小学奥数系统总复习.docx
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小学奥数系统总复习
奥数教学简介
一、课程特色：
1、教材与现行小学奥数教程同步；
2、教材难度适中，体现科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。
二、教学理念：
通才教育和趣味教育。
三、教学目标：
以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩，培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力，进而开拓学生的思维，为学好奥数打下坚实的基础。
如何学好奥数？
1、直观画图法：
解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。
2、倒推法：
从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。
3、枚举法：
奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。
我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。
4、正难则反：
有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。
5、巧妙转化：
在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。
转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。
6、整体把握：
有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。
第一讲
第一题：
时钟问题
有一个始终每小时快20秒，它3月1日中午12点准确，下一次准确的时间是什么时间？
（5月30日12时）
答：
一圈快20x12=240秒=4分，一共要快几圈才会正好对准标准时间12x60÷4=180（圈），换算成是几日180x12=2160时=90日，3月1日中午12时+90日=5月30日12时
第二题：
几何问题
如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知AB=BC=10，那么阴影部分的面积是多少？
（圆周率取
答：
第三题：
和差倍问题
春风小学原计划种杨树、柳树和槐树共1500棵，植树开始后，当种了杨树总数的3/5和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这是剩下的3种树的棵数恰好相等，问原计划要栽植这三种树各多少棵？
答：
假设杨树、柳树和槐树棵树分别为：
a、b和c，由题意可得：
a+b+c=1500（1-3/5）a=b-30b-30=c+15
易得到三种树分别为：
825、360、315棵
第四题：
行程问题
甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。
已知甲、乙的速度分别为米／秒和米／秒。
问：
（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？
（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？
答：
（1）250秒；
（2）4次。
如图，构造柳卡图，可见比赛开始250秒后甲追上乙，他们相遇4次。
第五题：
速算与巧算
答：
2/45
第二讲
【计算题】
1．难度：
★★★★
（1）计算：
（2）（结果写成分数形式）
【答案】
2．难度：
★★★★★
某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于，且每名同学的得分都是整数。
请问：
这13名同学的总分是多少？
计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？
【答案】
平均数的范围是在~之间的数。
这13个同学的总分最小为13×=分，最大为13×=分，每个同学的得分是整数，那么总分也一定是个整数，所以这13个同学的总分为1110分，则他们的平均分四舍五入到百分位为分。
第三讲
【计算题】
1．难度：
★★★★
将15个相同的悠悠球分装到四个相同的纸盒中，要求每个盒子中至少装一个，且每个盒子装的数量都不相同，问共有_____种装法。
【答案】
因为2+3+4+5=14，所以最小两个加数只能为1和2；1和3；1和4；2和3四种情况：
⑴15=1+2+3+9
（2）15=1+3+4+7（3）无（4）15=2+3+4+6
=1+2+4+8=1+3+5+6
=1+2+5+7
因此15个悠悠球放在不同纸盒里共有3+2+1=6种不同的装法。
2．难度：
★★★★★
将一个等边三角形各边七等分后再连接相应的线段得到下图，问图中共有多少个三角形？
【答案】
正立的：
边长是1有：
1+2+……+7=28
边长是2有：
1+2+……+6=21
边长是3有：
1+2+……+5=15
…
边长是7有：
1个
倒立的：
边长是1有：
1+2+……+6=21
边长是2有：
1+2+3+4=10
边长是3有：
1+2=3
因此共有：
28+21+15+10+6+3+1+21+10+3=118
第四讲
【几何问题】
1．难度：
★★★★
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
【答案】
2．难度：
★★★★★
一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米。
那么，这个立体图形的表面积是多少平方厘米?
