江苏省高考数学二轮复习讲义专题三 第一讲 小题考法解析几何中的基本问题.docx

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江苏省高考数学二轮复习讲义专题三第一讲小题考法解析几何中的基本问题

2019年4月

[江苏卷5年考情分析]

小题考情分析

大题考情分析

常考点

1.直线与圆、圆与圆的位置关系（5年4考）

2.圆锥曲线的方程及几何性质（5年5考）

　　主要考查直线与椭圆（如2014年、2015年、2017年、2018年）的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时也考查直线与圆（如2016年），常与向量结合在一起命题.

偶考点

直线的方程、圆的方程

第一讲小题考法——解+析几何中的基本问题

考点

（一）直线、圆的方程

主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.

[题组练透]

1．已知点P（3,2）与点Q（1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为____________．

详细分析：

由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝1.又直线l经过PQ的中点（2,3），所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.

答案：

x－y＋1＝0

2．（2018·南通一模）已知圆C过点（2，），且与直线x－y＋3＝0相切于点（0，），则圆C的方程为____________．

详细分析：

设圆心为（a，b），

则

解得a＝1，b＝0，r＝2.

即所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝4.

答案：

（x－1）2＋y2＝4

3．（2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组，表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为____________．

详细分析：

作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r，则圆心C（3－r,0），且它与直线x－y＋3＝0相切，所以＝r，解得r＝2，所以面积最大的圆C的标准方程为（x－1）2＋y2＝4.

答案：

（x－1）2＋y2＝4

[方法技巧]

1．求直线方程的两种方法

直接法

选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果

待定

系数法

先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数

2.圆的方程的两种求法

几何法

通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程

代数法

用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程

考点

（二）直线与圆、圆与圆的位置关系

　主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.

[典例感悟]

[典例]　

（1）（2018·无锡期末）过圆x2＋y2＝16内一点P（－2,3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．

（2）（2018·南通、泰州一调）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－4,0），B（0,4），从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．

[详细分析]　

（1）设O到AB的距离为d1，O到CD的距离为d2，则由垂径定理可得d＝r2－2，d＝r2－2，由于AB＝CD，故d1＝d2，且d1＝d2＝OP＝，所以2＝r2－d＝16－＝，得AB＝，从而四边形ACBD的面积为S＝AB×CD＝××＝19.

（2）法一：

（几何法）因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P（a，a＋4），C（x1，y1），D（x2，y2），所以PC的方程为x1x＋y1y＝4，PD的方程为x2x＋y2y＝4，将P（a，a＋4）分别代入PC，PD的方程，得则直线CD的方程为ax＋（a＋4）y＝4，即a（x＋y）＝4－4y，所以直线CD过定点N（－1,1），

又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上（除去原点）．又因为以ON为直径的圆的方程为2＋2＝，所以AM的最大值为＋＝3.

法二：

（参数法）因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P（a，a＋4），同法一可知直线CD的方程为ax＋（a＋4）y＝4，即a（x＋y）＝4－4y，得a＝.又因为O，P，M三点共线，所以ay－（a＋4）x＝0，得a＝.因为a＝＝，所以点M的轨迹方程为2＋2＝（除去原点），所以AM的最大值为＋＝3.

　　[答案]　

（1）19　

（2）3

[方法技巧]

解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略

（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

（2）解决直线与圆相关的最值问题：

一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．

（3）对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．

[演练冲关]

1．已知圆M：

（x－1）2＋（y－1）2＝4，直线l：

x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围是________．

详细分析：

由题意知，直线l与圆M相离，所以点A在圆M外．设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC＝60°，从而∠MAQ≥30°.因为MQ＝2，所以MA≤4.设A（x0,6－x0），则MA2＝（x0－1）2＋（6－x0－1）2≤16，解得1≤x0≤5.

答案：

[1,5]

2．（2018·苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：

x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：

（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________．

详细分析：

设圆C1上存在点P（x0，y0）满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q（y0，x0），

则故只需圆x2＋（y－1）2＝r2与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1有交点即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得－1≤r≤＋1.

答案：

[－1，＋1]

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3,0）在圆C：

x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________.

详细分析：

圆C的标准方程为（x－m）2＋（y－2）2＝32，圆心为C（m,2），半径为4，当△ABC的面积的最大值为16时，∠ACB＝90°，此时C到AB的距离为4，所以4≤CP＜4，即16≤（m－3）2＋（0－2）2＜32，解得2≤|m－3|＜2，即m∈（3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2）．

答案：

（3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2）

4．（2018·南京、盐城、连云港二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：

（x＋4）2＋（y－a）2＝16上的两个动点，且AB＝2.若直线l：

y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，则实数a的值为________．

详细分析：

法一：

设AB的中点为M（x0，y0），P（x，y），则由AB＝2，得CM＝＝，即点M的轨迹为（x0＋4）2＋（y0－a）2＝5.又因为＋＝，所以＝，即（x0－x，y0－y）＝，从而则动点P的轨迹方程为（x＋2）2＋2＝5，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹（圆）相切，则＝，解得a＝2或a＝－18.

