中考二次函数 动点专题含答案.docx
《中考二次函数 动点专题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考二次函数 动点专题含答案.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考二次函数动点专题含答案
模式1:
平行四边形
分类标准:
讨论对角线
例如:
请在抛物线上找一点p使得四点构成平行四边形,则可分成以下几种情况
（1）当边就是对角线时，那么有
（2）当边就是对角线时，那么有
（３）当边就是对角线时,那么有
例题1:
（山东省阳谷县育才中学模拟１0）本题满分１4分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-４，0），B（0，-4），C（2,0）三点、
（1）求抛物线得解析式;
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M得横坐标为m,△AMB得面积为S、求S关于m得函数关系式,并求出S得最大值;
（3）若点Ｐ就是抛物线上得动点,点Q就是直线ｙ=-x上得动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点得四边形为平行四边形,直接写出相应得点Q得坐标、
练习:
图1,抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在B得左侧）,与y轴相交于点C,顶点为D．
（１）直接写出A、Ｂ、Ｃ三点得坐标与抛物线得对称轴;
（２）连结ＢＣ，与抛物线得对称轴交于点E,点P为线段BC上得一个动点,过点P作PF//ＤE交抛物线于点F,设点P得横坐标为m．
①用含m得代数式表示线段PF得长,并求出当ｍ为何值时,四边形ＰEDＦ为平行四边形?
②设△BCＦ得面积为S,求Ｓ与m得函数关系.
模式2:
梯形
分类标准:
讨论上下底
例如:
请在抛物线上找一点p使得四点构成梯形，则可分成以下几种情况
（１）当边就是底时，那么有
（2）当边就是底时,那么有
（3）当边就是底时,那么有
例题2：
已知，矩形OAＢＣ在平面直角坐标系中位置如图１所示,点A得坐标为（4,0），点C得坐标为，直线与边BC相交于点D．
（1）求点D得坐标；
（2）抛物线经过点A、D、Ｏ，求此抛物线得表达式;
（3）在这个抛物线上就是否存在点Ｍ,使O、D、A、M为顶点得四边形就是梯形?
若存在,请求出所有符合条件得点M得坐标;若不存在,请说明理由.
练习：
已知二次函数得图象经过Ａ（2,0）、Ｃ（0，1２）两点,且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴得另一交点为点Ｂ．
（１）求二次函数得解析式及顶点P得坐标;
（2）如图１，在直线 y=２x上就是否存在点Ｄ,使四边形ＯPBD为等腰梯形?
若存在,求出点Ｄ得坐标;若不存在,请说明理由;
（3）如图2,点Ｍ就是线段OP上得一个动点（Ｏ、Ｐ两点除外）,以每秒个单位长度得速度由点P向点O 运动,过点M作直线ＭN／/ｘ轴,交PB于点N． 将△PMN沿直线ＭN对折,得到△P１MＮ.在动点M得运动过程中,设△P1MＮ与梯形OＭNＢ得重叠部分得面积为S,运动时间为t秒,求Ｓ关于ｔ得函数关系式.
模式3：
直角三角形
分类标准:
讨论直角得位置或者斜边得位置
例如:
请在抛物线上找一点ｐ使得三点构成直角三角形,则可分成以下几种情况
（1）当为直角时,
（２）当为直角时,
（3）当为直角时,
例题3:
如图1,已知抛物线ｙ=x2＋ｂx+ｃ与ｘ轴交于A、B两点（点Ａ在点Ｂ左侧）,与ｙ轴交于点C（０,－3）,对称轴就是直线ｘ=１，直线ＢC与抛物线得对称轴交于点D.
（1）求抛物线得函数表达式;
（２）求直线BC得函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点,CE得垂直平分线交CE于点F,交抛物线于Ｐ、Ｑ两点,且点Ｐ在第三象限.
①当线段时，求tan∠ＣＥD得值；
②当以C、D、E为顶点得三角形就是直角三角形时,请直接写出点Ｐ得坐标.
练习:
如图１,直线与x轴、ｙ轴得交点分别为B、C,点Ａ得坐标就是（-2,0）.
（1）试说明△ＡBC就是等腰三角形;
（２）动点Ｍ从Ａ出发沿x轴向点Ｂ运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动得速度均为每秒１个单位长度.当其中一个动点到达终点时,她们都停止运动.设Ｍ运动t秒时,△MＯN得面积为Ｓ.
