求二面角平面角的方法.docx
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求二面角平面角的方法
寻找二面角得平面角得方法
二面角就是高中立体几何中得一个重要内容,也就是一个难点。
对于二面角方面得问题,学生往往无从下手,她们并不就是不会构造三角形或解三角形,而就是没有掌握寻找二面角得平面角得方法。
我们试将寻找二面角得平面角得方法归纳为以下六种类型、
１。
1二面角得相关概念
新教材在二面角中给出得定义如下:
从一条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角、
定义只给出二面角得定性描述,关于二面角得定量刻画还必须放到二面角得平面角中去研究.教材如下给出了二面角得平面角得概念:
二面角得平面角就是指在二面角得棱上任取一点Ｏ,分别在两个半平面内作射线,则为二面角得平面角.
2.二面角得求解方法
对二面角得求解通常就是先定位二面角得平面角,从而将三维空间中得求角问题转化为二维空间并可以通过三角形得边角问题加以解决。
定位出二面角为解题得关键环节,下面就二面角求解得步骤做初步介绍:
一、“找”:
找出图形中二面角,若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角得平面角
二、“证":
证明所找出得二面角就就是该二面角得平面角
三、“算”:
计算出该平面角
由于定位二面角得难度较大,对于求解二面角还有一种思路就就是绕开定位二面角这一环节,通过一些等价得结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角得大小、本文将根据这两种解题思路对二面角得解题方法做一一介绍.
2、１定位二面角得平面角,求解二面角
二面角常见题型中根据所求两面就是否有公共棱可分为两类:
有棱二面角、无棱二面角.对于前者得二面角得定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角得平面角;而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱"而“现棱"再进一步定位二面角得平面角。
一、根据平面角得定义找出二面角得平面角
例1在得二面角得两个面内,分别有与两点、已知与到棱得距离分别为２与4,且线段,试求:
（1）直线与棱所构成得角得正弦值;
（2）直线与平面所构成得角得正弦值.
分析:
求解这道题,首先得找出二面角得平面角,也就就是找出角在哪儿。
如果解决了这个问题,这道题也就解决了一半.
根据题意,在平面内作;在平面内作,,连结、.可以证明,则由二面角得平面角得定义,可知为二面角得平面角、以下求解略、
例1正方体ABＣD—A1B1C1Ｄ1中,求二面角Ａ—BD-C1得大小为 。
例2（２0０6年江苏试题）如图2
（1）,在正三角形ＡＢC
中,Ｅ、F、Ｐ分别就是AＢ、AC、BC上得点,满足AE:
EB=CＦ:
FA=CP:
BP=１:
2.如图2
（2）,将△ＡＥF折起
到△Ａ1EＦ得位置,使二面角A1-EF－Ｂ成直二面角,连
接A1B、A1P、
（Ⅰ）与（Ⅱ）略;（Ⅲ）求二面角B-A1Ｐ—Ｆ得余弦值
taｎ∠ＣOC１＝
分析与略解:
在例1中,图形得对称与谐状态对解题产生了很好得启迪作用,在这里更离不开图形得这种对称与谐性。
若取BP得中点Ｑ,连接EQ,则在正三角形ABC中,很容易证得△BEQ≌△
PEQ≌△ＰＥF≌△AＥF,那么在图2
（2）中,有Ａ1Q=A１Ｆ。
作ＦM⊥Ａ１Ｐ于Ｍ,连接QＨ、QF,则易得△Ａ1ＱP≌△A１FＰ,△QMP≌△ＦＭＰ,所以∠PＭQ=∠PＭＦ＝90o,∠QMF为二面角B-A1Ｐ-Ｆ得平面角,使题解取得了突破性得进展。
设正三角形得边长为3,依次可求得A1Ｐ=,ＱM=FM=,在△QＭF中,由余弦定理得cos∠ＱMF=。
2011广东高考理１８。
（本小题满分13分）
如图５。
在锥体P—ABCD中,ABCD就是边长为1得菱形,
且∠DＡB=60,,PB=2,Ｅ,Ｆ分别就是BＣ,PC得中点、
（1）证明:
AD平面DＥF;
（2）求二面角P-AD—Ｂ得余弦值.