法二：

由题意，圆心C到直线AB的距离d＝＝，则AB中点M的轨迹方程为（x＋4）2＋（y－a）2＝5.由＋＝，得2＝，所以∥.如图，连结CM并延长交l于点N，则CN＝2CM＝2.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN＝2，所以点C到直线l的距离为＝2，解得a＝2或a＝－18.

答案：

2或－18

考点（三）

圆锥曲线的方程及几何性质

　　主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.

[题组练透]

1．（2018·南通、泰州一调）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．

详细分析：

抛物线的焦点F（2,0），双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取y＝x，即3x－4y＝0，所以焦点F到渐近线的距离为＝.

答案：

2．（2018·苏北四市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．

详细分析：

由题意得，A（a,0），B1（0，－b），B2（0，b），F（c,0），所以＝（c，－b），＝（－a，－b），因为B2F⊥AB1，所以·＝0，即b2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，又椭圆的离心率e∈（0,1），所以e＝.

答案：

3．（2017·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．

详细分析：

由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为.

不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，

则F1（－2,0），F2（2,0），

故四边形F1PF2Q的面积是

|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.

答案：

2

4．（2018·常州期末）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：

x＋y＋1＝0与双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．

详细分析：

双曲线的渐近线分别为y＝x，y＝－x，依题意有－>－1，即b1，所以e的取值范围是（1，）．

答案：

（1，）

[方法技巧]

应用圆锥曲线的性质的两个注意点

（1）明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．

（2）在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．

[必备知能·自主补缺]

（一）主干知识要记牢

1．直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系

（1）平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

（2）重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；

（3）相交⇔A1B2－A2B1≠0；

（4）垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.

2．直线与圆相交

（1）几何法

由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2.

（2）代数法

设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，M（x1，y1），N（x2，y2），将直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出x1＋x2和x1·x2，则|MN|＝·.

3．判断两圆位置关系时常用几何法

即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r（R>r）的关系来判断两圆位置关系．

（1）外离：

O1O2>R＋r；

（2）外切：

O1O2＝R＋r；

（3）相交：

R－r

（4）内切：

O1O2＝R－r；

（5）内含：

0≤O1O2

4．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系

（1）在椭圆中：

a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；

（2）在双曲线中：

c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.

（3）双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．

（二）二级结论要用好

1．过圆O：

x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.

2.

过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为A，B（求切线时要注意斜率不存在的情况）如图所示，则

（1）P，B，C，A四点共圆，且该圆的直径为PC；

（2）该四边形是有两个全等的直角三角形组成；

（3）cos＝sin＝；

（4）直线AB的方程可以转化为圆C与以PC为直径的圆的公共弦，且P（x0，y0）时，直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2.

3．椭圆焦点三角形的3个规律

设椭圆方程是＋＝1（a>b>0），焦点F1（－c,0），F2（c,0），点P的坐标是（x0，y0）．

（1）三角形的三个边长是PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率．

（2）如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan.

（3）椭圆的离心率e＝.

4．双曲线焦点三角形的2个结论

P（x0，y0）为双曲线－＝1（a>0，b>0）上的点，△PF1F2为焦点三角形．

（1）面积公式

S＝c|y0|＝r1r2sinθ＝（其中PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ）．

（2）焦半径

若P在右支上，PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若P在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－ex0＋a.

5．抛物线y2＝2px（p>0）焦点弦AB的3个结论

（1）xA·xB＝；

（2）yA·yB＝－p2；

（3）AB＝xA＋xB＋p.

[课时达标训练]

A组——抓牢中档小题

1．若直线l1：

mx＋y＋8＝0与l2：

4x＋（m－5）y＋2m＝0垂直，则m＝________.

详细分析：

∵l1⊥l2，∴4m＋（m－5）＝0，∴m＝1.

答案：

1

2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________．

详细分析：

因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a,0），且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝9.

答案：

（x－2）2＋y2＝9

3．（2018·镇江期末）已知双曲线－y2＝1的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．

详细分析：

因为抛物线的焦点为（－3,0），即为双曲线的左焦点，所以a2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x＝.

答案：

x＝

4．已知直线l过点P（1,2）且与圆C：

x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．

详细分析：

当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k（x－1）＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为S△ABC＝CA·CB·sin∠ACB＝1，所以×××sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以＝1，解得k＝，所以直线方程为3x－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.

