从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导孙.docx
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从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导孙
从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导
讲稿
湖塘中心小学孙国祥
㈡、方程和函数思想
方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是应用数学解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，我将二者放在一起进行讨论。
1、方程与函数思想在教材中的具体应用。
方程思想：
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：
一个是含有未知数，另一个是必须是等式。
经常有小学老师有这样的疑问：
判断χ=0和χ=1是不是方程？
根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已知与未知的对立统一。
函数思想：
集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系ƒ，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝ƒ（χ）。
其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域，y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：
Ｖ＝πr²h。
半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。
函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。
函数思想体现了运动变化的观点。
2、方程和函数的关系：
①方程和函数的区别。
从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。
算术研究具体的确定的常数以及它们之间的数量关系。
方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系。
函数研究变量之间的数量关系。
方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是它们有本质的区别。
如二元一次不定方程中的未知数往往是常量，而一次函数中的自变量和自变量一定是变量，因此二者有本质的不同。
方程必须有未知数，未知数往往是常量，而且一定用等式的形式呈现，二者缺一不可，如2χ－4＝6。
而函数至少要有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应，呈现的形式可以有解析式、图象法和列表法等，如集合Ａ为大于等于1、小于等于10的整数，集合Ｂ为小于等于20的正偶数。
那么两个集合的数之间的对应关系可以用y＝2χ表示，也可以用图象表示，还可以用如下的表格表示。
χ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
人们运用方程思想，一般关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解，从而解决数学问题和实际问题。
人们运用函数思想，一般更加关注变量之间的对应关系，通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。
方程中的未知数往往是静态的，而函数中的变量则是动态的。
方程已经有3000多年的历史，而函数概念的产生不过才300年。
②方程和函数的联系。
方程和函数虽然有本质的区别，但是它们也有密切的联系。
如二元一次不定方程aχ＋by＋c＝0和一次函数y＝kχ＋b之间。
如果方程的解在实数范围内，函数的定义域和值域都是实数。
那么方程aχ＋by＋c＝0经过变换可转化为y＝―
x―
在直角坐标系里画出来的图象都是一条直线。
因此，可以说一个二元一次方程对应一个一次函数。
如果使一次函数y＝kχ＋b中的函数值等于0，那么一次函数转化为kχ＋b＝0，这就是一元一次方程。
因此，可以说求这个一元一次方程的解，实际上就是求使函数值为0的自变量的值，或者说求一次函数图象与χ轴交点的横坐标的值。
一般地，就初等数学而言，如果令函数值为0，那么这个函数就可转化为含有一个未知数的方程；求方程的解，就是求使函数值为0的自变量的值，或者说求函数图象与χ轴交点的横坐标的值。
3、方程与函数思想在数学竞赛题中的具体应用。
所谓方程的思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系中找到相等关系，用数学符号化的语言将相等关系转化为方程（组）或不定方程，然后解方程（组）或不定方程从而使问题获解。
方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的问题中已知量和未知量这间的数量关系转化为方程，从而使问题得到解决。
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
把未知数当已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算，这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志，与算数方法相比，更体现顺向思维与逻辑推理的特质。
一般来说，当理解题意的过程中有明显的符号化的等量关系的时候均可以考虑将某个未知量予以赋值或代换赋值从来与已知量之间建立一种等式后用方程的思想方法求解。
特别是有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。
此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母）[当然这也是一种赋值思想的体现]，并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。
利用列方程求解应用题，能使数量关系清晰明了、但小学生对繁杂的方程解法的掌握应是关键。
所以这类思想的培养之初，还得进行必要的解方程能力的训练。
案例1：
商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。
问：
胶鞋有多少双？
分析与解：
此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。
设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。
胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。
解：
设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。
7.5x-5.9（46-x）=10，
7.5x-271.4+5.9x=10，
