中考数学 一轮专题训练全等三角形含答案.docx

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中考数学一轮专题训练全等三角形含答案

2021中考数学一轮专题训练：

全等三角形

一、选择题（本大题共10道小题）

1.如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（　　）

A．∠A＝∠CB．∠D＝∠B

C．AD∥BCD．DF∥BE

2.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　）

A．15°B．20°C．25°D．30°

3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC

C．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D

4.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）

A.2对B.3对C.4对D.5对

5.如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（　　）

图12-1-10

A.2B.3C.5D.2.5

6.如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是（　　）

A.△ABD和△CDB的面积相等

B.△ABD和△CDB的周长相等

C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD

D.AD∥BC，AD=BC

7.如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　）

A．a＋cB．b＋c

C．a－b＋cD．a＋b－c

8.如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）

9.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（　　）

A．90°B．120C．135°D．150°

10.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.3个以上

二、填空题（本大题共10道小题）

11.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.

12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：

______________，使得△ABD≌△CDB.（只需写出一个）

13.如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是　　　　（只填一个即可）. 

14.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：

________，使△AEH≌△CEB.

15.如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．

16.如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：

________，使得△ABO≌△CDO.

17.△ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O到AB的距离为________．

18.如图，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA的大小为________．

19.如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．

20.如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．

三、解答题（本大题共6道小题）

21.如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC.求证：

Rt△ABC≌Rt△DEF.

22.如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.

23.观察与类比

（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°.点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：

DF＝BC＋CF；

（2）如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论．

24.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A以acm/s的速度运动，设运动的时间为ts（t>0）.

（1）求CP的长（用含t的式子表示）;

（2）若以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值.

25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：

△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，

①求证：

△BPE∽△CEQ；

②当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长．

26.已知：

在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.

（1）如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：

△ABE≌△BCD；

（2）如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；

（3）在

（2）的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．

2021中考数学一轮专题训练：

全等三角形-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1.【答案】B　[解析]在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.

2.【答案】D　[解析]由条件可知∠ADB＝∠EDB＝∠EDC＝60°，且∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠C＝30°.

3.【答案】C

4.【答案】C　【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．

5.【答案】B　[解析]∵△ABE≌△ACF，AB=5，

∴AC=AB=5.

∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3.

6.【答案】C　[解析]A.∵△ABD≌△CDB，

∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;

B.∵△ABD≌△CDB，

∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;

C.∵△ABD≌△CDB，

∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.

∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;

D.∵△ABD≌△CDB，

∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.

∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.

7.【答案】D　[解析]∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.

8.【答案】C　[解析]选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.

选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.

选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.

∴∠FEC=∠BDE.

这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.

选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.

∴∠FEC=∠BDE.

又∵BD=CE=2，∠B=∠C，

∴△BDE≌△CEF.

故能判定两个小三角形全等.

9.【答案】C　[解析]在图中容易发现全等三角形，将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余．故∠1＋∠3＝90°.易得∠2＝45°，故∠1＋∠2＋∠3＝135°.

10.【答案】D　【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4（SAS），∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.

二、填空题（本大题共10道小题）

11.【答案】120°　【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.

12.【答案】答案不唯一，如AB＝CD　[解析]由已知AB∥CD可以得到一对角相等，还有BD＝DB，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．

13.【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF　[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.

14.【答案】AH＝CB（符合要求即可）　【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：

AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．

15.【答案】∠B＝∠D

16.【答案】∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD（答案不唯一）

[解析]由题意可知∠AOB＝∠COD，AB＝CD.

∵AB是∠AOB的对边，CD是∠COD的对边，∴只能添加角相等，故可添加∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD.

17.【答案】2.5　[解析]设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝

×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.

18.【答案】55°　[解析]∵PA⊥ON，PB⊥OM，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°.

在Rt△AOP和Rt△BOP中，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．

∴∠AOP＝∠BOP＝

∠MON＝25°.

∴∠PCA＝∠AOP＋∠OPC＝25°＋30°＝55°.

19.【答案】5或10　[解析]∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.∴∠C＝∠PAQ＝90°.

分两种情况：

①当AP＝BC＝5时，

在Rt△ABC和Rt△QPA中，

∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；

②当AP＝CA＝10时，

在Rt△ABC和Rt△PQA中，

∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）．

综上所述，当AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等．

20.【答案】32°　[解析]∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，

∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.