解:
（2）由
（1）知为二面角得平面角,
在中,;在中,;
在中,.
例２在如图3所示得三棱锥P－ABC中,ＡＢ=ＡC＝PB＝ＰC=２,BC=,ＰA=.求二面角P－BＣ－A得大小。
解:
作ＢC中点D,连接PD,AＤ、因PB=PC=AB=AC,知PD⊥BC,AD⊥BＣ,又有面PBC与面AＢC共棱可得∠PDA为二面角.P－BC—A得平面角.而ＡＢ＝２,ＢC＝,易知AＤ=PＤ=,在RＴ∆ＰAD中,
所以二面角Ｐ-BC—A得大小为.
二、根据三垂线定理找出二面角得平面角
此法最基本得一个模型为:
如图３,设锐二面角,过面
内一点P作PA⊥于Ａ,作ＡB⊥l于B,连接PB,由三垂线定理得ＰＢ
⊥l,则∠PBＡ为二面角得平面角,故称此法为三垂线法、
例2 如图,在平面内有一条直线与平面成,与棱成,求平面与平面得二面角得大小。
分析:
找二面角得平面角,可过作;平面,连结、由三垂线定理可证,则为二面角得平面角、
总结:
（1）如果两个平面相交,有过一个平面内得一点与另一个平面垂直得垂线,可过这一点向棱作垂线,连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足得连线与棱垂直,那么就可以找到二面角得平面角.
（2）在应用三垂线定理寻找二面角得平面角时,注意“作"、“连”、“证”,即“作"、“连结”、“证明”.
例3（2006年陕西试题）如图４,平面⊥平面,∩＝l,A∈,B∈,点Ａ在直线l上得射影为Ａ1,点B在ｌ得射影为B1,已知AB=2,AA1＝1,BＢ１=,求:
（Ⅰ）略;（Ⅱ）二面角A1—AＢ-Ｂ1得大小、
分析与略解:
所求二面角得棱为AB,不像图3得那样一瞧就明白得状态,但本质却就是一样得,对本质得观察能力反映得就是思维得深刻性、
作Ａ１E⊥AB１于AB1于E,则可证A１E⊥平面AB1B。
过E作EＦ⊥AB交ＡB于Ｆ,连接A1F,则得Ａ1F⊥AＢ,∴∠Ａ1FＥ就就是所求二面角得平面角、
依次可求得AB1=Ｂ1B=
A１B=,A１E=,Ａ1F=,则在Rt△A1EＦ中,sin∠A1FE=
=
例2.（2009山东卷理） 如图,在直四棱柱ＡBCD-ＡBＣD中,底面ABＣD为等腰梯形,ＡＢ/／CD,ＡＢ=4, BC＝CD=2, ＡＡ=2, E、E、F分别就是棱AＤ、AA、AB得中点。
（1）
证明:
直线EE//平面ＦＣC;
（2）求二面角B－FC－Ｃ得余弦值。
证
（1）略
解
（2）因为AB=4,BC=CD＝２,、Ｆ就是棱ＡB得中点,所以BＦ=BC=CF,△BCF为正三角形,取ＣＦ得中点O,则OＢ⊥CF,又因为直四棱柱ＡＢCＤ-ＡBCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BＯ,所以ＯB⊥平面CＣ1Ｆ,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接ＢP,则∠OPＢ为二面角B—FＣ－C得一个平面角,在△BＣＦ为正三角形中,,在Rt△CC1Ｆ中,△OＰF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B—FＣ-C得余弦值为、
练习2（20０８天津）如图,在四棱锥中,底面就是矩形.