①求Ｓ与t得函数关系式；
②设点M在线段OＢ上运动时，就是否存在Ｓ＝4得情形？
若存在,求出对应得t值;若不存在请说明理由；
③在运动过程中,当△ＭON为直角三角形时,求t得值.
模式４:
等腰三角形
分类标准：
讨论顶角得位置或者底边得位置
例如:
请在抛物线上找一点p使得三点构成等腰三角形,则可分成以下几种情况
（1）当为顶角时,
（2）当为顶角时,
（3）当为顶角时,
例题4:
已知：
如图１，在平面直角坐标系xOy中,矩形OＡBC得边ＯＡ在ｙ轴得正半轴上，OC在x轴得正半轴上,OA=2，OC=3,过原点O作∠ＡOC得平分线交AB于点D，连接DＣ,过点D作DE⊥ＤC,交OA于点E.
（1）求过点E、D、Ｃ得抛物线得解析式；
（２）将∠ＥＤＣ绕点D按顺时针方向旋转后,角得一边与y轴得正半轴交于点F,另一边与线段OＣ交于点G.如果DＦ与
（1）中得抛物线交于另一点Ｍ,点M得横坐标为,那么EF＝2GO就是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
（3）对于
（2）中得点G,在位于第一象限内得该抛物线上就是否存在点Q，使得直线ＧQ与AB得交点Ｐ与点Ｃ、Ｇ构成得△PＣG就是等腰三角形？
若存在,请求出点Q得坐标;若不存在成立,请说明理由．
练习:
（２012江汉市中考模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（ａ＞0）经过点B（12,0）与C（0,－６），对称轴为x＝２．
（1）求该抛物线得解析式．
（2）点D在线段AB上且AD=AＣ，若动点P从A出发沿线段AＢ以每秒1个单位长度得速度匀速运动,同时另一个动点Ｑ以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问就是否存在某一时刻，使线段PQ被直线ＣＤ垂直平分？
若存在,请求出此时得时间t（秒）与点Q得运动速度;若存在,请说明理由.
A
B
C
O
P
Q
D
y
x
（3）在
（2）得结论下,直线x=1上就是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形？
若存在,请求出所有点M得坐标;若不存在,请说明理由.
模式5：
相似三角形
突破口:
寻找比例关系以及特殊角
例题5:
（据荆州资料第５８页第2题改编）在梯形AＢCD中，AD∥ＢC,BA⊥ＡC,∠B=４5０，ＡＤ=2，BC ＝6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示得平面直角坐标系,点A在ｙ轴上。
（1）求过A、Ｄ、C三点得抛物线得解析式。
（2）求△ＡＤＣ得外接圆得圆心M得坐标,并求⊙M得半径。
（3）Ｅ为抛物线对称轴上一点,F为ｙ轴上一点,求当ED＋EC+FD+ＦＣ最小时,EＦ得长。
（4）设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问就是否存在这样得点P、Q,使得以P、Q、C为顶点得△与△ADC相似?
若存在,直接写出点P、Q得坐标,若不存在,则说明理由。
模拟题汇编之动点折叠问题
1、（２012深圳模拟）（本题12分）已知二次函数与轴交于A（－１，0）、B（1,0）两点、
（1）求这个二次函数得关系式;
（2）若有一半径为r得⊙Ｐ，且圆心P在抛物线上运动,当⊙Ｐ与两坐标轴都相切时，求半径r得值、
（3）半径为1得⊙P在抛物线上,当点Ｐ得纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与ｙ轴相离、相交?
