图象
性质
定义域:
(0,+∞)
值域:
R
过点(1,0),即当x=1时,y=0
x∈(0,1)时,y<0;
x∈(1,+∞)时,y>0
x∈(0,1)时,y>0;
x∈(1,+∞)时,y<0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
(3)五个常见幂函数的图象:
三、函数与方程
1.函数的零点
(1)概念:
函数f(x)的零点是使f(x)=0的实数x.
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:
(3)函数零点的判断
①若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.二分法
(1)概念:
对于区间[a,b]上连续的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.
(2)用二分法求函数零点的近似值
第一步:
确定区间[a,b],验证:
f(a)·f(b)<0,给定精确度;
第二步:
求区间[a,b]的中点x1;
第三步:
计算f(x1);若f(x1)=0,则x1就是函数零点;若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1;若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1;
第四步:
判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.
3.函数模型的应用
(1)三种常见函数模型的增长差异
函数
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随n值而不同
增长速度
ax的增长快于xn的增长,xn的增长快于logax的增长
增长后果
总会存在一个x0,当x>x0时,就有ax>xn>logax
(2)函数模型的选取及数据拟合的一般步骤
1.任何一个集合都至少有两个子集.(×)
[提示] 空集只有一个子集.
2.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×)
[提示] 结合集合的描述法可知{x|y=x2+1}为函数y=x2+1的定义域;{y|y=x2+1}为函数y=x2+1的值域;{(x,y)|y=x2+1}为函数y=x2+1上的点集,故不正确.
3.若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×)
[提示] {x2,1}={0,1},则x=0.
4.{x|x≤1}={t|t≤1}.(√)
5.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.
(√)
6.若A∩B=A∩C,则B=C.(×)
[提示] B,C未必相等.
7.若定义在R上的函数f(x),有f(-1)[提示] 不能用特殊值判断函数的单调性.
8.函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×)
[提示] [1,+∞)为函数的单调递增区间的子集.
9.函数y=
的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)
[提示] 单调区间不能用“∪”连接.
10.闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.(√)
11.偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.
(×)
[提示] 函数未必在原点处有定义.
12.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√)
13.如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.(√)
14.二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.(×)
[提示] b=0时,二次函数y=ax2+bx+c,x∈R是偶函数.
15.
=(
)n=a(n∈N+).(×)
[提示] 注意n的奇偶性.
16.若am0,且a≠1),则m[提示] 当a>1时,命题成立.
17.函数y=2-x在R上为单调减函数.(√)
18.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(×)
[提示] MN>0未必M>0,N>0.
19.对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(×)
[提示] a>1时,上述命题成立.
20.函数y=ln
与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.
(√)
21.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),
函数图象只在第一、四象限.(√)
22.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×)
[提示] 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.
23.函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.
(×)
24.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.
(√)
25.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)26.某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(×)
[提示] 降价后:
价格为100(1+10%)×90%=99,比较两者间的关系,易知亏损.
27.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(×)
[提示] 未必,如当x=2时,函数y=2x与y=x2函数值相等.
28.不存在x0,使ax0[提示] 存在,结合函数图象可知.
29.在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(√)
30.“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(×)
[提示] a>0,b>1.
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8
C.5D.4
A [由x2+y2≤3知,-
≤x≤
-
≤y≤
.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9,故选A.]
2.(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )
A.A∩B=
B.A∩B=
C.A∪B=
D.A∪B=R
A [因为B={x|3-2x>0}=
A={x|x<2},所以A∩B=
A∪B={x|x<2}.故选A.]
3.(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)
B [法一:
设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.
法二:
由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=lnx的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B.]
4.(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
D [∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f
(1)=-1,∴f(-1)=-f
(1)=1.
故由-1≤f(x-2)≤1,得f
(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3.故选D.]
5.(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=xB.y=lgx
C.y=2xD.y=
D [根据函数解析式特征求函数的定义域、值域.
函数y=10lgx的定义域与值域均为(0,+∞).
函数y=x的定义域与值域均为(-∞,+∞).
函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
函数y=2x的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞).
函数y=
的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.]
6.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=
则满足f(x+1)A.(-∞,-1]B.(0,+∞)
C.(-1,0)D.(-∞,0)
D [当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,
结合图象可知,要使f(x+1)或
所以x<0,故选D.]
7.(2018·全国卷Ⅲ)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )
A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0
C.a+b<0<abD.ab<0<a+b
B [由a=log0.20.3得
=log0.30.2,由b=log20.3得
=log0.32,所以
+
=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,所以0<
+
<1,得0<
<1.又a>0,b<0,所以ab<0,所以ab<a+b<0.]
8.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
12 [法一:
令x>0,则-x<0.
∴f(-x)=-2x3+x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=2x3-x2(x>0).
∴f
(2)=2×23-22=12.
法二:
f
(2)=-f(-2)
=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.]
9.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=ln(
-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.
-2 [由f(a)=ln(
-a)+1=4,得ln(
-a)=3,所以f(-a)=ln(
+a)+1=-ln
+1=-ln(
-a)+1=-3+1=-2.]