13.4x=281.4，
x=21。
答：
胶鞋有21双。
在案例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有x双；像那样，直接设题目所求的未知数为x，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法叫间接设元法。
具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。
在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。
案例2：
一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。
问：
共有多少人参加测验？
分析与解：
设有x人参加测验。
由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）
=5+8+6×（x-16）
=6x-83，
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，
3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，
=3×（x-8）+24+36+10
=3x+46。
由此可得方程
6x-83=3x+46，
3x=129，
x=43（人）。
模拟练习1：
1.某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。
若每座住宅使用红砖80米3，灰砖30米3，那么，红砖缺40米3，灰砖剩40米3。
问：
计划修建住宅多少座？
解：
直接设，计划修建住宅x座。
80x-40=（30x+40）×2x=6
2.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。
问：
最初有多少个女生？
解：
设,最初有X名女生。
[2（x-10）-9]×5=x-10x=15
3.大、小两个水池都未注满水。
若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。
已知大池容积是小池的1.5倍，问：
两池中共有多少吨水？
解：
设，小池的容积是X吨，则大沲注满水为1.5x吨，由两沲水共有水量可得方程：
1.5x+5=x+30x=50大沲：
50+30=80（吨）
4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。
在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。
问：
男孩、女孩各有多少人？
解：
设，女孩子有X人。
（x-1）×2-1=x+5x=8男=（8-1）×2=14
解二：
设有X个男孩子，因为每个人看不到自己的帽子，根据男孩子看的情况，有女孩（X-5-1）个，再根据女孩看的情况，可列方程X=[（X-5-1）-1]×2
6.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。
问：
教室里原有多少个学生？
解：
设，教室里原有女生X人。
1.5（x-10）=4（x-10-10）x=26男生=1.5（x-10）=24人共有：
26+24=50人
7.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。
这群羊原来有多少只？
解：
设，这群羊原来有x+1只。
9/（9+7）x+1=7/（7+5）xx=48则x+1=49只
接下来我们来看这样一个案例：
案例3：
学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？
分析与解：
设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。
这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。
当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。
因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。
所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。
在方程7x+4y=66中，对于x的任何值，都可以得到y=
，也就是说，方程7x+4y=66有无数个解。
由于这类方程的解的不确定性，所以称这类方程为不定方程。
根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，有时甚至无解。
例如：
x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解；
3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；
3x+2y=1没有解。
由上看出，只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。
限于小学生学到的知识的有限性，寻找第一个解的方法更多的要依赖“拼凑”。
模拟练习2：
1．求不定方程5x+3y=68的所有整数解。
解：
①X=13y=1；②X=7y=11；③X=10y=6；④X=1y=21；⑤X=4y=16。
共五组解。
2．用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？
解：
设“3元一个”买了X个，“7元一个”买了Y个。
根据题意得：
3X+7Y=100
得：
①X=31y=1；②X=24y=4；③X=17y=7；④X=10y=10；⑤X=3y=13。
共五组解。
3．五年级一班的43名同学去划船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少条？
解：
设大船有x条，小船有y条，根据题意得：
7x+5y=43
y=（43-7x）÷5
得：
X=4y=3，所以有大船有4条，小船有3条。
用方程的思想还可以解决很多数学竞赛专例。
如位值原则等。
案例4：
有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
分析与解：
由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。
设这个两位数为x。
由题意得到
（10x+1）-（100+x）=666，
10x+1-100-x=666，
10x-x=666-1+100，
9x=765，
x=85。
原来的两位数是85。
案例5：
将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
分析与解：
设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。
若
由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。
经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。
案例6：
无限循环小数0.777…和0.747474…如何化成分数？
