排列组合练习试题和答案解析doc.docx
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排列组合练习试题和答案解析doc
《排列组合》
一、排列与组合
1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？
2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？
3.现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是
A.男同学
2人，女同学
6人
B.男同学
3人，女同学
5人
C.男同学
5人，女同学
3人
D.
男同学
6人，女同学
2人
4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有
个个个个
5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
二、注意附加条件
人排成一列
（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？
（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？
2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？
3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是
4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
种种种种
5.从编号为1，2，，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是
种种种种
6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有
种种种种
7.用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列
起来，第71个数是。
三、间接与直接
1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不
同选法？
2.
6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？
3.
已知集合A和B各12个元素，AIB含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合
C的
个数：
（1）C（AUB）且C中含有三个元素；
（2）CIA
表示空集。
4.从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数
种种种种
5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？
6.以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？
7.对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？
四、分类与分步
1.求下列集合的元素个数．
（1）M
{（x,y）|x,yN,xy6}；
（2）H
{（x,y）|x,yN,1x4,1y5}．
2.一个文艺团队有9名成员，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方法？
3.已知直线l1//l2，在l1上取3个点，在l2上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在l1和l2之间的交点（不包括l1、l2上的点）最多有
A.18个个个个
4.9名翻译人员中，6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担
任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有种（用数字作答）。
5.某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校只参观1天，则在这20天内不同的安排方法为
3781718
A.C20A17种B.A20种C.C18A17种D.A18种
6.从10种不同的作物种子选出6种放入6个不同的瓶子展出，如果甲乙两种种子不许放第一号瓶内，那么不同的放法共有
A.C102A84种B.C19A59种C.C18A59种D.C19A58种
7.在画廊要展出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一起，还要求水彩画不能摆两端，那么不同的陈列方式有
A.A14A55种B.A23A44A55种C.A14A44A55种D.A22A44A55种
8.把一个圆周24等分，过其中任意3个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的个数是
9.有三张纸片，正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、6，将这三张纸片上的数字排成三位数，共能组不同三位数的个数是
A.24
10.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
11.如下图,共有多少个不同的三角形?
解:
所有不同的三角形可分为三类：
第一类:
其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个
第二类:
其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个
第三类:
没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
12.从5部不同的影片中选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放
映一场，共有种不同的放映方法（用数字作答）。
五、元素与位置——位置分析
人争夺5项冠军，结果有多少种情况？
2.75600有多少个正约数?
有多少个奇约数?
解:
75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.
由于75600=24×33×52×7
（1）75600的每个约数都可以写成2l3j5k7l的形式,其中0i4,0j3,0k2,0l1
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样
i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5
×4×3×2=120个.
（2）奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成3j5k7l的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.
3.2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法有多少种？
4．有四位同学参加三项不同的比赛，
（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？
（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？
解：
（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：
333381种；
（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：
44464种.
六、染色问题
1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为（）
A.180B.160C.96D.60
②
①
①
④
③
③
④
③
④
①
②
②
图一
图二
图三
若变为图二,图三呢?
（240种,5×4×4×4=320种）
2.某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D（如图）每一部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同，
则不同颜色粉笔书写的方法共有种（用具体数字作答）。
七、消序
1.有4名男生，3名女生。
现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法？
2.书架上有6本书，现再放入3本书，要求不改变原来6本书前后的相对顺序，有多少种不同排法？
八、分组分配
1.某校高中一年级有6个班，分派3名教师任教，每名教师任教二个班，不同的安排方法有多少种？
2.高三级8个班，分派4名数学老师任教，每位教师任教2个班，则不同安排方法有多少种？
3.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？
项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有种
5..六人住A、B、C三间房，每房最多住三人，
（1）每间住两人，有种不同的住法，
（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有种不同的住宿方案。
6.8人住ABC三个房间，每间最多住3人，有多少种不同住宿方案？
7.有4个不同小球放入四个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？
7.把标有a，b，c，d，的
个人，则不同的赠送方法有
8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学，其中
种（用数字作答）。
a、b不赠给同一
九、捆绑
1.A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？
2.有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书竖排在书架上，
则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法之比为
:
14:
28:
140:
336
十、插空
1.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？
2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）
3.要排一个有5个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少种不同排法？
4.5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，共有多少种不同排法？
5..把5本不同的书排列在书架的同一层上，其中某3本书要排在中间位置，有多少种不同排法？
到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中偶数不相邻的个数有个.