2、如图，在平面直角坐标系中,二次函数得图象与x轴交于Ａ、B两点,A点在原点得左侧,Ｂ点得坐标为（３，0）,与ｙ轴交于C（0,-3）点,点P就是直线BC下方得抛物线上一动点、（１）分别求出图中直线与抛物线得函数表达式;
（２）连结PＯ、PC,并把△POＣ沿C O翻折，得到四边形POP′Ｃ,那么就是否存在点Ｐ,使四边形POP′C为菱形？
若存在,请求出此时点P得坐标;若不存在,请说明理由、
解:
将Ｂ、Ｃ两点得坐标代y＝kｘ＋ｂ，0=3k-3,k=1,∴ｙ=ｘ-3…………１分
将B、C两点得坐标代入得:
解得:
所以二次函数得表达式为:
、…………………３分
（2）存在点P，使四边形POＰC为菱形、设P点坐标为（ｘ，）,
PP交CO于E、若四边形ＰOPC就是菱形，则有PC=PO、…………………5分
连结ＰＰ则PE⊥CＯ于E,∴OE=EC＝
∴=、∴=、………………………………6分
解得=,=（不合题意,舍去）
∴P点得坐标为（,）、…………………………9分
3、（２0１２江西模拟）已知抛物线交ｙ轴于点A,交x轴于点B，Ｃ（点B在点C得右侧）、过点A作垂直于y轴得直线l、在位于直线ｌ下方得抛物线上任取一点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q、连接AＰ、
（1）写出A,B,C三点得坐标;
（2）若点P位于抛物线得对称轴得右侧:
①如果以A,Ｐ,Q三点构成得三角形与△AＯC相似,求出点P得坐标;
②若将△APQ沿AP对折,点Q得对应点为点Ｍ、就是否存在点P,使得点M落在x轴上、若存在,求出点Ｐ得坐标;若不存在,请说明理由、
4、（2０12安庆模拟）在直角梯形ABCD中，∠Ｂ＝90°,AD＝1,AＢ＝3,BC＝４,M、N分别就是底边ＢC与腰CD上得两个动点，当点M在ＢＣ上运动时,始终保持AM⊥MN、NP⊥BC.
（1）证明:
△CＮＰ为等腰直角三角形;
（2）设ＮＰ＝x，当△ABM≌△MPN时，求x得值;
（3）设四边形ABPN得面积为ｙ，求y与ｘ之间得函数关系式，并指出ｘ取何值时,四边形ABＰN得面积最大,最大面积就是多少．
解:
（１）过D作DQ⊥BＣ于Q,则四边形ABＱD为平行四边形DQ=AB=３，BＱ=AD＝１
∴QC=DQ △DQC中∠C=∠QＤC＝45°
∴Rt△NＰC为等腰Rt△ ………………（4分）
（2）∵≌ ＭP=AＢ＝3, BＭ=NP
∵△NPC为等腰Rt△
∴PC＝NP＝ｘ ∴ＢM=BＣ-MP－PC＝1－ｘ ∴1－ｘ＝x ∴ x=
∴当≌时,ｘ = ………………（8分）
（3）=（AB+NP）BP=（3＋x）（4－x）＝－+x+6=－（ x-）+6、1２5（11分）
∴当x取时,四边形ABPＮ面积最大,最大面积为６、12５、 ………………（14分）
5、（2０12宝应模拟）在直角坐标系中,O为坐标原点,点A得坐标为（2,２）,点C就是线段OA上得一个动点（不运动至O，Ａ两点）,过点C作CD⊥ｘ轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF、 连接ＡF并延长交ｘ轴得正半轴于点Ｂ，连接ＯＦ,设ＯD=t、
⑴ 求ｔan∠FOB得值；
⑵用含t得代数式表示△OAB得面积S;
⑶就是否存在点Ｃ, 使以B,E,F为顶点得三角形与△OFE相似,若存在,请求出所有满足要求得B点得坐标;若不存在,请说明理由．
（1）作AＨ⊥x轴于Ｈ,交CＦ于P
∵A（2，2） ∴AＨ=OH=2 ∴∠AOＢ=45°
∴CD＝OＤ=DE＝EF=∴ ……………………3分
（2）∵CF∥ＯB∴△ACＦ∽△ＡOB
∴ 即
∴∴………………6分
（3）要使△BEＦ与△OFＥ相似,∵∠FＥO=∠FEB=9０°
∴只要或
即:
或
①当时，，
∴ ∴（舍去）或 ∴B（6,0） ……………………8分
②当时,
（ⅰ）当B在E得右侧时,,
∴∴（舍去）或∴B（3,0）…………………10分
（ⅱ）当B在Ｅ得左侧时,如图,,
∴ ∴（舍去）或∴B（1,0）……………………12分
6、（２012广东预测）（本小题满分12分）如图,抛物线得顶点坐标就是,且经过点、
（１）求该抛物线得解析式；
（2）设该抛物线与轴相交于点,与轴相交于、两点（点在点得左边）,
试求点、、得坐标；
（３）设点就是轴上得任意一点，分别连结、.
试判断:
与得大小关系,并说明理由、
D
A
O
x
y
C
B
.