答案：

3x－4y＋5＝0或x＝1

5．已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为__________．

详细分析：

因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

答案：

＋＝1

6．（2018·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x－2）2＋（y－2）2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．

详细分析：

圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称圆的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝1，由题意得，圆心（2，－2）到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－.

答案：

－

7．已知以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M，N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e＝________.

详细分析：

因为圆的半径r＝c，在Rt△F1F2M中，|F1F2|＝2c，|F2M|＝c，|F1M|＝c，所以2a＝|F1M|＋|F2M|＝（＋1）c，离心率e＝＝＝－1.

答案：

－1

8．（2018·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1）2＋（y－a）2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．

详细分析：

由题意知△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝4，AB＝4，

∴圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝2，

∴＝2，解得a＝－1.

答案：

－1

9．（2018·扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．

详细分析：

由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋（y－3）2＝4，所以圆心C（0,3），半径r＝2.因为双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即>2，即3a>2c，即e＝<，又e>1，故双曲线离心率的取值范围是.

答案：

10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：

x2＋（y－3）2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．

详细分析：

设∠PCA＝θ，所以PQ＝2sinθ.又cosθ＝，AC∈[3，＋∞），所以cosθ∈，所以cos2θ∈，sin2θ＝1－cos2θ∈，所以sinθ∈，所以PQ∈.

答案：

11．（2018·南京、盐城、连云港二模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：

x2－＝1（b＞0）的两条渐近线与圆O：

x2＋y2＝2的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为________．

详细分析：

由题意知，双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为A，B，C，D.不妨设点B的坐标为（m，n），则解得m2＝，而矩形ABCD的面积为2m×2n＝4mn＝4bm2＝＝b，解得b＝.

答案：

12．（2018·苏锡常镇调研）已知直线l：

x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：

（x－2）2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．

详细分析：

法一：

由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切．

由题意得A（－2,0），C（2,0）．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝；若圆D与圆C内切，则DA－DC＝.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线－＝1上，即14x2－2y2＝7.又点D在直线l上，由得12x2－8x－15＝0，解得xD＝或xD＝－.所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.

法二：

由题意可得A（－2,0），设P（a，a＋2），则AP的中点M，AP＝，故以AP为直径的圆M的方程为2＋2＝2.由题意得圆C与圆M相切（内切和外切），故＝，解得a＝或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为.

答案：

13．已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．

详细分析：

设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2（FA＋AH）＝2（2a－F1A＋AH），因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为，，所以△FAB的面积为·2c·，由条件得·2c·＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝.

答案：

14．已知A，B是圆C1：

x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________．

详细分析：

因为A，B是圆C1：

x2＋y2＝1上的动点，AB＝，所以线段AB的中点H在圆O：

x2＋y2＝上，且|＋|＝2||.因为点P是圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝1上的动点，所以5－≤||≤5＋，即≤||≤，所以7≤2||≤13，从而|＋|的取值范围是[7,13]．

答案：

[7,13]

B组——力争难度小题

1．已知点P是圆C：

x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：

3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．

详细分析：

由题意知圆C的标准方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝16，所以圆心（－2,3）到直线l的距离d＝＝∈（4,5），故满足题意的点P有2个．

答案：

2

2．（2017·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．

详细分析：

双曲线的右顶点为A（a,0），一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝.

答案：

3．（2018·南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k（x－3）上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为________．

详细分析：

设点P（x，y），由＝3，可得Q.又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得2＋2＝1，即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在圆x2＋（y－3）2＝9上，又在直线y＝k（x－3）上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d＝≤3，解得－≤k≤0.

答案：

－

4．（2017·山东高考）在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1（a>0，b>0）的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p>0）交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

详细分析：

设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知

|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，

由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.

联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，

所以y1＋y2＝，所以＝p，

即＝，故＝，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.

答案：

y＝±x

5．设椭圆C：

＋＝1（a>b>0）恒过定点A（1,2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________.

详细分析：

由已知得＋＝1，因为准线方程为x＝，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝，即d2＝＝＝＝＝＝a2－5＋＋9≥2＋9＝4＋9＝（＋2）2，当且仅当a2＝5＋2时取等号．所以d≥＋2，即dmin＝＋2.

答案：

＋2

6．已知圆C：

（x－2）2＋y2＝4，线段EF在直线l：

y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·≤0，则线段EF长度的最大值是________．

详细分析：

过点C作CH⊥l于H，因为C到l的距离CH＝＝>2＝r，所以直线l与圆C相离，故点P在圆C外．因为·＝||||cos∠APB≤0，所以cos∠APB≤0，所以≤∠APB<π，圆C上存在两点A，B使得∠APB∈，由于点P在圆C外，故当PA，PB都与圆C相切时，∠APB最大，此时若∠APB＝，则PC＝r＝2，所以PH＝＝＝，由对称性可得EFmax＝2PH＝.