7.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？
张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？
9.排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？
10.排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？
11.某城市修建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭
其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有种
A.C38B.A38C.C39D.A39
12.在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必需有6只灯是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必需点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是
种种种种
13.一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数
为
。
（用数字作答）
十一、隔板法
1.不定方程x1x2x3
x47的正整数解的组数是
，非负整数解的组数是
。
2.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有
种
种
种
种
3.要从
7所学校选出
10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加
1人，则这
10个名额共
有
种分配方法。
4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有
种种种种
5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？
6.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？
十二、对应的思想
1.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？
十三、找规律
1.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?
解:
分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法小加数为10时,大加数为11,12,,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法小加数取19时,大加数有
1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2++9+10+9++2+1=100种.
分类标准二:
固定和的值.有和为21,22,,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8,
2,2,1,1种.
由分类计数原理得不同取法共有10+9+9++2+2+1+1=100种.
2.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于一百，则不同的取法有
种种种种
十四、实验——写出所有的排列或组合
1.将数字1,2,3,4填入标号1,2,3,4的四个方格中，每个格填一个，则每一个方格的标号与所
填的数字均不同的填法有种.
解:
列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或33119种．
未归类几道题
1.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0?
其中有实根的方程有多少个？
变式：
若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（A）
2.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件
（1）一共有多少种不同的抽法?
（2）抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种?
（3）抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种?
双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果
（1）4只鞋子没有成双；
（2）4只鞋子恰好成双；
（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双
是集合M={a,b,c,d}到N{0,1,2}的映射，且f（a）+f（b）+f（c）+f（d）=4,则不同的映射有多少个？
解：
根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类：
第一类，没有一个元素的象为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有
1个
第二类，有一个元素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有C41C31C22个
第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有C42C22个
根据加法原理共有1+C41C31C22+C42C22=19个
5.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有多少种？
6.由12个人组成的课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同选法？
排列、组合练习题参考答案:
1.C92362.A9272
3.解析：
设男生有n人，则女生有（8-n）人，由题意得
Cn2C81nA33nn1
（8n）690
1（8
n）
30
2
即nn
用选支验证选（B）
4.分类：
①恰有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
C52
2
20种；
②恰有三个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
C53
10种；
③无恰有四个杯盖和茶杯的编号相同的盖法，只有五个杯盖和茶杯的编号完全相同的盖法
1种。
故选（B）31种。
5.分类：
①1奇4偶：
C61C54
30
②3奇2偶：
C63C52
200
选（A）
6.分步：
C16C5222240选（A）
7.间接法：
C103C63
1
2
2
1
3
B
或分类：
C4C6
+C4C6+C4
4
A
88
8.间接法：
A1010A44A77
9.间接法：
C203C83
10.对应：
一交点对应
l1
、
l2
上各两点：
C32C42
18
个选（A）
11.分类：
①英语翻译从单会英语中选派：
C53C4260
②英语翻译选派中一人既会英语又会日语：
C52C3230
填90
懂日语
12.分步：
A22A44A55
懂英语
1
5
6
选（D）
13.元素与位置：
以冠军为位置，选人：
7777775
14.756002433527①5432120；②43224
15.分步：
5433180填180
A99
7
8
9
3
16.消序：
A66
=504或分步插空：
789=504
或A9
C62C42C22
A33
222
17.先分组后分配：
A33
或位置分析：
C6
C4C2
18.先分组后分配：
C63C32C11A33
19.位置分析：
C83C51C42C22
20.
（1）仿17题；
（2）先分组后分配：
C63C32C11A33
C83C53C223
21.先分组后分配：
A22A3
或分类，先确定住两人的房间——位置分析：
C31C82C63C33
23211
重复题目:
先分组后分配：
C4A3或分类——位置分析：
3C4C2C1
A55A33A22
1
22.捆绑：
A88
28
选（B）
23.插空:
A44A5324.插空:
A4325.插空:
A44A5226.插空:
A33C43
27.插空:
A33A4328.（A）C83
C96
C93
9
8
7
84
29.隔板法：
3
2
1
选（A）
30.1o先在编号为2、3的2个盒子分别放入1个小球、2个小球；
2
2o对余下7个小球用隔板法C615。
选（C）
31.对应的思想：
100名选手之间进行单循环淘汰赛，最后产生一名冠军，要环淘每淘汰1名选手，对应一场比赛。
故要举行99场比赛。
99名选手，
32.[解法一]:
找规律：
固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法小加数为10时,大加数为11,12,,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2++9+10+9++2+1=100种.
[法二]:
固定和的值.有和为21,22,,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8,
2,2,1,1种.由
分类计数原理得不同取法共有10+9+9++2+2+1+1=100种.
以上两种方法是两种不同的分类。
33.解:
列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或33119种．
34.
（1）C10424
（2）C102（3）C101C9222
35.解：
根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类：
第一类，没有一个元素的象为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有
1个
第二类，有一个元素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有
C14C31C22=12个
第三类，有两
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