（第24题图）
解:
（1）（4分）设抛物线得解析式为………………………1分
∵抛物线经过,∴,解得:
…………2分
∴（或）…………………………１分
（2）（4分）令得，∴……………………………………１分
令得,解得、………………………2分
∴、…………………………………………………………1分
（3）（4分）结论:
…………………………………1分
理由就是:
①当点重合时,有………………………………1分
②当,∵直线经过点、,∴直线得解析式为………３分
设直线与轴相交于点,令,得,
∴,
则关于轴对称
∴,连结，则，
∴,
∵在中,有
∴…………………………………１分
综上所得………………………………………………１分
７、.如图,已知二次函数y=－x2+bx＋c得图象经过Ａ（-2,－１）,B（０，7）两点.
（1）求该抛物线得解析式及对称轴;
（2）当x为何值时,ｙ>0?
（3）在ｘ轴上方作平行于ｘ轴得直线l,与抛物线交于C、D两点（点C在对称轴得左侧）,过点C、D作x轴得垂线,垂足分别为F、E、当矩形CDEF为正方形时，求Ｃ点得坐标.
解：
解:
（1）把Ａ（-2,-１）,B（0,７）两点得坐标代入
ｙ=-x2＋bｘ+c,得
，解得、
所以,该抛物线得解析式为y=－x2+2x+7，
又因为y=－x2＋２x+7=-（ｘ－１）2＋8,所以对称轴为直线ｘ=1、
（2）当函数值y=０时,
－x2+2x＋7＝0得解为x＝1±２
结合图象,容易知道１-２
＜x<1＋2时,y>0、
（3）当矩形CDEF为正方形时，设C点得坐标为（m,ｎ），
则n=－ｍ2＋2m＋7,即CF=－m2+2m＋7、
因为C、D两点得纵坐标相等,
所以C、D两点关于对称轴x=1对称,
设点Ｄ得横坐标为p,则1－m=ｐ-１，
所以p=２-m，所以CD＝（2－ｍ）－m＝2－2m、
因为CD=CF，所以２-２m＝－m2＋2m+7,
整理,得m2-4m-5=0，解得m＝-1或５、
因为点C在对称轴得左侧,所以m只能取－1、
当m＝－1时,
n=－ｍ２+2ｍ＋7=-（-1）2＋２×（－1）＋7＝4、
于就是，点C得坐标为（－1,4）.
8、如图,在△AＢC中，已知AB＝BC＝ＣA＝4cm，ＡＤ⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA、ＡB向终点B运动,速度为2cｍ/ｓ，设它们运动得时间为x（s）。
⑴求x为何值时,ＰQ⊥AC;
⑵ 设△PQＤ得面积为y（cm2）,当0＜x<2时，求ｙ与ｘ得函数关系式;
⑶ 当０<ｘ<2时,求证:
ＡD平分△PＱD得面积；
⑷ 探索以PQ为直径得圆与ＡC得位置关系，请写出相应位置关系得x得取值范围（不要求写出过程）。
解:
⑴∵当Q在AB上时,显然PＱ不垂直于AC。
当Q在ＡC上时,由题意得：
BP＝ｘ，ＣQ=2x,PC＝4－x,
∴ＡB=BC＝ＣA＝4,∠C=６0０，
若PQ⊥AC,则有∠QＰC=３00,∴PC＝2CＱ
∴4－x＝2×2x，∴x=
∴当ｘ＝（Q在AC上）时,PQ⊥AC;
⑵当０＜x＜２时，P在BＤ上,Q在AＣ上,过点Q作ＱH⊥BC于H，
∵∠C=600，QC＝2x,∴QH＝QC×sin600＝
x
∵AＢ=AC,AＤ⊥ＢC，∴ＢD=ＣＤ=ＢC＝２
∴ＤP=2-x,∴y=
PD·ＱＨ＝（２－x）·ｘ＝－
⑶当0∴HC=x,∴BP=HC
∵BD=CD,∴DP=ＤH,
∵AD⊥ＢC，QH⊥BC,∴ＡD∥QH,
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DＱO，
∴ＡD平分△PQD得面积；
⑷ 显然,不存在x得值，使得以PQ为直径得圆与AC相离
当x=
或时,以PQ为直径得圆与ＡC相切。
当0≤x＜
或
＜ｘ<或
９、已知抛物线与轴交于A、B两点,且点A在轴得负半轴
上，点B在轴得正半轴上.
