浙江省届初三数学中考总复习第35讲《方程函数思想型问题》名师讲练含答案.docx

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浙江省届初三数学中考总复习第35讲《方程函数思想型问题》名师讲练含答案

第35讲　方程、函数思想型问题

（建议该讲放第16讲后教学）

内容

特性

1.在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．

2．函数思想是指用变量和函数来思考问题的一种方法，借助函数知识来探求变量之间关系的一种思维方式，以生产、生活和学科问题为背景，结合方程、几何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

解题

策略

（1）解决函数综合问题时，注意数形结合，在函数、方程、不等式之间灵活转化；

（2）解决几何综合问题时，常从面积关系，勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；

（3）解决生活中应用问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解；

（4）对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.

基本

思想

利用方程思想解决问题时，经常涉及函数思想和数形结合思想；利用函数思想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题，经常涉及函数与方程、不等式，函数与图象.

类型一　运用方程思想求解几何综合性问题

　如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒．

（1）当x为何值时，PQ∥BC?

（2）△APQ能否与△CQB相似？

若能．求出AP的长；若不能．请说明理由．

【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．

1．（2016·舟山）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）

A.

B.

C．1D.

类型二　运用函数思想求解方程、不等式问题

　（2017·杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x＋a）（x－a－1），其中a≠0.

（1）若函数y1的图象经过点（1，－2），求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．

【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解

（1）的关键是利用待定系数法；解

（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏．

2．

（1）已知函数y＝x和y＝

的图象如图，则不等式

>x的解集为（　　）

A．－2≤x<2B．－2≤x≤2C．x<2D．x>2

（1）图

（2）图

（2）如图，已知函数y＝－

与y＝ax2＋bx（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2＋bx＋

＝0的解为　　　　　　　　.

类型三　运用方程、函数思想求解几何最值问题

　（2016·黄冈模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°<α<90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H,四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示），那么，在上述旋转过程中：

（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？

四边形CHOK的面积是否发生变化？

证明你发现的结论；

（2）连结HK，设BH＝x.

①当△CKH的面积为

时，求出x的值；

②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

【解后感悟】本题利用方程、函数思想把问题构建为方程、函数模型，再用方程、函数知识来解决问题．解题的关键是根据题意列出方程、函数关系式．

3．（2015·德州模拟）一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形的包装盒，E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为　　　　　　　　cm.

类型四　运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题

　（2015·汕尾）如图，已知直线y＝－

x＋3分别与x、y轴交于点A和B.

（1）求点A、B的坐标；

（2）求原点O到直线l的距离；

（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

【解后感悟】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：

坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，借助这些知识，再利用方程、函数思想来解决问题．以此设计问题在中考中出现的频率很高，是中考中比较典型的题型．

4．如图，已知抛物线y＝

x2＋bx与直线y＝2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若点C为OA的中点，求BC的长；

（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．

类型五　运用方程、函数思想求解实际问题

　某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.（利润＝售价－制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？

当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

【解后感悟】本题是通过方程、函数思想解决实际问题，一是通过方程思想列函数解析式，二是通过函数思想解决变量间关系．

5．（2015·济宁）小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：

服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．

（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？

（2）在

（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

【开放探究题】

实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5时后（包括1.5时）y与x可近似地用反比例函数y＝

（k＞0）刻画（如图所示）．

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？

最大值为多少？

②当x＝5时，y＝45.求k的值；

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：

00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：

00能否驾车去上班？

请说明理由．

【方法与对策】本题实质是通过方程、函数思想解决反比例函数与二次函数综合应用问题，根据图象得出正确信息是解题关键，这是中考中的新题型．

【忽视变量范围而出错】

在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连结AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？

最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

参考答案

第35讲　方程、函数思想型问题

【例题精析】

例1　

（1）根据题意AP＝4xcm，AQ＝AC－QC＝（30－3x）cm，若PQ∥BC，则

＝

.则

＝

，解得x＝

.所以当运动时间为

s时，PQ∥BC.

（2）因为∠A＝∠C，所以当

＝

或

＝

时，△APQ能与△CQB相似．①当

＝

时，

＝

，解得x＝

，所以AP＝4x＝

cm.②当

＝

时，

＝

，解得x1＝5，x2＝－10（舍去）．所以AP＝4x＝20cm.所以当AP＝

cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．　

例2　

（1）函数y1的图象经过点（1，－2），得（a＋1）（－a）＝－2，解得a1＝－2，a2＝1，函数y1的表达式为y＝（x－2）（x＋2－1），化简，得y＝x2－x－2；或函数y1的表达式为y＝（x＋1）（x－2）化简，得y＝x2－x－2，综上所述：

函数y1的表达式为y＝x2－x－2；

（2）当y＝0时，（x＋a）（x－a－1）＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，y1的图象与x轴的交点是（－a，0），（a＋1，0），当y2＝ax＋b经过（－a，0）时，－a2＋b＝0，即b＝a2；当y2＝ax＋b经过（a＋1，0）时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤

；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得

＜x0＜1，综上所述：

x0的取值范围为0＜x0＜1.　

例3　

（1）在旋转过程中，BH＝CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．理由如下：

连结OC.∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB，∴∠OCK＝∠B＝45°，CO＝OB.又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，∴∠COK＝∠BOH＝α，在△COK和△BOH中，

∴△COK≌△BOH，∴BH＝CK，S四边形CHOK＝S△COK＋S△COH＝S△BOH＋S△COH＝S△COB＝

S△ABC＝9.

（2）①由

（1）知CK＝BH＝x，∵BC＝6，∴CH＝6－x，根据题意，得

CH·CK＝

，即（6－x）x＝5，解这个方程得x1＝1，x2＝5，此两根满足条件：

0

时，x的取值是1或5；②设△OKH的面积为S，由

（1）知四边形CHOK的面积为9，∴S△OKH＝S四边形CHOK－S△CKH＝9－

x（6－x）＝

（x2－6x）＋9＝

（x－3）2＋

，∵

>0，∴当x＝3时，函数S△OKH有最小值

，∵x＝3满足条件0