刘占国利息理论习题解答.doc

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《利息理论》习题详解

第一章利息的基本概念

1、解：

（1）

又

（2）

（3）

2、解：

3、解：

4、解：

（1）

（2）

5、证明：

（1）

（2）

6、证明：

（1）

又

（2）由于第5题结论成立，当取时有

7、解：

（1）由单利定义有

（2）由复利定义有

8、解：

（1）有单利积累公式建立方程有

解得

（2）由复利积累公式建立方程有

解得

9、解：

（1）以单利积累计算

（2）以复利积累计算

10、解：

设在第n期等价于5%的实际利率有

又

解得

11、解：

设该款项的金额为有

（1）在第三个月单利利息为：

在第三个月复利利息为：

（2）在第六个月单利利息为：

在第六个月复利利息为：

12、解：

设原始金额为有

解得

13、证明：

（1）令有

，

又

，即在是单调减函数，因此有

当时有，命题得证。

（2）若有：

，故命题得证。

（3）由

（1）知，当时有，所以，为单调增函数，所以当时有，命题得证。

14、证明：

设利率是i，则n个时期前的1元钱的当前值为，n个时期后的1元钱的当前值为

又，

当且仅当，等号成立。

那么当和时命题成立。

15、解：

又

16、解：

（1）对于复利，

所以

（2）对于单利

17、解：

（1）对于复利

所以

（2）对于单利

18、解：

表示-1期取到的贴现金额，表示0期单位金额在-1期的现值，同理表示-时期取到的贴现金额，表示0期单位金额在-期的现值。

和分别表示在0时刻投入单位金额在期和1期时获得的利息金额，和分别表示在0时刻投入单位金额在期和1期时获得的积累值。

19、解：

（1）

（2）

20、解：

（1），

所以m=30

（2），所以和

（1）有类似的解答m=30。

21、解：

则有

，又

，即在是单调增函数，即，故

有同前分析可知为单调减函数

又，有

，所以在是单调增函数，那么，即。

类似构造函数可证明。

综上所述有。

22、解：

，

23、证明：

（1）

又，

（2），

由第5题结论得

24、解：

，

25、解：

设常数实际利率为i有

解得

26、解：

（1），

（2），

（3），

（4），

27、解：

（1），

（2），故类似

（1），将在i=0处泰勒展开有

（3），故将在i=0处泰勒展开有

（4），故将在处泰勒展开有

（5），故将在d=0处泰勒展开有

28、证明：

，又

，其中，原命题得证。

29、解：

，

30、解：

31、解：

（1）1997年7月1日到1999年7月1日实际经历了365×2=730天，1999年7月1日到1999年12月20实际经历了31+31+30+31+30+20=173天。

共经历730+142=903天。

（2）360×（1999-1997）+30×（12-7）+（20-1）=720+150+19=889天

（3）按银行家法则计算的天数与实际计算天数一样是903天。

32、解：

（1）投资天数：

25+31+31+8=95

投资所得利息：

10000×0.1×95/365=260.27397

（2）投资天数：

25+30+30+8=93

投资所得利息：

10000×0.1×93/360=258.33333

（3）投资天数：

25+31+31+8=95

投资所得利息：

10000×0.1×95/360=263.88889

33、解：

=0.025

又

34、解：

35、解：

，解得t=1.4328年

36、解：

设第十年末未付金额为x，有

又

解得x=657.8375

37、解：

解得v=0.83333

代v入求得X=1359.84

38、解：

39、解：

故令有又因t>0,故T==0.4142

40、解：

，解得j=0.073465

41、解：

，有

42、解：

43、解：

解得i=0.058127

44、解：

，解得v=0.87111

45、解：

，解得i=0.125

46、解：

，又因

47、解：

，解得j=0.1

48、解：

解得i=0.054941

49、解：

，解得k=0.0733033

50、解：

，解得j=0.0443866

51、解：

，解得j=0.079106

52、解：

，解得i=0.730274

53、解：

，解得j=0.0756375

第二章年金

1、证明：

，即原命题得证。

2、解：

3、证明：

原命题得证。

4、解：

实际月利率为，

5、解：

，

又，，可得

6、解：

，，解得

即，解得i=0.08299

7、解：

X取得的存款为：

8、解：

，，解得R=12968.71

9、解：

，解得R=15187.48

10、证明：

，又，，原命题得证。

11、证明：

，

，原命题得证。

12、解：

，代入解得K=1800.

13、解：

，表示第一个10年期末投资1元的现值，表示第二个10年期末投资1元的现值，表示第三个10年期末投资1元的现值。

总结起来就是连续30年期末投资1元的现值。

14、解：

，，解得

15、解：

，

16、解：

依题意得：

，最接近，所以取n=9，领头差为2000-50×10.80211-50×26.85508=32.41

17、解：

月利率为0.096/12=0.008，

，，解得n=95.6取整数n=95，

又，解得f=965.75

18、证明：

所以将f（i）在i=0处泰勒展开有

19、解：

设每年计息2次的名义利率为，依题意得：

，查表有当时，；当时，，所以，所以

20、解：

21、解：

22、解：

设第i期的存款本利和为，依题意得：

又，

23、解：

前6年为i=0.04的期末付款年金，后4年为付款频率低于计息频率年金，其中n=16，k=4，，年金现值表示为。

所以总年金现值为。

24、解：

设第一次存款额为x，依题意得：

该存款可以看作是两笔间隔期为1年的存款总和，第一笔是从1988年1月1日起存入，之后每年1月1日相继存入的存款；第二笔是从1988年7月1日起存入，之后每年7月1日相继存入的存款。