【答案】
采用“三视图”的方法，立方体总表面积=（正面面积+侧面面积+上面面积）×2+遮挡部分的面积，正面面积=5×5+（2×2+1×1）×2=35平方厘米，侧面面积=5×5+（2×2+1×1）×2=35平方厘米，上面面积=5×5=25平方厘米，遮挡部分的面积=（2×2+1×1）×8=40平方厘米，所以总表面积=（35+35+25）×2+40=230平方厘米。
第五讲
【数论问题】
1．难度：
★★★★
已知九位数2012□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是多少？
【答案】
设原数为，是9的倍数和11的倍数，那么一定是99的倍数。
根据99的整除特征，两位一截后得到的两位数相加，是99的倍数，只能是99，所以，所以b=6，a=2。
2．难度：
★★★★★
四个连续自然数的乘积是11880，求此四个数。
【答案】
，把这些质因数搭配成4个乘数，并且要求是连续的，11比较大，我们不妨从11入手，只能有8，9，10，11或是9，10，11，12，前者不成立。
那么这四个数是9，10，11，12。
第六讲
【应用题】
1．一个农夫看见池塘里有一群鹅，他自言自语地说：
“我如果有这些鹅，再加上这些鹅，然后再加上这些鹅的一半，又加上这些鹅的一半的一半，最后再加上我家里的5只，就正好是93只鹅。
”池塘里有鹅多少只。
【解析】
。
2．老师买来120支铅笔分给四、五、六年级的同学，其中分给四年级，分给五年级，那么六年级分到铅笔___________支.
【解析】
简单分数量率对应应用题，
3．小明看《丁丁历险记》的连环画，第一天看了全书的还多4页，第二天看了余下的还多5页，第三天看了剩下的还多6页，第四天看了2页就将全书看完了。
这本书一共有页
【解析】典型还原问题，列综合算式即可，
页
4．陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生成。
这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。
问：
如果放牧250只羊可以吃多少天？
放牧这么多羊对吗？
为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？
【解析】
每只羊每天吃草量为1份。
新生草量：
（份）
原有草量：
（份）
250只羊可吃：
（天）
放牧这么多羊不对。
最多放牧50只羊，因为每天新增草50份，刚好够50只羊吃。
第七讲
1．一箱苹果，按每千克元卖，亏12元，按每千克元卖，赚3元，要想不亏不赚，每千克应卖元.
【解析】
如果1千克按元卖，4千克按元卖，则刚好亏的和赚的抵消，平均每千克卖＋×4）÷（1＋4）＝2（元）.
2．将一群人分为甲、乙、丙三组，每人都必在且仅在一组。
已知甲、乙、丙的平均年龄分别为37、23、41。
甲、乙两组人合起来的平均年龄为29；乙、丙两组人合起来的平均年龄为33。
则这一群人的平均年龄为。
【解析】
甲、乙两组人的年龄比为（29-23）：
（37-29）=3:
4，乙、丙两组人的年龄比为（41-33）：
（33-23）=4:
5，所以甲、乙、丙三组人的年龄比为3:
4:
5，这群人的平均年龄为（岁）。
3．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形映的比例却提供了匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。
在人体下躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近，就越给人一种美的感受。
如果某女士身高为米，下躯干与身高的比为，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为多少厘米。
【解析】该女士下躯干高160×=米，设高跟鞋的高度为x米，从而，解得（厘米）（厘米）
第八讲
1．小王期末考试得了满分，但老师在评讲试卷时小王突然发现在做一道数学填空题时，算到最后一个结果是一个数乘以8，再减去63，由于粗心，把乘法算成除法，把减法算成加法，但凑巧的是得数是对的，这道数学题得数是.
