法比第二种吃法多吃了份草，这50份草是牧场的草天生长出来的，所以每天生长的草量为，那么原有草量为：

．

供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要（天）可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．

【巩固】仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。

用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。

仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？

【解析】设辆汽车天运货为“”，进货速度为，原有存货为，仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要（天）

【例2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？

【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为，原有草量为，可供（头）牛吃18周

【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么天生长的草量为，所以每天生长的草量为；原有草量为：

．

20天里，草场共提供草，可以让头牛吃20天．

【巩固】（2007年湖北省“创新杯”）

牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则头牛96天可以把草吃完．

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为，牧场原有草量为，要吃96天，需要（头）牛．

【巩固】一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?

【解析】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：

，原有草量为：

，（头）

【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？

（假定野果生长的速度不变）

【解析】设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是，原有的野果为，如果要4周吃光野果，则需有只猴子一起吃

【巩固】一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

【解析】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？

（台）.

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？

（台）.

每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？

（台）.

原有的水可供多少台抽水机抽1天？

（台）.

若6天抽完，共需抽水机多少台？

（台）.

【例3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：

，原有草量为：

；10天吃完需要牛的头数是：

（头）．

【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？

【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。

牧场上的草每天自然减少；

原来牧场有草，

12天吃完需要牛的头数是：

（头）或（头）。

【例4】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，天自然减少的草量为，原有草量为：

．

若有11头牛来吃草，每天草减少；所以可供11头牛吃（天）．

【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。

牧场上的草每天自然减少

原来牧场有草

可供10头牛吃的天数是：

（天）。

【例5】一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为，原有草量为：

．

10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．

【巩固】（年希望杯六年级二试试题）

有一片草场，草每天的生长速度相同。

若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。

那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?

【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。

【巩固】一片牧草，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。

如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃（天）

【巩固】一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?

【解析】设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

16头牛15天16×15＝240：

原有草量＋15天生长的草量

100只羊（25头牛）6天25×6＝150：

原有草量＋6天生长的草量

从上易发现：

1天生长的草量＝10；那么原有草量：

150－10×6＝90；

8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

【例6】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：

原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：

．

现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为（头）．

【巩固】一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：

．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩，而牛的头数变为6，现在就相当于：

“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？

”易得答案为：

（天）．

【例7】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

【解析】设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：

15天马和牛吃草量原有草量天新生长草量……⑴

20天马和羊吃草量原有草量天新生长草量……⑵

30天牛和羊（等于马）吃草量原有草量天新生长草量……⑶

由可得：

30天牛吃草量原有草量，所以：

牛每天吃草量原有草量；

由⑶可知，30天羊吃草量天新生长草量，所以：

羊每天吃草量每天新生长草量；设马每天吃的草为份

将上述结果带入⑵得：

原有草量，所以牛每天吃草量．

这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：

（天）．

【巩固】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?

【解析】牛、马45天吃了原有天新长的草①

牛、马90天吃了2原有天新长的草⑤

马、羊60天吃了原有天新长的草②

牛、羊90天吃了原有天新长的草③

马90天吃了原有天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

所以，