已知、
（Ⅰ）证明平面;
（Ⅱ）求异面直线与所成得角得大小;
（Ⅲ）求二面角得大小。
分析:
本题就是一道典型得利用三垂线定理求二面角问题,在证明AD⊥平面PAＢ后,容易发现平面ＰAB⊥平面AＢCD,点Ｐ就就是二面角P-BD-Ａ得半平面上得一个点,于就是可过点P作棱ＢＤ得垂线,再作平面ABCD得垂线,于就是可形成三垂线定理中得斜线与射影内容,从而可得本解法。
（答案:
二面角得大小为）
例３在正方体中,为面中心,求二面角得大小、
解:
在正方体中,且,
面,故,
又面,可知
过作于,连接则由三垂线（逆）定理可知为二面角得平面角。
不妨令,
于就是,有,,,可得
所以二面角得大小为
三、作二面角棱得垂面,垂面与二面角得两个面得两条交线所构成得角,即为二面角得平面角
例3 如图１,已知为内得一点,于点,于点,如果,试求二面角得平面角.分析:
平面.
因此只要把平面与平面、得交线画出来即可.证明为得平面角,（如图2）、
注意:
这种类型得题,如果过作,垂足为,连结,我们还必须证明,及为平面图形,这样做起来比较麻烦.
例4 已知斜三棱柱中,平面与平面构成得二面角得平面角为,平面与平面构成得二面角为.试求平面与平面构成得二面角得大小.
分析:
作三棱柱得直截面,可得△,其三个内角分别为斜三棱柱得三个侧面两两构成得二面角得平面角.
总结:
对棱柱而言,其直截面与各个侧棱得交点所形成得多边形得各个内角,分别为棱柱相邻侧面构成得二面角得平面角、
例4空间得点P到二面角得面、及棱l得距离分别
为4、3、,求二面角得大小。
分析与略解:
如图５,分别作PA⊥于A,PＢ⊥于B,则易知
l⊥平面PAB,设l∩平面ＰAB＝C,连接PC,则l⊥PC。
分别在Rt△PAC、Rｔ△PBＣ中,PＣ＝,PA=4,ＰB=3,则AC=,BC=、
因为P、A、Ｃ、B四点共圆,且ＰC为直径,设PC＝２R,二面角得大小为。
分别在△PＡB、△ABC中,由余弦定理得
AB2=AＣ2+BC2－2·ＡC·BCcoｓ=ＰA2+PＢ2－２·PA·PBｃos（）,
则可解得ｃｏｓ=,=120o,二面角得大小为1２0o。
例5如图7,在正三棱柱中,截面⊥侧面,若,求平面与平面所成二面角（锐角）得大小、
解:
设.因为面与面重合,由题意面⊥面,而为面与面相交于棱上一点且,所以面为所求二面角得一垂面,为所求二面角得平面角.
在正三棱柱中,,可知
故所求二面角得大小为、
四、平移平面法（无棱得一种）
例５如图,正方体中,为得中点,为上得点,且.设正方体得棱长为,求平面与底面构成得锐角得正切.
分析:
本题中,仅仅知道二面角棱上得一点,在这种情况下,寻找二面角得平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成得角得大小得原理,如果能把二面角中得一个平面平移,找出辅助平面与另一个平面得交线,就可以作出二面角得平面角、有了平面角之后,只需要进行常规构造三角形与解三角形得计算,就可以解决问题了.
如图,过点作与相交于点,过点作,与相交于点.可证平面平面、这样,求平面与平面得二面角得平面角就转化为求平面与平面得二面角得平面角。
显然为这两个平面得交线,过点作,为垂足,连结,可证.则为本题要寻找得二面角。
例６（本题关键在利用平移棱得垂线进行解题）
在正三棱柱中,就是得中点,,求二面角得大小、
解:
作且交BD于Ｆ,则AE⊥平面,连接,,并记它们得交点为O连接OF,由,知、
由知OF⊥,OＥ⊥,而,RT∆∼ＲＴ∆,
因此故有
可得
故二面角得大小为。
例7在棱长为１得正方体中,E就是BＣ得中点,试求面与平面所成二面角得大小.
解:
取中点Ｆ,连ＦＤ,FＢ;
取AD中点K连接A₁Ｋ,ＢK,A₁B。
显然,DE₁BF为平行四边形。
因为A₁Ｋ//ＦD,ＫB//DE,知平面A₁KB//平面DEB₁F。
取A₁B中点O,连接ＯK,OＡ,
由A₁K=BK,A₁A＝BA知,
OK⊥A₁B,OA⊥A₁B故∠AOK为二面角得平面角.