【解析】
设数为a，则有a×8－63＝a÷8＋63，求得a＝16，结果为16÷8＋63＝65。
2．天津红气球小学六年级同学参加运动会，每人都在长跑、短跑和接力三个项目中选择两项参加。
已知参加长跑的有28人，参加短跑的有25人，参加接力的有33人。
那么，参加长跑和接力两项的有。
【解析】
容易计算一共有六年级学生（28﹢25﹢33）÷2=43人，所以参加长跑和接力的人有43-15=18。
3、我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。
天干有10个：
甲乙丙丁戊已庚辛壬癸。
地支有12个：
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。
将天干的10个流字与地支的12个汉字循环对应排列成如下两行：
……甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊……
……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅……
例如：
公历2000年，干支纪年为庚辰年。
那么公历2003年，干支幻年为年。
请你阅读下面的故事：
我国着名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：
“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，我翻看了一篇《赤壁赋》，《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的？
书上印的是1080年。
苏东坡生于1037年，活了66岁。
《赤壁赋》开头几句就是：
壬戌之秋，七月既望。
大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年。
我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1080年，就知道一定是错的。
”
请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？
并推算苏东坡是公历哪一年写的《赤壁赋》？
【解析】
因为[10，12]=60，所以干支纪年法每60年一循环，1982年是壬戌年，《赤壁赋》也是壬戌年写的，因此公历1982年与写《赤壁赋》的公历年相差应是60的倍数，但是1982-1080=902，902不是60的倍数，所以《赤壁赋》不是在1080年写的。
1037+66=1103，在1037年至1103年间与1982相差60的倍数的只有1982-60×5=1082，所以《赤壁赋》是苏东坡1082年写的。
第九讲
1、（★★★）一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？
【解析】
如下表：
次数
此岸
过河
彼岸
1
狼，白菜
农民，羊〉
2
狼，白菜
〈农民
羊
3
狼
农民，白菜〉
羊
4
狼
〈农民，羊
白菜
5
羊
农民，狼〉
白菜
6
羊
〈农民
狼，白菜
7
农民，羊〉
狼，白菜
农民，羊，狼，白菜
2、（★★）有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！
他们焦急万分，该怎样过桥呢？
【解析】
首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟，最后与姐姐一起过河，用时3分钟．一共用时：
3+3+12+1+6+1+3=29分钟．最后能够安全全部过河．
第十讲
1、（★★★）有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火柴谁胜．如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？
【解析】
采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）．所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜.
2、（★★★）
国王带着
、
、
、
、
、
六位大臣去旅游。
晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。
国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。
结果六位大臣商量着竟然吵了起来。
大臣说：
“我是质数，我应该住质数房！
”
大臣说：
“不对，你是奇数，我才应该住质数房！
”
他们闹得不可开交，最后只好请
国王来评判。
可
国王一时之间也不知道该怎么安排。
同学们，你们能帮助他们吗？
你们能够设计几种不同的住法呢？
【解析】
首先，在题目里
大臣所说的是错误的，而
大臣所说的是正确的。
所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有
、
、
、
四位大臣可以住在质数房。
所以，例如
、
、
住奇数房，
、
、
住质数房的安排方法就是正确的。
由前面的分析，
、
必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住法，那么一共有
种不同的住法。
第十一讲
1、（★★）若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了。
小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下。
小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。
问共有多少个盒子？
?
【解析】
原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1个，当然现在也必须有个盒子有1个；现在盒中有1个，说明原来是2个，当然现在也必须有个盒子有2个；……考虑50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 共11个盒子。
?
