第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结.docx

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第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结

第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析

主要内容：

1、对偶问题及其性质；

2、对偶单纯形法；

3、灵敏度分析。

重点与难点：

对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方法。

要求：

理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够

用这些数学方法解决实际问题。

§1对偶问题的对称形式

一、对偶问题

弓侧，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及A、B两种原材料

的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙可获利3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利

最多？

甲

乙

设备

8台时

原材料A

16kg

原材料B

12kg

解：

设Xi、X2分别为甲、乙两种产品的产量

作一比较：

若用一个单位台时和4个单位原材料A生产一件产品甲，可获利2元，那么生产每件产品甲的设备台

时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。

即:

y^4y^2

同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。

即:

2力4y33

将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为

。

=8y〔+16y2+12y3

对工厂来说，••越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下,使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。

为此，得到如下模型：

min=8y116y212y3

"+4丫2工2<2yi+4y^3

Jj>0,j=1,2,3

我们就称

（2）为模型

（1）的对偶问题。

一般地，设原问题为

maxz=c/c2x2……cxn

'aiiXi+ai2X2+…+amXn兰b

a2lXl+a22X2+■八+a2nXn兰b2

aaaa

■■■■

■s■■■■

amiXi+am2X2+*amnXn兰*

Xj_0,j=i,2,,n

则其对偶问题为：

min二byb?

y2^^n

Niyi+a2〃2+…+amiymA"

ai2yi+a22y2*+am2ym®C2

m-a-

<■■■■

ainyi+a2ny2++amnym®Cn

yi一0,i=i,2,,m

矩阵形式：

原问题对偶问题

maxz=cXmin=Yb

'AXEb,、Ya启C（实际为ATyT^CT）

X>07>0

、原问题与对偶问题的关系

原问题（或对偶问题）

对偶问题（或原问题）

目标函数maxz

目标函数mineo

变n个

n个约

>束

量<0

无约束

<条

=件

约m个

束<

条>

件=

m个变

<0卓

量无约束

约束条件右端项目标函数变量的系数

目标函数变量的系数约束条件的右端项

例1求下列问题的对偶问题

minz=2x13x2-5x3x4

x1+x2-3x3+x4>5

2x1+2x3—x4兰41x2+x3+x4=6捲_0,x2,x3-0,x4无约束

解：

max=5y!

4y26y3

»+2y232

yi*3兰3

«—3%+2y?

+y3兰一5

yi-丫2*3=1

yi-0』2空0小无约束

§2对偶问题的基本性质

、对称性：

对偶问题的对偶是原问题。

证：

设原问题为

maxz二cX

则其对偶问题为：

min=Yb

YA_C

对上式两边取负号，

得-min二-Yb

YAC

-max（-代）=

min

max（-

⑷）=_

-YA-

Y-

上式的对偶问题为

min（

v）=

-AX

--b

-0

（两边同取负号）

-min（-v）二maxvmaxv二CX二maxz

AXb

（0）（0）cX（0）：

：

Y（°）b

二、弱对偶性：

若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，则存在CX一丫b。

（0）

证：

X是原问题的可行解

同理Y（0）A—C，用X（0）右乘之得丫（0）AX（0）一CX（0）

CX（0）’Y（0）AX（0）’丫⑼b,故CX（0XY（0）b

三、无界性：

若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。

注意：

此性质不可逆。

（0）（0）

四、可行解是最优解时的性质最优性：

设X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，当

（0）.（0）（0）（0）

CX-丫b时，X、丫是最优解。

五、对偶定理（强对偶性）：

若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。

反之，若其一无最优解，则另一也无最优解。

（0）（0）（0）、^

六、互补松弛性：

若X、Y分别是原问题和对偶问题的可行解，那么YXs二0和

二YAXYXs

若YsX（0）=0,丫（0）Xs二0；则Y（0）b二Y（0）AX（0）二CX（0）

（0）（0）

由性质4知，X、Y为最优解。

又如果X（0）、丫（0）为原问题和对偶问题的最优解，由性质4有CX（0）=Y（0）AX（0）=Y（0）b即Y（0）AX（0）-YsX（0）=丫⑼AX（0）=Y（0）AX（0）Y（0）Xs