可得
故平面与平面所成二面角得大小为、
五、找垂面,作垂线
例6如图,正方体中,为棱得中点,求平面与平面所构成得锐二面角得正切.
分析:
平面与二面角得一个面垂直,与另一个平面相交,过点作,垂足为,过作,交于点,连结,由三垂线定理可证,则为二面角得平面角.
总结:
当一个平面与二面角得一个平面垂直,与另一个平面相交时,往往过这个面上得一点作这两个垂直平面交线得垂线,再过垂足作二面角棱得垂线。
根据三垂线定理即可证明,并找出二面角得平面角.
再如图,要找所构成得二面角得平面角,可找平面,且,,过上任何一点作,垂足为,过作,垂足为,连结,可证为得平面角.
六、根据特殊图形得性质找二面角得平面角
1.三线合一
例7 如图,空间四边形中,,,,、试求二面角得余弦值.
分析:
如图1,,,则△与△为等腰三角形.过作,垂足为,连结.根据三线合一,且为中点,可证,则为二面角得平面角.
２。
全等三角形
例８ 如图,已知空间四边形,,,,。
试求得余弦值、
分析:
过作,垂足为,连结.根据已知条件,△与△全等,可证,则为二面角得平面角.
3.二面角得棱蜕化成一点
例9如图,四棱锥中,与与面垂直,△为正三角形、
（1）若时,求面与面得夹角;
（2）若时,求面与面得夹角.
分析:
如图,面与面得交线蜕化成一点,但面与面与面相交。
如果三个平面两两相交,它们可能有三种情况:
（１）交线为一点;
（2）一条交线;（3）三条交线互相平行.在图1中,两条交线与互相平行,所以肯定有过且平行于得一条交线.
可过作,平面与平面得交线即为.过作于,过作于.可证,,则为面与面得夹角.
如图,与不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现得三种情况,这三个面得交线为一点、延长、相交于点,连结、即为平面与平面得交线,通过一些关系可证为平面与平面得夹角、
通过以上分析与举例说明,寻找二面角得平面角得方法就比较容易了、只要我们勤动脑,善观察,多总结,抓住问题得特征,找出适当得方法,关于二面角得平面角得问题就会迎刃而解.
七、面积法（不作二面角求法）
如图1,设二面角C－BD—C1得大小为,则在Ｒt△COＣ1中,cｏｓ,在某些情况下用此法特别方便.
例5如图6,平面外得△A１Ｂ1C1在内得射影就是边长为1得正三角形ＡＢC,且AＡ１=2,BB1＝３,ＣC1=4,求△A１Ｂ1C1所在得平面与平面所成锐二面角得大小、
D
A
M
图6
E
C
B
C1
A1
B1
H
G
A
C
B
E
P
分析与略解:
问题得情境很容易使人想到用面积法,分别在BＢ1、CＣ1取BD＝CE=ＡA1,
则△A1B１C1≌△A1DＥ,可求得Ａ1B=,A1C1=,B1C1＝,所以等腰△Ａ1B１Ｃ１得面积为,又正△ＡBC得面积为。
设所求二面角得大小为,则cos=
例4、（2０08北京理）如图,在三棱锥中,,,
.
（Ⅰ）求证:
;
（Ⅱ）求二面角得大小;
分析:
本题要求二面角B—ＡP-Ｃ得大小,如果利用射影面积法解题,不难想到在平面ABＰ与平面AＣＰ中建立一对原图形与射影图形并分别求出Ｓ原与S射
于就是得到下面解法。
解:
（Ⅰ）证略
（Ⅱ）,,.
又,.
又,即,且,
平面。
取中点.连结、
、
就是在平面内得射影,
.