2、（★★）向阳小学有730个学生，问：
至少有几个学生的生日是同一天？
【解析】
一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为
，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．
第十二讲
1、（★★★★）“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：
在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
【解析】
假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：
0，1，2，……，n-1．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n-1个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：
⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n-2个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：
0，1，2，……，n-2．这样，“苹果”数（n个小朋友）超过“抽屉”数（n-1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．
⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：
1，2，3，……，n-1．这时，“苹果”数（n个小朋友）仍然超过“抽屉”数（n-1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．
总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人（包括没遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
2、（★★）海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在
厘米到
厘米之间（包括
厘米到
厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到
个人的身高相同？
【解析】
陷阱：
以前的题基本全是2个人的，而这里出现4个人，那么，就“从倍数关系选”。
认真思考，此题中应把什么看作抽屉？
有几个抽屉？
在140厘米至150厘米之间（包括140厘米到150厘米）共有11个整厘米数，把这11个整厘米数看作11个抽屉，每个抽屉中放3个整厘米数，就要
个整厘米数，如果再取出一个整厘米数，放入相应的抽屉中，那么这个抽屉中便有4个整厘米数，也就是至少找出33+1=34个学生，才能找到4个人的身高相同．
第十三讲
1、（★★）有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：
小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟．17分钟后桥就要倒塌了．请问：
4个人要用什么方法才能全部安全过桥？
【解析】
小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟，他们一起用时间：
（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河．（时间最短过河的原则是：
时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的）．
2、（★★）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工，⑴怎样安排才能使得经济损失最少？
⑵怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
【解析】
⑴一人修17、20、30，另一人修18、25；
最少的经济损失为：
（元）．
⑵因为
（分），经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟．
第十四讲
1、（2008年“迎春杯”三年级组初赛）计算：
．
【解析】
本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式
2、（2008年走美四年级初赛）．
【解析】
本题可以用凑整的方法来做，也可以直接用平方差公式来做．
原式
试题
1、（2008年日本小学算术奥林匹克大赛高小组初赛）
计算：
．
［分析］（法1）原式
2、计算×＋11×＋537×
【解析】
稍着处理，题中数字就能凑整化简，
原式＝×＋11×＋（512＋25）×＝×＋11×＋512×＋25×
＝×＋×＋11×＋×19＝×10＋11×＋11×9＋×19
＝512＋×30＋99＝611＋＝
第十五讲
1、计算
（1）2003×2001÷111＋2003×73÷37
（2）412×＋11×＋×
【解析】
（1）原式＝2003×2001÷111＋2003×73×3÷（37×3）＝2003×（2001＋73×3）÷111
＝2003×2220÷111＝40060
（2）原式＝×＋11×（9＋）＋（＋）×
＝×＋×＋×＋11×9＋11×
＝×（＋）＋（10＋）×＋99＋11×
＝412＋10×＋×＋99＋11×＝412＋19＋99＋（11＋19）×
＝410＋2＋20－1＋100－1＋＝
2、（04年希望杯1试）计算
【解析】
第十六讲
1、（2008年“希望杯”六年级第2试）
________．
［分析］用换元法．令，，则
原式
2、＿＿＿．
【解析】
原式．
第十七讲
1、计算______.
【解析】
原式．
第十八讲
1、（※※）大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？
【解析】
大林和小林共有9本的话，有10种可能；共有8本的话，有9种可能，……，共有0本的话，有1种可能，所以根据加法原理，一共有10+9+……+3+2+1=55种可能．
2、（※※※）用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?
【解析】
如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为0～25张，其余的钱全部购买2元饭票，共有26种买法；
如果买l张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票0～23张，其余的钱全部购买2元饭票，共有24种不同方法；
如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票0～21张，其余的钱全部购买2元饭票，共有22种不同方法；
……
如果买12张8元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票0～1张，其余的钱全部购买2元饭票，共有2种方法．
总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13的等差数列．利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：
26+24+22+…+2=（26+2）×13÷2=182（种）．共有182种不同的买法．
第十九讲
1、（※※）题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：
由该题库共可组成多少种不同的试卷？
（4级）
【解析】
从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、40、45种选法．根据乘法原理，一共有30×40×45=54000种不同的选法，所以一共可以组成54000种不同试卷
2、（※※）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目．如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？
（6级）
【解析】
五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120（种）．
如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（种）；
因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48（种）；
贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）．
第二十讲
1、（※※）一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少种不同的车票．（4级）
【解析】
（种）．
2、（※※）用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？
（4级）
【解析】
这是一个从个元素中取个元素的排列问题，已知，，根据排列数公式，一共可以组成（个）不同的四位数．
试题
1、（※※）某校举行排球单循环赛，有个队参加．问：
共需要进行多少场比赛？
（2级）
【解析】
因为比赛是单循环制的，所以，个队中的每两个队
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