必有YsX（0）=0，丫（0）Xs=0

例2已知线性规划问题

maxz=x「x2

捲+x2+X3兰2r

Xi,X2,X3

试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。

上述问题的对偶问题为

min二2y「y2

-y<2y^1

y「y2-1

yi-y^0

yi,y^0

由第一个约束条件知，对偶问题无可行解，所以，由对偶定理知，原问题无最优解。

七、对偶问题的经济解释----影子价格

由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题和对偶问题的目标函数值相等，即有

求z对b的偏导数得:

其经济学意义是：

在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。

i的值代表对第i种资源的估价，这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，称它为“影子价格”。

影子价格随具体情况而异，在完全市场经济条件下，当某种资源的市场价格低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价格高于企业影子价格时，则企业应把已有的资源卖掉。

可见，影子价格对

市场有调节作用。

§3对偶单纯形法

—、基本思路

对偶单纯形法是运用对偶原理求解原问题的一种方法，而不是求解对偶问题的单纯形法。

首先讨论这样一个问题：

min二Yb;YA丫眇c;Y,Ys0

设B是原问题的一个可行基，于是A=（B|N），原问题可改写为：

maxz二CBXBCNX

BXbNXnXs=b

&b,Xn,Xs=0

相应地对偶问题可以表示为

minmin二Yb

Yb飞=Cb

（1）

Yn-Ys^=Cn

（2）

丫,丫0,丫5-0

这里Ys=（Yd%）

Y$----对应原问题中基变量xb的剩余变量

Ys2----对应原问题中非变量

Xn的剩余变量

当求得原问题的一个基解Xb二B’b，其相应的检验数为Cn一CBB1N与一CBB1。

现

分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系：

令Y=CbB，1代入⑴、

（2）得

Ys^0

飞=CnCbB1N

由此可得出：

原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，其对应关系如下：

Cn-CbB」N

-CbBJ

YS2

-Y

说明：

在单纯形表中若在b列中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解，当在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，根据性质知，已知到最优解，即原问题与对偶问题是最优解。