（1）求实数ｋ得取值范围；
（２）设ＯＡ、OB得长分别为a、b,且a∶b＝１∶5，求抛物线得解析式;
（3）在
（2）得条件下,以ＡB为直径得⊙Ｄ与轴得正半轴交于P点，过P点作⊙D得
切线交轴于E点,求点E得坐标。
解:
（１）设点A（,0），Ｂ（,0）且满足<０<
由题意可知,即
（2）∵∶＝1∶5，设,即,则，即,
∴,即
∴,即，解得，（舍去）
∴ ∴抛物线得解析式为
（3）由
（2）可知,当时,可得,
即A（-1,０），Ｂ（5,０） ∴AＢ=6,则点D得坐标为（2，0）
当PＥ就是⊙D得切线时,PE⊥PD
由Rt△DPO∽Rt△DEP可得
即 ∴，故点E得坐标为（,０）
10、如图,抛物线y＝ax2＋ｃ（a＞０）经过梯形AＢCＤ得四个顶点,梯形得底AD在ｘ轴上,其中A（－2,0），Ｂ（－１, －3）．
（1）求抛物线得解析式;
（２）点Ｍ为y轴上任意一点,当点M到A、B两点得距离之与为最小时,求此时点M得坐标;
（3）在第
（2）问得结论下,抛物线上得点P使S△ＰAD＝４S△ABM成立,求点Ｐ得坐标.
解：
（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B得坐标适合抛物线方程
∴解之得:
；故为所求 ……４分
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M,则点Ｍ就就是所求作得点
设ＢD得解析式为,则有,,
故ＢD得解析式为;令则,故……８分
（3）、如图３,连接AM,BC交y轴于点N，由
（2）知,ＯＭ=OA=ＯD=2,
图3
易知BＮ=MN=1,易求
;设，
依题意有：
即:
解之得：
，,故符合条件得P点有三个:
……1２分
１１、如图,在平面直角坐标系中,O就是坐标原点,点A得坐标就是（﹣4,0）,点B得坐标就是（0,b）（b＞0）.P就是直线ＡB上得一个动点,作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y轴得对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´,P´A,P´C.设点Ｐ得横坐标为ａ．
（1）当b＝３时，
①求直线AB得解析式;
②若点P′得坐标就是（﹣1,m）,求ｍ得值;
（２）若点P在第一象限,记直线AB与P´C得交点为Ｄ.当Ｐ´D:
DC=1:
3时,求a得值；
（3）就是否同时存在ａ,b,使△P´CA为等腰直角三角形？
若存在,请求出所有满足要求得a,b得值;若不存在,请说明理由.
解：
（1）①设直线ＡＢ得解析式为y＝kｘ＋3,把x=﹣4,y＝0代入得：
﹣4k＋3=0,∴k＝,
∴直线得解析式就是:
y=x+３,……３分
②由已知得点Ｐ得坐标就是（1,m）,∴m＝×１+３=;……4分
（2）∵PP′∥ＡＣ，△ＰＰ′D∽△AＣD,∴=,即=,∴a=； ……６分
（3）以下分三种情况讨论.
①当点P在第一象限时,
１）若∠AＰ′C=９0°,P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H.
∴PP′=CH=AH=P′Ｈ=AC．
∴2ａ=（a＋4）
∴a=
∵Ｐ′H=ＰC＝AC，△ACP∽△AOB （2４题图1）
∴=＝,即=,
∴b=2 ……8分
2）若∠Ｐ′AC=90°,P′A＝CA （如图2）
则ＰP′=ＡC
∴2a=a+4
∴a＝4
∵Ｐ′A＝PC=AＣ,△ＡCＰ∽△ＡOＢ
∴=＝1，即=1
∴b=4 ……10分
3）若∠P′CA=90°,
则点Ｐ′,Ｐ都在第一象限内,这与条件矛盾.
∴△P′CＡ不可能就是以C为直角顶点得等腰直角三角形.
②当点P在第二象限时,∠P′ＣＡ为钝角（如图3）,此时△Ｐ′CA不可能就是等腰直角三角形；
③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4）,此时△Ｐ′CA不可能就是等腰直角三角形.
∴所有满足条件得a,b得值为
或 ……1２分
1２、
升级会员 