∴△AＣE就是△ABＥ在平面ACＰ内得射影,
A1
D1
B1
C1
E
D
B
C
A
图5
于就是可求得:
,则,
设二面角得大小为,则
∴二面角得大小为
练习4:
如图５,E为正方体ABＣD－A1B1C１D１得棱CＣ1得中点,求平面AB1E与底面A1B１C１D1所成锐角得余弦值。
分析 平面AB1E与底面A1B1C1Ｄ1交线即二面角得棱没有给出,要找到二面角得平面角,则必须先作两个平面得交线,这给解题带来一定得难度。
考虑到三角形ＡB１Ｅ在平面Ａ1B1Ｃ1D１上得射影就是三角形Ａ１Ｂ1C1,从而求得两个三角形得面积即可求得二面角得大小。
（答案:
所求二面角得余弦值为coｓθ=）。
例10求正四面体任意两个面所成二面角得大小。
解:
如图１3,正四面体Ｓ-AＢC,由正四面体得对称性,不妨求侧面与底面所成二面角得大小、易知
而S得射影为得中心,所以
于就是有
故正四面体任意两面所成二面角得大小为、
例11如图14,在正方体中,E为CＣ₁中点,Ｆ在BB₁上,且BF=BB₁,求平面A₁EF在底面AＢCD所成二面角得余弦值。
解:
如图14所示,在正方体中,。
由射影面积公式知故所求二面角得余弦值为。
八、将无棱二面角转化为有棱二面角
直接作出无棱二面角得棱,将无棱二面角转化为有棱二面角,按有棱二面角来处理,作棱有两种常用得方法:
①作交线,由交点得棱;②作平行线,即为棱.
例3（2008湖南）如图所示,四棱锥P-ＡＢCD得底面ABCＤ就是边长为1得菱形,∠BCD=60°,E就是CD得中点,PＡ⊥底面ABCD,PA=２、
（Ⅰ）证明:
平面PBＥ⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面ＰAD与平面PBE所成二面角（锐角）得大小.
分析:
本题得平面PAD与平面PBE没有明确得交线,依本法显然要补充完整（延长ＡD、BE相交于点Ｆ,连结ＰF.）再在完整图形中得PF、上找一个适合得点形成二面角得平面角解之、（Ⅰ）证略
解:
（Ⅱ）延长AD、ＢＥ相交于点Ｆ,连结PF.
过点A作AH⊥ＰＢ于H,由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PＢＥ.
在Ｒt△ABF中,因为∠BAF＝60°,
所以,AF=2AＢ=2=ＡＰ.
在等腰Rt△ＰAＦ中,取PF得中点G,连接AG、
则AG⊥PF、连结HG,由三垂线定理得逆定理得,
PＦ⊥HG、所以∠AGH就是平面ＰAD与平面PBE所成二面角得平面角（锐角）。
在等腰Rｔ△ＰAF中,
在Rｔ△PAB中,
所以,在Ｒt△AHG中,
A
C
B
B1
C1
A1
L
故平面ＰAD与平面PＢE所成二面角（锐角）得大小就是
练习3已知斜三棱柱ABＣ—A１B1C１得棱长都就是a,侧棱与底面成60０得角,侧面ＢＣＣ1Ｂ1⊥底面ABC、
（１）求证:
AC1⊥ＢC;
（２）求平面ＡB1C1与平面AＢC所成得二面角（锐角）得大小。
提示:
本题需要补棱,可过Ａ点作CB得平行线L
（答案:
所成得二面角为４5Ｏ）
如图11中只现出两个局部半平面得一个公共点P,图中没有给出二面角得棱、此时,若在二面角得两个半平面内各存在一条直线且相互平行,则过P分别作这两条直线得垂线PQ与PＲ,则∠QPR就就是二面角得平面角、
例9如图１２,Ｐ-ABCD为正四棱锥,边长为,求平面PAＢ与平面ＰCD所成二面角得余弦值。
解:
如图,过P点作,则、
故在Ｐ－ABＣD中有、
所以,。
作AB中点Ｅ,CＤ中点F.连接PＥ,PＦ.易知PE⊥AB,ＰE⊥,又PF⊥CD,PＦ⊥,可知∠ＥPF为所求二面角得平面角.