你能发现什么规律？
分析与解：
根据小数和分数的关系，有限小数化分数比较容易进行。
由于无限小数的特点，不能直接用有限小数化分数的方法进行。
根据循环小数的循环节不断重复出现的特点，循环节是几位数字，就把这个循环小数乘10的几次方；它的左起第一个循环节就变成了整数部分，而循环小数部分不会改变；二者的小数部分相同，二者的差为循环节变成的整数部分。
因此，可利用差倍问题的原理，列方程解决问题。
如设χ＝0.777…，那么10χ＝7.777…,求它们的差10χ－χ＝7，解方程，χ＝
，所以0.777…＝
。
同理可得，100χ－χ＝74，χ＝
，所以0.747474…＝
。
最后用化归的思想得出无限循环小数化分数的规律：
把循环节作为分子，循环节有几位数字，分母就是由几个9组成的几位数。
模拟练习3：
1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。
求原来的两位数。
解：
设原来的两位数为X。
（100+X）+（10X+1）=970X=79
2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。
解：
设原来的三位数为X。
（10X+3）-（1000+X）=2351X=372
3.一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
解：
设原来两位数的两个数字分别为a,b。
根据题意得：
（a+b）×5=10a+b+6
b=（6+5a）÷4
得：
a=2，b=4；a=6，b=9。
经检验，两组解均符合题意。
所以原来的两位数为24或69。
4.一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。
解：
设原来两位数的两个数字分别为a,b。
根据题意得：
（a+b）×6=10a+b-9
a=（9+5b）÷4
得：
a=6，b=3；a=11，b=7。
经检验，a=11，b=7不符合题意。
所以原来的两位数为63。
5.一个三位数，抹去它首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1，求这个三位数。
解：
设原来三位数的百位数字为a，后两位值为X。
根据题意得：
4X=100a+X+1
X=（100a+1）÷3
得a=2，X=67。
所以这个三位数为267。
所谓函数的思想是指以函数概念为依托（并不涉及函数），通过抓住数量关系中不变的量。
从而即刻联系出另外变化的量之间具体问题中变量与变量之间的关系的数学思想方法。
函数的思想是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。
一般来说，在计算三角形的面积时，根据高相同（不变量），马上可以运用函数的思想推出面积与底边（变化的量）成正比；在计算行程问题时，根据时间相同（不变量），马上可以推出路程与速度（变化的量）成正比等，而这种需要构造一种数量之间的变化联系的情形下时，均可以考虑运用狭义的函数的思想方法。
先讲讲函数思想在形体中的应用。
案例7：
如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。
求三角形DEF的面积。
分析与解：
想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。
连结FB（见右上图）。
因为CA=AF，利用高相同，面积与底边成正比的函数思想，推出三角形ABC与三角形ABF等底等高，面积相等。
因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。
由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米2）。
同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。
所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70（厘米2）。
模拟练习4：
1.如下左图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。
若三角形EDF的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？
提示：
如右上图，S△ACF=S△BCF，
S△BFD=S△EFD=S△CFE。
2.如下中图所示，四边形ABCD的面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，F，G，H，连结E，F，G，H。
问：
得到的新四边形EFGH的面积是多少？
答：
得到的新四边形EFGH的面积是5。
3．如下右图，三角形ABC的面积是30厘米2，AE=ED，BD=
BC，求阴影部分的面积和。
连FD，则三角形AFE面积=三角形FED面积;三角形AEB面积=三角形EDB面积;
所以，三角形AFB面积=三角形FDB面积；而三角形FDB面积=三角形FDC面积的2倍。
设三角形FDC的面积为X，则三角形ABC的面积为2x+2x+x=5x;所以，5x=30;x=6;所以，阴影部分为2x=2×6=12
再来讲讲函数思想在行程问题等的运用。
案例8：
一艘轮船在河流的两个码头间航行，去时顺流每小时行36千米，返回时逆流每小时行24千米，往返一次共用15小时，问两个码头之间的距离是多少千米？
分析与解：
根据两个码头之间的总路程一定，速度与时间成反比的函数思想。
可得
顺流速度：
逆流速度=36：
24=3：
2，
所以去时所用时间为15×
=6（小时），则两个码头之间的距离是：
36×6=216（千米）。
模拟练习5：
1．一架飞机以每小时250千米的速度从甲机场飞往乙机场，到达乙机场上空时，因天气原因无法降落，于是立即在空中掉头，以每小时200千米的速度按原路飞回甲机场，一共用了
小时，求甲乙两机场的空中距离是多少？
解:
顺风与逆风的速度之比=250千米：
200千米=5：
4，则时间之比为4：
5，
÷9×4=3（小时），则甲乙两机场的空中距离是：
3×250=750千米。
解:
设飞机来时行了X小时，
250x=200（
-x）x=3;则甲乙两机场的空中距离是：
3×250=750千米。
（反比例关系）
2甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。
如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。
求每人可免费携带的行李重量。
解一：
设,每人可免费携带的行李重量是X千克。
一方面三人可免费携带行李3x千克，三人携带150千克行李，超重（150-3x）千克，超重行李每千克应付4÷（150-3x）千克；另一方面，一人携带150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克应付8÷（150-x）。
根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程4÷（150-3x）=8÷（150-x）
解二：
（150-3x）:
（150-x）=4:
8x=30
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