速算巧算教材.docx
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速算巧算教材
五、速算技巧:
25x45x63÷9÷5÷7=
=约分(先不算,转约分)要养成习惯
加减法巧算
第一题:
凑整十百千
①36+87+64②99+136+101③1361+972+639+28
第二题:
拆数补数
①188+873②548+996③9898+203
解答:
①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)
=200+861=1061
②式=(548-4)+(996+4)
=544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102)
=10000+101=10101
①506-397②323-189
③467+997④987-178-222-390
解答:
①式=500+6-400+3(把多减的3再加上)=109
②式=323-200+11(把多减的11再加上)
=123+11=134
③式=467+1000-3(把多加的3再减去)
=1464
④式=987-(178+222)-390=987-400-400+10=197
第三题:
减法中的凑整巧算
①300-73-27②1000-90-80-20-10
解答:
①式=300-(73+27)
=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)
=1000-200=800
第四题:
相同尾巴一起算
①4723-(723+189)②2356-159-256
解答:
①式=4723-723-189
=4000-189=3811
②式=2356-256-159
=2100-159
=1941
乘法中的巧算
例222×112456×11
[分析]为了速算,可以记一句口诀:
“两头一拉,中间相加”。
222
2442
222×11=2442
2456
27016
2456×11=27016
关于5、15、25、125等乘法中的巧算:
两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.
为此,要牢记下面这三个特殊的等式:
5×2=10
25×4=100
125×8=1000
例计算:
[分析]一个数×5,可以先乘2再除以“2”——“积不变”原理
(1)186×5
=186×(5×2)÷2
=1860÷2
=930;
(2)96×125
=96×(125×8)÷8
=96000÷8=12000。
例一个偶数乘以15,“加半添0”.
24×15
=(24+12)×10
=360
因为
24×15
=24×(10+5)
=24×(10+10÷2)
=24×10+24×10÷2(乘法分配律)
=24×10+24÷2×10(带符号搬家)
=(24+24÷2)×10(乘法分配律)
例一个数乘以25、125:
用4、8拆数后再运算。
126X25=(31X4+2)X25(126÷4=31……2)
=31X4X25+2X25=3100+50=3150
438X125=(54X8+6)X25(438÷8=54……6)
=54X8X125+6X125=54000+750=54750
例个位是5的两个相同的两位数相乘,积的末尾两位是25,25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。
例如:
仿此同学们自己算算下面的乘积
35×35=______55×55=______
65×65=______85×85=______
95×95=______
这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位
数相乘的计算,例如,
例10个位为5的两位数的自乘:
十位数字×(十位数字加1)×100+25
如15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
有时题目不是上面讲的“标准形式”,比如乘数不是25而是75,此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。
例计算:
(1)84×75
=(21×4)×(25×3)
=(21×3)×(4×25)
=63×100=6300;
(2)56×625
=(7×8)×(125×5)
=(7×5)×(8×125)
=35×1000=35000;
(3)33×125
=32×125+1×125
=4000+125=4125;
(4)39×75
=(32+1)×125=(40-1)×75
=40×75-1×75
=3000-75=2925。
例从10到20×之间的两位数相乘(十几×十几)
13×14
[分析]个位数相加后再加“10”,然后乘“10”,个位数相乘后,所得两个数相加。
13×14=182
想:
(3+4+10)×10=170
3×4=12
170+12=182
例62×6881×89
[分析]62×68,一首数6+1=7,头×头是:
7×6=42,尾×尾是2×8=16,
42与16在一起:
4216
81×89,一首数8+1=9,头×头9×8=72,
尾×尾是1×9=9,因为9小于10,所以72与9相联时,在9的前面添一个0。
答案是81×89=7209
例72×3268×48
[分析]72×32头加头+尾是7×3+2=23
尾×尾是:
2×2=4
因为4小于10,所以23与4相联时,在4前边补一个0,答案是:
72×32=2304
68×48头加头+尾是6×4+8=32
尾×尾8×4=64
答案是:
68×48=3264
除法及乘除混合运算中的巧算
1.在除法中,利用商不变的性质巧算
商不变的性质是:
被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外),商不变.利用这个性质巧算,使除数变为整十、整百、整千的数,再除。
例计算①110÷5②3300÷25
③44000÷125
解:
①110÷5=(110×2)÷(5×2)
=220÷10=22
②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)
=13200÷100=132
③44000÷125=(44000×8)÷(125×8)
=352000÷1000=352
2.在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”。
例864×27÷54
=864÷54×27
=16×27
=432
3.当n个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减之后再除以这个数。
例187÷12-63÷12-52÷12
解:
187÷12-63÷12-52÷12
=(187-63-52)÷12
=72÷12=6
4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:
如果“括号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号变成除号,原除号就要变成乘号,添括号的方法与去括号类似。
即a×(b÷c)=a×b÷c从左往右看是去括号,
a÷(b×c)=a÷b÷c从右往左看是添括号。
a÷(b÷c)=a÷b×c
例①1320×500÷250
②4000÷125÷8
③5600÷(28÷6)
④372÷162×54
⑤2997×729÷(81×81)
解:
①1320×500÷250=1320×(500÷250)
=1320×2=2640
②4000÷125÷8=4000÷(125×8)
=4000÷1000=4
③5600÷(28÷6)=5600÷28×6
=200×6=1200
④372÷162×54=372÷(162÷54)
=372÷3=124
⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81
=(2997÷81)×(729÷81)=37×9
=333
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫等差数列,如:
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
3,6,9,12,15
4,8,12,16,20等等都是等差连续数.
两种求和方法:
1.等差连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间数乘以个数,简记成:
如:
(1)计算:
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9中间数是5
=45共9个数
2.等差连续数的个数是偶数时,它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半,简记成:
(1)计算:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
1098……321共有10组11=10+1=9+2=8+3…
=(1+10)×10÷2=110×5=55
共10个数,个数的一半是5,首数是1,末数是10.
例计算54+99×99+45
解:
此题表面上看没有巧妙的算法,但如果把45和54先结合可得99,就可以运用乘法分配律进行简算了.
54+99×99+45
=(54+45)+99×99
=99+99×99
=99×(1+99)
=99×100
=9900.
例计算9999×2222+3333×3334
解:
此题如果直接乘,数字较大,容易出错.如果将9999变为3333×3,规律就出现了.
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×(6666+3334)
=3333×10000
=33330000.
例1999+999×999
解法1:
1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+999×(1+999)
=1000+999×1000
=1000×(999+1)
=1000×1000
=1000000.
解法2:
1999+999×999
=1999+999×(1000-1)
=1999+999000-999
=(1999-999)+999000
=1000+999000
=1000000.
速算与巧算
例比较下面两个积的大小:
A=987654321×123456789,
B=987654322×123456788.
分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1,但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算,凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B,直接把两个因数相乘求积又太繁,所以我们开动脑筋,将A和B先进行恒等变形,再作判断.
解:
A=987654321×123456789
=987654321×(123456788+1)
=987654321×123456788+987654321.
B=987654322×123456788
=(987654321+1)×123456788
=987654321×123456788+123456788.
因为987654321>123456788,所以A>B.
例不用笔算,请你指出下面哪道题得数最大,并说明理由.
241×249242×248243×247
244×246245×245.
解:
利用乘法分配律,将各式恒等变形之后,再判断.
241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9;
242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8;
243×247=(240+3)×(250—3)=240×250+3×7;
244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6;
245×245=(240+5)×(250—5)=240×250+5×5.
恒等变形以后的各式有相同的部分240×250,又有不同的部分1×9,2×8,3×7,4×6,5×5,由此很容易看出245×245的积最大.
一般说来,将一个整数拆成两部分(或两个整数),两部分的差值越小时,这两部分的乘积越大.
如:
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5
则5×5=25积最大.
例求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.
解:
五个数中,后一个数都比前一个数大10,可看出1986是这五个数的平均值,故其总和为:
1986×5=9930.
例2、4、6、8、10、12…是连续偶数,如果五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.
解:
五个连续偶数的中间一个数应为320÷5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.
总结以上两题,可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数,中间一个数为首末两数的平均值;五个连续自然数,中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显,这五个数可以记作:
x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此类推,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值.