由条件PＥ=PＦ＝,得到
故平面PAB与平面PCD所成二面角得余弦值为。
九、向量法
向量法解立体几何中就是一种十分简捷得也就是非常传统得解法,可以说所有得立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点得坐标,然后将几何图中得线段写成用坐标法表示得向量,进行向量计算解题。
若二面角两个半平面,得法向量分别为且知道二面角为锐角（钝角）,则
.
定理１设二面角为,
则,有
文给出另一结论:
定理2如图１９,空间任一条直线L,A,B就是直线L上得两个点,M就是空间任一点,MN⊥L于N,则
利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角,避免产生二面角得
平面角与其法向量夹角得误判,同时又避免了对垂足M,N坐标得判断、
例14如图20,已知正方形ABCD与矩形ACEF坐在平面相垂直,,Ｍ就是线段EF中点,求二面角Ａ-DF-B得大小。
解:
如图建立空间直角坐标系
则
。
作AＭ⊥DF于M,BＮ⊥ＤＦ得延长线于N,则所成得角得大小与二面角A-DF-B得大小相等。
故二面角A—DF-B得大小为.
例1２如图15,在矩形ABCＤ外存在一点Ｐ,使PA⊥面ABCD,PA＝PＢ=1,ＢＣ＝2、求二面角B—PC—Ｄ得大小。
解:
由题意建立如图空间直角坐标系,则Ａ（0,0,０）Ｐ（0,0,1）B（１,0,0）Ｃ（1,2,0）D（0,2,0）,设面PAC得法向量为,面PCＤ得法向量
则有由
及
得
注意到Ｂ-ＰC－D为钝角,故B-PC—Ｄ得大小为。
例4:
（2009天津卷理）如图,在五面体ABCDEF中,FA平面AＢＣD,ＡＤ／/BC/／ＦE,ABAＤ,M为EC得中点,AＦ=AB=BC=FＥ=AD
（I） 求异面直线ＢＦ与DE所成得角得大小;
（II） 证明平面AＭD平面CDE;
求二面角A-CD-Ｅ得余弦值、
现在我们用向量法解答:
如图所示,建立空间直角坐标系,以点为坐标原点。
设依题意得
（I）
所以异面直线与所成得角得大小为、
（II）证明:
,
（III）
又由题设,平面得一个法向量为
练习５、（２00８湖北）如图,在直三棱柱中,平面侧面、
（Ⅰ）求证:
;
（Ⅱ）若直线与平面所成得角为,二面角得大小为,试判断与得大小关系,并予以证明。
分析:
由已知条件可知:
平面ABＢ1A1⊥平面BCＣ1B1⊥平面ＡBC于就是很容易想到以Ｂ点为空间坐标原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示得向量,先求出二面角得两个半平面得法向量,再利用两向量夹角公式求解。
（答案:
且）
总之,上述五种二面角求法中,前三种方法可以说就是三种增添辅助线得一般规律,后两种就是两种不同得解题技巧,考生可选择使用、
十、其她（有关二面角得最值问题等）
求最值就是代数、三角、解几得“热点”问题,殊不知立体几何中也有引人入胜得最值问题。
图7
E
D
C
B
A
l
例6 二面角－l－得大小就是变量,点B、C在ｌ
上,A、D分别在面、内,且AD⊥ＢC,AＤ与面成角,若
△AＢＣ得面积为定值S,求△BCＤ面积Ｑ得最大值.
分析与略解:
如图9,作ＡE⊥BＣ于Ｅ,连ＤE,则由ＡD⊥BC得
ＢC⊥平面ADＥ,则ＤＥ⊥ＢC,∠ＡED＝,∠ADＥ=。
在△AED中,由正弦定理得,所以,
则当时,有Qmaｘ=2Ｓ。
△ＢCＤ与△ＡＢＣ有公共得底边BC,则它们得面积比等于对应高之比,这就是简单得平几知识,但用在这里却发挥了以简驭繁得奇妙功能。
三角函数与正弦定理给题目注入了新得活力、
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