第一笔年金存款额为，

第二笔年金存款额为

计算这两笔年金的利率为，故根据付款额成等比数列关系的年金公式知第一笔年金积累值可表示为，其中n=11。

第二笔年金积累值可表示为，所以

，解得x=166.756

25、解：

，又代入得，解得n=16.867。

又，由拉格朗日定理知道，所以，解得

26、解：

，解得i=0.04。

27、解：

，解得

i=0.06。

28、解：

设3年的实际利率为j，有，又，，解得i=0.195。

29、解：

，，又，，

，即

30、解：

，

，即

31、解：

，

32、解：

，，又，

，即

33、证明：

由第一章21题结论可知，所以，同理可证，，，故原命题得证。

34、解：

，，两式相乘有，解得：

（舍去负值）

35、解：

前n年的年金现值是，n年后永续年金的现值是，所以有

36、解：

，即

，解得i=0.0629955

37、解：

原每年末支付1元的年金现值为，第二年开始每隔2年多支付1元的年金现值为，所以总年金现值为

38、解：

，又，，

39、解：

，代入有

又，，

40、解：

，

41、解：

因为第六、第七次付款现值相等，所以有，即。

由首期付款为P，以后每期比前一期增加Q的期末付永续年金公式有，这里P=1，Q=2，。

所以

42、解：

该存款可分为两部分，第一部分每年年初存1000元，共存5年；第二部分从第6年起存1000×（1+0.05）=1050元，之后每年递增5%，共存5年。

第一部分积累值为，第二部分的积累值为，所以。

43、证明：

44、证明：

，

，

又，

，即，

，原命题得证。

45、解：

，解得K=2606

46、解：

由付款频率高于计息频率的年金公式知，解得R=472.05714。

又，解得，所以。

47、解：

48、解：

，，

49、解：

（1）

（2）

50、解：

，，有，

第三章收益率

1、解：

，解得v=，所以i=

2、解：

3、解：

，

，

，解得，所以i=0.1976

4、解：

，解得v=0.95238或v=0.97087，所以i=0.05或i=0.03。

5、解：

，又，

6、解：

，又

，即，解得v=0.92，所以i=0.08688

7、解：

设股票年收入价格为P，依题意得，解得v=0.8929，所以i=0.11995

8、解：

，解得k=0.14117

9、证明：

设每年投资款项为R，有，

，即

10、证明：

11、解：

，解得i=0.0616

12、解：

，解得i=0.115，乙的投资本利和为

13、解：

，

14、解：

，其中，

，

15、解：

，，即，

16、解：

，解得j=0.04438

17、解：

解得k=979.92

18、解：

，当资金收入的平均时间为时，，

19、解：

（1），

（2），

20、解：

，，又

，解得i=0.045

21、解：

同理可求得，

22、解：

，所以选择第一种付款方式

23、解：

，

，解得i=0.295

24、解：

由题意有方程组

，解方程组后得

25、解：

，A=273000，B=372000，I=1800，代入有k=0.66667

所以12×0.66667=8个月，投入或收回净资金的时间是9月1日。

26、解：

以1990年首次付款为例有一年后的两年期远期利率满足，解得f=0.0815

三年后的两年期远期利率满足，解得f=0.086

27、略

28、

第四章债务偿还

1、解：

用过去法有

2、解：

一次性还款利息为，均衡还款的利息为，所以，解得X=700

3、解：

设最初贷款额为X，有，解得X=16514

4、解：

年利率为i，每年还款中本金部分为，则，同理当年利率为2i时，有等式，解方程组得i=0.069

5、解：

（1）过去法：

（2）未来法：

6、证明：

，

（1）

（2），这里因为贷款余额越来越小，所以，，即有

7、解：

本问题属于有n=10个计息期，每个计息期偿还贷款m=12次问题。

第40次还款的贷款余额为

8、解：

9、解：

设在第k次还款时利息部分与本金部分最接近，有，即，解得k=12.96，取整数有k=13。

10、解：

，

由解得，

11、解：

，，所以最后5次还款中的本金部分为，代入得

12、证明：

因为在第7次还款时额外还了第8次的本金，那么第8次还款就不需要，这样就省掉了第8次需要还的利息，以后的还款继续从第9次开始，所以总共节省了利息。

13、解：

解方程组有P=144，v=0.9057，

14、解：

设L、N的贷款总额为B，L每次还款额为，N每次还本金，当

成立时有，取整数有t=13

15、解：

按还款额成等比数列的公式有，其中，解得P=493.85

16、解：

没半年还款一次，总共还款10次，所以第8次还款中本金部分为

17、解：

依题意得第3次还款中本金部分为3000-2000=1000，即，其中，代入解得，所以第6次还款中本金部分为

18、解：

本问题是付款次数多于计息次数的问题，，所以利息收入为

19、解：

设每月利息为j，则，所以每月还款额为，又，解