如:
对于2n+1个连续自然数可以表示为:
x—n,x—n+1,x-n+2,…,x—1,x,x+1,…x+n—1,x+n,其中x是这2n+1个自然数的平均值.
算式题的巧解妙算
1.特殊数题
(1)21-12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。
减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18。
减数从12—89,都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。
如
210-120=(2-1)×90=90,
0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。
(2)31×51
个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10,进1。
如
证明:
(10a+1)(10b+1)
=100ab+10a+10b+1
=100ab+10(a+b)+1
(3)26×8642×62
个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积。
若个位数的积是一位数,前面补0。
证明:
(10a+c)(10b+c)
=100ab+10c(a+b)+cc
=100(ab+c)+cc(a+b=10)。
(4)17×19
十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。
原式=(17+9)×10+7×9=323
证明:
(10+a)(10+b)
=100+10a+10b+ab
=[(10+a)+b]×10+ab。
(5)63×69
十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。
原式=(63+9)×6×10+3×9
=72×60+27=4347。
证明:
(10a+c)(10a+d)
=100aa+10ac+10ad+cd
=10a[(10a+c)+d]+cd。
(6)83×87
十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积。
如
证明:
(10a+c)(10a+d)
=100aa+10a(c+d)+cd
=100a(a+1)+cd(c+d=10)。
(7)38×22
十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式=(30+8)×(30-8)
=302-82=836。
(8)88×37
被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5。
=54×10=540。
55×15
(10)125×101
三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数。
125+1=126。
原式=12625。
再如348×101,因为348+3=351,
原式=35148。
(11)84×49
一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。
原式=8400÷2-84
=4200-84=4116。
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。
在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式=8500-85=8415
不难看出这类题的积:
最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;
最低位上的两位数,是100与被乘数的差;
中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。
如果被乘数的个位数是1,例如
31×999
在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。
71×9999=709999-70=709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为
(10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a。
(13)682+702
两个连续奇(偶)数的平方和,等于这两个数之积的2倍加4的和。
原式=68×70×2+4
=9520+4=9524。
例2522-512=52+51=103
两个连续自然数的平方差,等于这两个数的和。
分数比较大小
例1.比较A=333/1666和B=33/166的大小。
求倒数,倒数小的更大
1/A=1666/333=5+1/333
1/B=166/33=5+1/33
因为1/33>1/333
所以1/A<1/B
所以A>B
例2.比较大小:
3/10、5/13、9/17、15/29、45/73
化成相同分子来比:
3/10=45/150…………
例3.比较大小:
2221/3332、4443/6665
定理:
一个真分数的分子、分母同时加上同一个不为零的自然数,所得的新分数大于原分数。
一个真分数的分子、分母同时减去同一个不为零的自然数,所得的新分数小于原分数。
因为2221/3332=4442/6664
4443/6665=(4442+1)/(6664+1)>4442/6664
所以4443/6665>2221/3332
1/2<2/3<3/4<4/5....
如:
5/9<9/()<1?
5+4=99+4=13,故:
5/9<9/13<1
3/2>4/3>5/4>6/5。
。
。
。
。
。
。
。
例4.比较大小:
7/12、9/16、13/24、5/8、
借助一个标准量分数来进行,这几个分数都比1/2略大,可以借助1/2来比较大小。
7/12=1/2+1/129/16=1/2+1/1613/24=1/2+1/245/8=1/2+1/8
所以:
5/8>7/12>9/16>13/24
例5.比较222221/222223与333331/333334大小
提示:
222221/222223=1-2/222223另一个同理,然后进行通分子比较。
例6.、比较
与
的大小(比较与1的差)
例7.、比较
与
的大小(转化为比较
与
的大小,分别与中间值
比较)
例8.、比较
与
的大小(与中间
比较)
例9.、比较A、B的大小。
A=
与B=
。
(求倒数,倒数小的更大,【分子相同,分母大则小】)
1/A=1666/333=5+1/3331/B=166/33=5+1/33因为1/33>1/333所以1/A<1/B所以A>B
例10.、比较
与
的大小(A÷B>1,则A>B)
例11.、比较5/17、2/13、4/15的大小(通分子)
20/130<20/75<20/68