∴∠PCF＝

∠ACF，∠PBF＝

∠ABC.

∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝

（∠ACF－∠ABC）＝

∠BAC＝32°.

三、解答题（本大题共6道小题）

21.【答案】

证明：

∵BF＝EC，∴BF＋FC＝FC＋EC，

即BC＝EF.

∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABC和△DEF都是直角三角形．

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

22.【答案】

解:

∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB.

∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD.

∵AD=16，BC=10，

∴AB=CD=

（AD-BC）=3.

23.【答案】

解：

（1）证明：

∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠AED＝∠AEF＝∠ACB＝90°.

在Rt△ACF和Rt△AEF中，

∴Rt△ACF≌Rt△AEF（HL）．∴CF＝EF.

在Rt△ADE和Rt△ABC中，

∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL）．

∴DE＝BC.

∵DF＝DE＋EF，

∴DF＝BC＋CF.

（2）BC＝CF＋DF.

证明：

如图，连接AF.

在Rt△ABC和Rt△ADE中，

∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）．

∴BC＝DE.

∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°＝∠AED.

在Rt△ACF和Rt△AEF中，

∴Rt△ACF≌△AEF（HL）．

∴CF＝EF.

∵DE＝EF＋DF，∴BC＝CF＋DF.

24.【答案】

解:

（1）依题意得BP=3tcm，BC=8cm，

∴CP=（8-3t）cm.

（2）∵∠B和∠C是对应角，∴分两种情况讨论:

①若△BDP≌△CPQ，则BD=CP，BP=CQ.

∵AB=10cm，D为AB的中点，∴BD=5cm.

∴5=8-3t，解得t=1.

∴CQ=BP=3cm.

∴a=

=3.

②若△BDP≌△CQP，则BD=CQ，BP=CP.∵BP=3tcm，CP=（8-3t）cm，

∴3t=8-3t，解得t=

.

∵BD=CQ，∴5=

a，

解得a=

.

综上所述，a的值为3或

.

25.【答案】

（1）证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，

又∵AP＝AQ，

∴BP＝CQ，

∵E是BC的中点，

∴BE＝EC.

∴在△BPE与△CQE中，

，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）①证明：

∵∠BEF＝∠C＋∠CQE，∠BEF＝∠BEP＋∠DEF，

∠C＝∠DEF＝45°，

∴∠CQE＝∠BEP，

∵∠B＝∠C，

∴△BPE∽△CEQ；

②解：

由①知△BPE∽△CEQ，

∴

，

∴BE·CE＝BP·CQ，

又∵BE＝EC，

∴BE2＝BP·CQ，

∵BP＝2，CQ＝9，

∴BE2＝2×9＝18，

∴BE＝3

，

∴BC＝2BE＝6

.

26.【答案】

（1）证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC，

在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD（ASA）；

（2）解：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC，

∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°.

∴在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD（ASA），

∴BE＝CD.

∵DH⊥AB，

∴∠DHA＝90°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ADH＝30°，

∴AD＝2AH，

∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；

（3）解：

如解图，作DS⊥BC延长线于点S，作HM∥AC交BC于点M，

解图

∵AC＝6，BE＝2，

∴由

（2）得AH＝4，BH＝2,

与

（1）同理可得BE＝CD＝2，CE＝8，

∵∠SCD＝∠ACB＝60°，

∴∠CDS＝30°，

∴CS＝1，SD＝

，BS＝7，

∵BD2＝BS2＋SD2＝72＋（

）2，

∴BD＝2

，

∵EK∥BD，

∴△CBD∽△CEK，

∴

＝

＝

，

∴CK＝

＝

＝

，EK＝

＝

＝

.

∵HM∥AC，

∴∠HMB＝∠ACB＝60°，

∴△HMB为等边三角形，BM＝BH＝HM＝2，

CM＝CB－BM＝4，

又∵HM∥AC，

∴△HMG∽△KCG，

∴

＝

，

即

＝

，∴MG＝

，BG＝

，EG＝

，

∵EK∥BD，

∴△GBP∽△GEK，

∴

＝

，

∴BP＝

.