根据对偶问题的对称性，可这样考虑：

若保持对偶问题的解是基可行解，即Cj-CBB」Pj乞0，而原问题在非可

行解的基础上，逐步迭代达到基可行解，这样也得到了最优解。

方法是：

设原问题maxz=CX

；AX=b

X艺0

设B是一个基，令B=（Ph，P2,…,Pm），它对应的变量为Xb=（为公2,…,Xm）T

当非基变量都为零时，可以得到XB=B，b，若在B4b中至少有一个负分量，设2北）「：

：

0，并且在单纯形表

的检验数行中的检验数都为负值，即对偶问题保持可行解，它的各分量是：

1.对应基变量x1,x2/,xm的检验数是

-^c^CbB4Pi=0,i=1,2,,m

2.对应非基变量xm1,xm-2/',xn的检验数是：

■j=Cj-CbBPjgj二m1,m2,,n

每次迭代是将基变量中的负分量Xl取出，去替换非基变量中的Xk，经基变换，所有检验数仍保持负值，原问题逐

步由非可行解向可行解靠近，当原问题得到可行解时，便得到了最优解。

二•计算步骤

（1）列出初始单纯形表，若所有b■0，‘j'0，则停止计算，已得到最优解。

若b中含有负元素，

则需继续计算。

⑵确定换出变量叫门{（Bb）i（Bb）i<0}=（Bb）i，基变量X|为换出变量。

（3）确定换入变量

检查X|行的系数aj,若所有aij>0,则无可行解，停止计算。

若存在3|j<0,则继续计算。

（4）以alk为主元素进行取主变换。

例3、用对偶单纯形法求解。

minz=2x「3x24x3

x「2x2x33

xi,X2,X3

解：

化为标准型

maxz二2x<3x24x3

maxz二-2捲-3x2-4x30x40x5

--2x2-x3兰-3

2x「x23x3'4

心X2,X30

—Y—OY—Y+w兰—O

1234

2x「x23x3x5'4

Xj-0,厂1,2,,5

5/：

-4-1

二min厂，—

I-5/2-1/2J-

取X2为换入变量。

b问题的0优『X*j「（01/5,2/5,0,0,0）

三•对偶单纯形的优缺点

优点：

（1）初始解可以是非可行解，当检验数为负数时，就可以进行基的变换，这时不需加入人工变量，因此可以简化计算；

（2）对变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法计算可以减少工作量；

（3）在灵敏度分析中，有时用对偶单纯形法，使问题的处理简化。

缺点：

对大多数线性规划问题，很难找到一个初始可行基，因而这种方法很少单独使用。

§4灵敏度分析

在以前讨论线性规划问题时，假定aq,b,Cj都是常数。

但实际上这些系数往往是估计值。

如果市场条件一

变，Cj值就会变化；aq往往是因为工艺条件的改变而改变；b是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选

择。

所谓灵敏度分析，就是要研究初始单纯表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时，原最优基仍然是最优的；若原最优基不是最优的，如何用最简单的方法找到新的最优解。

当系数发生变化后，原结果一般会发生变化，当然，可用单纯形法从头计算，这样很麻烦，而且也没有必要。

因为在单纯形法计算时，每步运算都和基变量的系数矩阵B有关。

因此，可把变化的系数，经计算后直接填入最终表，并进行检查和分析，可按以下几种情况处理：

原问题

对偶问题

结论或继续计算的步骤

可行解

P可行解

表中的解仍为最优解

可行解

非可行解

用单纯形法继续计算求最优解

非可行解

P可行解

用对偶单纯形法计算求最优解

非可行解

引入人工变量，编制新单纯形表求最优解

一、资源数量（限定系数b）变化的分析

设第r个约束方程的右端常数br变为br二br•厶br,其它系数不变，这样最终表中原问题的解XB就变为

XB二B」（b：

b）=（0,，:

br,O,,0）T

只要Xb-0，最终表中检验数不变，则最优基不变，但最优值发生了变化。

新的最优解的值可允许变化范围的确定:

■0-

iiiii

B（b，b）二BbB-b=BbB

"ai^br

.0一

"air"i

Jam^br

这时最终表中b列的所有元素b+airAbr兰0,i=1,2,…,m

即br_-bir

当ar>0时，^b^-b^/air

当<0时，如兰-6/a

于是，max'—b/airair兰AbrEmin£/air|air£0>

ii1

AB原材料的消耗。

以引例为例，某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及

甲

乙

设备

8台时

原材料甲

16kg

该工厂每生产一件产品甲可获利

2元，生产一件乙产品可获利3元，问如何安排生产该工厂获利最多

解：

maxz=2为3x2

x-^+2x2<8

Xi,X2分别是甲、乙两种产品的产量

2x1<164x2<12[Xi,X2Z0

一0

1/4

_01

解：

B亠Ab二

1/2

-8

1/2

—1/8

0一

■

例4、在上例中，若该厂又从别处抽出

将该结果反映到上表中，变为

经过运算得如下最终表：

23000

CBXBb

X1X2X3X4X5

2为4

1001/40

0x54

00-21/21

3X22

011/2-1/80

-1.5-1/8

4台时设备用于生产甲、乙产品，求这时该厂生产甲、乙产品的最优方案。

4+0

1/4

4-8

[-2]

1/2

2+2

1/2

-1/8

-1.5

-1/8

1/4

-1/4

-1/2

1/4

-1/2

-3/4

X,获利Z=4233=17兀

〔3

二、目标函数中价值系数Cj的变化分析

分两种情况来讨论：

1、若cj是非基变量Xj的系数，它的检验数为:

