单招数学模拟卷.docx
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单招数学模拟卷
限时：
90分钟 满分：
122分
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P（2,1）的双曲线方程是（ ）
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1D．x2－＝1
解析：
选B 椭圆＋y2＝1的焦点为（±，0），因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A、C.又因为双曲线－y2＝1经过点（2,1），故排除D.
2．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 由题意知，圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，圆心坐标为（－1,2），将圆心坐标代入直线方程得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，平方得1＝a2＋b2＋2ab≥4ab，
所以ab≤.
3．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．5x2－＝1B.－＝1
C.－＝1D．5x2－＝1
解析：
选A 由题意得抛物线焦点为（1,0），
∴a2＋b2＝1.又∵e＝＝＝＝
∴a2＝，∴b2＝
∴该双曲线的方程为5x2－y2＝1.
4．已知数列{an}满足：
a1＝1，an>0，a－a＝1（n∈N*），那么使an<5成立的n的最大值为（ ）
A．4B．5
C．24D．25
解析：
选C ∵a－a＝1，∴数列{a}是以a＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a＝1＋（n－1）＝n，又∵an>0，∴an＝.∵an<5，∴<5，∴n<25.∴n的最大值为24.
5．直线y＝x与椭圆C：
＋＝1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 设直线y＝x与椭圆C：
＋＝1在第一象限的交点为A，依题意有，点A的坐标为（c，c），又因为点A在椭圆C上，故有＋＝1，因为b2＝a2－c2，所以＋＝1，所以c4－3a2c2＋a4＝0，
即e4－3e2＋1＝0，所以e＝.
6.设函数f（x）定义在实数集上，f（2－x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lnx，则有（ ）
A．f（2）B．f（2）C．f（2）
D．f
（2）解析：
选C 由f（2－x）＝f（x）得f（1－x）＝f（x＋1），即函数f（x）的对称轴为x＝1，结合图形可知f（2）．
7．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离．已知点A（1,0），圆C：
x2＋2x＋y2＝0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（ ）
A．双曲线的一支B．椭圆
C．抛物线D．射线
解析：
选D 如图所示，由题知圆C的圆心C（－1,0），A（1,0），令满足题意的点M到圆C的距离为|MO|，到点A的距离为|MA|，
∵|MO|－|MA|＝1＝|OA|，
∴O、A、M三点共线，∴动点M的轨迹是以A为端点的在x轴的正方向上的射线．
8．如图，过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝x
解析：
选C 过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得＝＝，所以|BB1|＝|FF1|＝，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|＝.令A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意知F，可设直线l的方程为y＝k.联立方程消去y得k2x2－p（k2＋2）x＋＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，则可得＋＝，于是有＋＝，解得2p＝3，所以此抛物线的方程是y2＝3x.
二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）
9．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a2－4×2×，故－2≤a≤2.
答案：
[－2，2]
10．已知k∈R，则直线y＝k（x－1）＋2被圆x2＋y2－2x－2y＝0截得的弦长的最小值为________．
解析：
因为直线y＝k（x－1）＋2过定点A（1,2），而该点与圆心（1,1）的距离为1，已知当定点A（1,2）为弦的中点时，其弦长最短，其值为2＝2＝2.
答案：
2
11．设椭圆＋＝1（m>n>0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．
解析：
因为抛物线y2＝8x的焦点坐标是（2,0），由此得＝，解得m＝4，由n2＝m2－22＝12，所以所求的椭圆方程是＋＝1.
答案：
＋＝1
12．已知抛物线y2＝ax过点A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为________．
解析：
由题意知点A在抛物线y2＝ax上，得1＝a，所以a＝4，故y2＝4x.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到此抛物线的焦点的距离为xA＋＝＋1＝.
答案：
13．已知直线y＝k（x－2）（k>0）与抛物线y2＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值.
解析：
直线y＝k（x－2）恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F（2,0），由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2，又因为k>0，故k＝2.
答案：
2
14．设双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右顶点分别为A1、A2，若点P为双曲线右支上的一点，且直线PA1、PA2的斜率分别为、2，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：
由题知A1（－a,0），A2（a,0）．设点P（x0，y0），
则有⇒＝1①，又由于点P在双曲线上，所以有：
－＝1⇒＝－1＝⇒＝②.由①、②可知＝1⇒＝1.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：
y＝±x
三、解答题（共4个小题，每小题13分，共52分）
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sinB＝.
（1）求cosA及sinC的值；
（2）若b＝2，求△ABC的面积．
解：
（1）因为A＝2B，
所以cosA＝cos2B＝1－2sin2B.
因为sinB＝，
所以cosA＝1－2×＝.
由题意可知，A＝2B,0所以cosB＝＝.
因为sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝.
所以sinC＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
（2）因为＝，b＝2，
所以＝.
所以a＝.
所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝.
16．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
（1）求证：
BC⊥平面ACD；
（2）求二面角A－CD－M的余弦值．
解：
（1）证明：
在题图1中，根据已知条件，可得AC＝2，由题易知∠CAB＝45°，又∵AB＝4，由余弦定理得
CB2＝
（2）2＋42－2×2×4×cos∠CAB＝8，
故CB＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，
又∵平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC.∴OD⊥BC.
又∵AC⊥BC，AC∩OD＝O.
∴BC⊥平面ACD.
（2）在题图2中，取AC的中点O，连接OM，由
（1）易知OM⊥AC，以O为坐标原点，OA，OM，OD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．由
（1）知M（0，，0），C（－，0,0），D（0,0，），
故
＝（，，0），
＝（，0，）．
设n1＝（x，y，z）为平面CDM的法向量，
则
即，解得
取x＝－1，则n1＝（－1,1,1）
由题易知n2＝（0,1,0）为平面ACD的一个法向量，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝.
所以二面角A－CD－M的余弦值为.
17．已知椭圆C1：
＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，
＝2
，求直线AB的方程．
解：
（1）由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1（a>2），
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
（2）法一：
A，B两点的坐标分别记为（xA，yA），（xB，yB），由
＝2
及
（1）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得（1＋4k2）x2＝4，
所以x＝；
将y＝kx代入＋＝1中，得（4＋k2）x2＝16，
所以x＝.
又由
＝2
，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：
A，B两点的坐标分别记为（xA，yA），（xB，yB），
由
＝2
及
（1）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得（1＋4k2）x2＝4，所以
x＝，由
＝2
，
得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
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