第一章112第3课时程序框图与算法的基本逻辑结构人教A版高中数学必修3学案.docx
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第一章112第3课时程序框图与算法的基本逻辑结构人教A版高中数学必修3学案
第3课时 循环结构
学习目标
1.掌握当型和直到型两种循环结构的程序框图的画法.2.理解两种循环结构程序框图的执行功能，并能正确解题．
知识点一 循环结构
1．循环结构的定义
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．
2．循环结构的特点
（1）重复性：
在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．
（2）判断性：
每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．
（3）函数性：
循环变量在构造循环结构中起了关键作用，蕴含着函数的思想．
知识点二 两种循环结构的比较
常见的两种循环结构
名称
结构图
特征
直到型循环结构
先执行循环体后判断条件，若不满足条件则执行循环体，否则终止循环
当型循环结构
先对条件进行判断，满足时执行循环体，否则终止循环
思考 两种循环结构会导致执行结果不一样吗？
答案 不会．两种循环结构形式虽然不一样，但不会导致执行结果的变化．
1．循环结构中，判断框内的条件不是唯一的．（ √ ）
2．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行．（ × ）
3．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”．（ √ ）
4．循环结构中，不一定都有条件结构．（ × ）
题型一 循环结构程序框图的运行
例1
（1）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．15B．105C．245D．945
（2）如图所示，程序框图的输出结果是________．
答案
（1）B
（2）
解析
（1）当i＝1时，T＝3，S＝3；当i＝2时，T＝5，
S＝15；当i＝3时，T＝7，S＝105，当i＝4时输出S＝105.
（2）第一次循环：
s＝
，n＝4，
第二次循环：
s＝
＋
＝
，n＝6，
第三次循环：
s＝
＋
＝
，n＝8<8不成立，退出循环，输出结果为
.
反思感悟 利用循环结构解决问题的“三个确定”：
（1）确定循环变量及初始值，弄清循环变量表示的意义、取值范围及变化规律．
（2）确定循环体的功能，根据实际情况确定采用哪种循环结构．
（3）确定循环结构的终止条件，弄清不等号的方向及是否含有等号．
跟踪训练1 运算如图所示的程序框图，输出S的值是________．
答案 3
解析 由题意可知S，k的取值如下表：
k
1
2
3
4
…
S
－
3
－
…
故S的取值周期为3，所以当k＝2019时，进入循环得到S的值为3，k又被赋值为2020，退出循环，故输出S的值为3.
题型二 循环结构的程序框图的设计
例2 设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出程序框图．
解 方法一 第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法．
第三步，S＝S＋i.
第四步，i＝i＋1，返回第二步．
程序框图：
方法二 第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，S＝S＋i.
第三步，i＝i＋1.
第四步，若i＞100不成立，则返回第二步；否则，输出S，结束算法．
程序框图：
反思感悟 两种循环结构的联系和区别
（1）联系
①当型循环结构与直到型循环结构可以相互转化；
②循环结构中必然包含条件结构，以保证在适当的时候终止循环；
③循环结构只有一个入口和一个出口；
④循环结构内不存在死循环，即不存在无终止的循环．
（2）区别
直到型循环结构是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体，当型循环结构是先判断是否执行循环体；直到型循环结构是在条件不满足时执行循环体，当型循环结构是在条件满足时执行循环体．要掌握这两种循环结构，必须抓住它们的区别．
跟踪训练2 设计算法求1×2×3×…×2018×2019的值，并画出程序框图．
解 算法如下：
第一步，设M的值为1.
第二步，设i的值为2.
第三步，如果i≤2019，则执行第四步；否则执行第六步．
第四步，计算M＝M×i.
第五步，计算i＝i＋1，返回执行第三步．
第六步，输出M的值，并结束算法．
程序框图如图所示．
题型三 利用循环结构求满足条件的最值问题
例3 写出一个求满足1×3×5×7×…×n＞50000的最小正整数n的算法，并画出相应的程序框图．
解 算法如下：
第一步，S＝1.
第二步，n＝3.
第三步，如果S≤50000，那么S＝S×n，n＝n＋2，重复第三步；否则，执行第四步．
第四步，n＝n－2.
第五步，输出n.
程序框图如图所示．
反思感悟
（1）在使用循环结构时，需恰当地设置累加（乘）变量和计数变量，在循环体中要设置循环终止的条件．
（2）在最后输出结果时，要避免出现多循环一次或少循环一次的情况．
跟踪训练3 设计一个程序框图，求满足1＋2＋3＋…＋n＞2019的最小正整数n.
解 程序框图如图所示．
循环结构在实际中的应用
典例 以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：
72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,
94,60.要求将80分以上的同学的平均分求出来，请画出程序框图．
解 程序框图如图所示．
[素养评析]
（1）应用循环结构解决实际问题的策略
（2）通过对实际问题进行分析，建立用循环结构解决问题的模型，这就是用数学方法构建模型解决问题的素养．
1．下列框图是循环结构的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
答案 C
解析 由循环结构的特点知③④是循环结构，而①是顺序结构，②是条件结构．
2．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．－10B．6C．14D．18
答案 B
解析 执行程序：
S＝20，i＝1，i＝2，S＝20－2＝18；i＝4，S＝18－4＝14；i＝8，S＝14－8＝6，满足i＞5的条件，结束循环，输出S的值为6，故选B.
3．如图所示的程序框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5?
B．n≤6?
C．n≤7?
D．n≤8?