二Cj

CbB

Pj（或二厂Cj八aijyi）

i=1

当Cj

变化

Cj后，需保证

=Cj

+Ac-

CbB1pj=0

即

Cj’

ypj

C-

Jj，才能满足原最优解的条件。

2.若Cr是基变量Xr的系数

C「Cb当Cr变化心Cr时，就引起Cb变化。

7j=Cj-CbB、=Cj-（CbCB）B1pj

=Cj-CbBS-（0,,Cr,,O）B「1pj

=Cj-CbB1p^Crarj

」j-CrN（p1,2,,n）

—-1注:

aij为Bpj中第r个元素

若要使原最优解不变，就须满足匚j-0，于是得

arj0,Cr

arj

：

Cr的变化范围为

例5、在引例中，设基变量

x2的系数c2变化.■■：

c2，在原最优解不变条件下，试确定

解：

X2为基变量，Q即为CB3

召33二0.5,目34…0.125

「3…1.5,「4…0.125

••maxW—mina绍

I0.5J1-0.125J

即，-3-c^-1

分三种情况讨论技术系数aij的变化:

例6、分析在原计划中是否应该安排一种新产品。

在引例中，设该厂除了生产产品甲、乙外，现有一种新产品丙，已

知生产丙产品，每件需消耗原材料A、B各为6kg、3kg，使用设备2台时，每件可获利5元，问该厂是否应该生产该产

品和生产多少？

解：

分析问题的步骤:

对应X3的检验数为

：

二3=c3-CBB」p3=5_（1.5,1/8,0）（2,6,3）t=1.25>0,说明生产丙产品是有利的。

（2）计算丙产品在最终表中对应x3的列向量

并将

（1）、

（2）的计算结果填入最终表:

1/4

3/2

-22

1/2

[2]

1/2

-1/8

1/4

-1.5

-1/8

1.25

3/2

-1/8

-3/4

-1

1/4

1/2

1.5

3/4

-3/16

-1/8

-1/4

-7/16

-5/8

由于b列的数字无变化，原问题的解是可行解，但二3=1.25•0,说明目标函数值还可改善。

（3）将X3作为换入变量，X5作为换出变量，进行运算求最优解（见上表）。

这时最优解为=1,X2=1.5,X3=2；

总利润为16.5元，比原计划增加了2.5元。

例7、分析原计划生产产品的工艺结构发生变化。

在引例中，若原计划生产甲产品的工艺结构有了必改进，这时有关它的技术系数向量p；=（2,5,2）T，每件利润4元，试分析对原最优计划有什么影响？

检验数

G=Ci—CbB’pI=4一（「5,1/8,0）（2,5,2）丁=38

3.2单位，生

将上述结果填入最终表x1的列向量位置得：

[5/4]

1/4

1/2

-2

1/2

3/8

1/2

-1/8

3/8

-3/2

-1/8

3.2

0.2

2.4

-2

0.4

0.8

0.5

-0.2

-1.5

-0.2

从表中可看出，原问题和对偶问题的解都是可行解，所以表中的结果已是最优解，即应生产甲产品产乙产品0.8单位,可获利15.2元。

注：

若原问题和对偶问题均为非可行解时，需要引进人工变量后重新求解。

例&增减约束条件的分析。

已知下列线性规划问题

maxz=9为8x250x319x4

3音+2x2+10x3+4x4兰18

2X3十丄％4兰3

Xj一0（j=1,2,3,4,）

其最终单纯形表：

4/3

2/3

-10/3

-1/2

-1/3

-1/6

4/3

CTj-4-2/3-13/310/3

如果在上述问题中增加约束条件

4x「3x25x32x4_8

试分析对原最优解有何影响？

解：

将原最优解X*=（0,0,1,2,0,0）t代入新增约束条件检验：

40305124=138

须将该约束条件引入单纯形最优表继续迭代。

加入松弛变量x7，新增约束条件变为

4%+3x2+5x3+2x4

+x7=8

与原约束方程联立，消去X3,X4得

捲+2x2—x5+x7

=—1

用对偶单纯形法求解：

4/3

2/3

-10/3

-1/2

-1/3

-1/6

4/3

-1

5/2

[-1/2]

-4

-2/3

-18/3

10/3

2/3

16/3

-10/3

4/3

-4/3

-1

4/3

-1/3

-5

-4

-2

-77/3

-18

-10/3

-26/3

**42t-新的最优解X=（0,0,—，,2,0,0）33

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