答案 B
解析 2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6？
”．
4．如图所示的程序框图输出的结果是________．
答案 360
解析 该程序框图的执行过程是
x＝3，y＝1，
x＝3≤6成立，y＝1×3＝3，x＝3＋1＝4；
x＝4≤6成立，y＝3×4＝12，x＝4＋1＝5；
x＝5≤6成立，y＝12×5＝60，x＝5＋1＝6；
x＝6≤6成立，y＝60×6＝360，x＝6＋1＝7；
x＝7≤6不成立，退出循环，输出y＝360.
5．运行如图所示的程序框图，则输出的T＝________.
答案 20
解析 T＝0，S＝0，T≤S成立．执行第一次循环后，S＝4，n＝2，T＝2，T≤S仍成立．执行第二次循环后，S＝8，n＝4，T＝6，T≤S仍成立．执行第三次循环后，S＝12，n＝6，T＝12，T≤S仍成立．执行第四次循环后，S＝16，n＝8，T＝20，T≤S不成立，故输出T的值为20.
1．
（1）循环结构是指在算法中需要重复执行一条或多条指令的控制结构；
（2）在循环结构中，通常都有一个起循环计数作用的变量，即计数变量；
（3）循环变量、循环体、循环终止条件称为循环结构的三要素．
2．画程序框图要注意：
（1）使用标准的框图符号；
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
（3）除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
（4）框图中若出现循环结构，一定要分清当型和直到型结构的不同；
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．
一、选择题
1．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
答案 C
解析 当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；
当k＝1时，满足k<3，因此S＝1×21＝2；
当k＝2时，满足k<3，因此S＝2×22＝8；
当k＝3时，不满足k<3，因此输出S＝8.
2．（2017·山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）
A．0,0B．1,1C．0,1D．1,0
答案 D
解析 当输入x＝7时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x成立，故a＝1，输出a的值为1.
当输入x＝9时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.
3．如图是一个算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（ ）
A．k≥6?
B．k≥7?
C．k≥8?
D．k≥9?
答案 C
解析 S＝10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7<8，判断条件为“否”时跳出循环，输出S，故选C.
4．程序框图如图，如果程序运行的结果为S＝132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（ ）
A．①处改为k＝13，S＝1B．②处改为k<10?
C．③处改为S＝S×（k－1）D．④处改为k＝k－2
答案 B
解析 由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题．
由于1320＝10×11×12，
故判断框中应改为k≤9？
或者k<10？
.故选B.
5．已知某算法的程序框图如图所示，输入的x和y均为自然数，若输出的有序数对为（13,14），则开始输入的有序数对（x，y）可能为（ ）
A．（6,7）B．（7,6）C．（4,5）D．（5,4）
答案 B
解析 设开始输入的有序数对为（x0，y0），当n＝1时，x＝y0＋1，y＝y0＋2；当n＝2时，x＝y0＋3，y＝y0＋4；当n＝3时，x＝y0＋5，y＝y0＋6；当n＝4时，x＝y0＋7，y＝y0＋8；当n＝5时，循环结束．故输出的有序数对为（y0＋7，y0＋8）＝（13,14），所以y0＝6.故选B.
6．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（ ）
A.
＜P≤
B．P＞
C.
＜P≤
D.
≤P＜
答案 C
解析 ∵S＜P时，执行循环体，S≥P时输出n＝4，
∴S加上的最后一项为
＝
，此时S＝
＋
＋
＝
，
∴
≥P，结合输出的值为4知，
＜P≤
.
7．如图给出的是计算
＋
＋
＋…＋
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＜10?
B．i≤10?
C．i＞10?
D．i≥10?
答案 C
解析 S＝
＋
＋
＋…＋
，并由程序框图中S＝S＋
知i的初值为1，终值为10，步长为1，故经过10次循环才能算出S＝
＋
＋
＋…＋
的值，所以i≤10时应不满足条件，继续循环，i＞10时满足条件，退出循环体，故选C.
8．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S为（ ）
A．24B．25
C．30D．20
答案 C
解析 框图表示的运算是S＝2＋4＋…＋10，其运算结果为30.
二、填空题
9．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出结果为________．
答案 8
解析 根据程序框图得，
第一次进入循环体后，S＝1×2＝2，k＝1＋1＝2；
第二次进入循环体后，S＝2×2＝4，k＝2＋1＝3；
第三次进入循环体后，S＝4×2＝8，k＝3＋1＝4，
此时不满足条件k≤3，退出循环，
故输出的结果是8.
10．执行如图所示的程序框图，输出的S值为________．
答案 4
解析 模拟程序框图的运行，输入S＝1，i＝1，
满足条件i＜4，i＝2，S＝
＝2；
满足条件i＜4，i＝3，S＝
＝3；
满足条件i＜4，i＝4，S＝
＝4.
不满足条件i＜4，退出循环体，输出S的值为4.
三、解答题
11．设计求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＜100成立的最大自然数n的值的算法，并画出程序框图．
解 算法：
第一步，令S＝0，n＝1.第二步，S＝S＋n.
第三步，n＝n＋1.第四步，若S≥100，
则输出n－2，结束算法；否则，返回第二步．程序框图如图所示．
12．根据条件把图中的程序框图补充完整，求区间[1,1000]内所有奇数的和，
（1）处填________；
（2）处填________．
答案
（1）S＝S＋i
（2）i＝i＋2
解析 求[1,1000]内所有奇数的和，
初始值i＝1，S＝0，并且i<1000时执行循环体，
所以
（1）处应填“S＝S＋i”，
（2）处应填“i＝i＋2”．
13．如图所示的程序框图，输出S的值是
，则判断框内应填（ ）
A．n＜2018?
B．n≤2017?
C．n≤2019?
D．n≤2018?
答案 D
解析 由程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构输出1×
×
×
×…×
＝
的值，
若输出S的值是
，
则循环变量的终值为2018，
故判断框内应填入n≤2018？
，
故选D.
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