二次函数实践与探索.docx

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二次函数实践与探索

学科：

数学

教学内容：

实践与探索

Ⅰ.背景材料

我们已经学习了二次函数的图象和性质，利用这些知识，可以求一元二次方程的近似解、一些二元二次方程组的近似解、一元二次不等式的解集与几何及现实生活有关的若干问题．

Ⅱ.课前准备

一、课标要求

1．运用二次函数知识分析问题，解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．

2．通过探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，使所学知识联系起来，做到融会贯通，使认识更深刻．

二、课前预备知识

1．二次函数的图象和性质．

2．一元二次方程、不等式及不等式组的解集．

3．画函数图象．

4．求二次函数关系式．

三、预习提示

1．将实际问题转化成数学问题、建立适当的平面直角坐标系．用图象法求一元二次方程的近似解、求一元二次不等式的解集．

2．预习方法提示

二次函数在实践中有广泛的应用，在将实际问题转化成数学问题时，要弄清楚实践中的各个数量之间的内在联系，并选择适当的坐标系建立函数关系式．在学习用函数图象求一元二方程或一元二次不等式的近似解时，要准确画出图象，仔细观察图象中各点位置关系．

四、预习效果反馈

1．用图象法求方程x2-3x-l=0的近似解．

2．画出函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答：

（1）图象与x轴交点的坐标是什么？

（2）当x取何值时，y=0？

y＞0？

y﹤0？

（3）不等式x2-2x-3＞0、x2-2x-3﹤0的解集分别是什么？

（3）与

（2）有什么联系？

3．某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售，每天可销售100件，如果每提价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么该商品的售出价格定为多少时，才能使每日获得利润最大，最大利润为多少？

4．如图26-3-1所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴有两个交点A（1，0），B（3，0）.

（1）求抛物线的关系式；

（2）设点P在抛物线上滑动，问满足条件S△PAB=1的点P有几个?

并求出所有点P的坐标．

Ⅲ.课堂跟讲

一、背记知识随堂笔记

1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），则方程ax2+bx+c=0的两根为.

2．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1﹤x2，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为，不等式ax2+bx+c﹤0的解集为.

3．当a＞0，=b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a0，=b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负．

4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和直线y=kx+d（k≠0）有两个交点的条件是，只有一个交点的条件是，没有交点的条件为.

二、教材中“？

”解答

1．问题（P21问题1）

解答：

（1）y=-x2+2x+=-（x2-2x+1-1）+=-（x-1）2+.

∵a=-1﹤0，∴y有最大值.当x=1时，y最大值=，即喷出的水流跟水平面的最大高度为米．

（2）当y=0时，-x2+2x+=0，5x2-10x-4=0.解得x1=1+，x2=1-（不合题意，舍去）.∴水池的半径至少应该有约2.34米．

2．问题（P22问题2）

解答：

因为抛物线顶点为（0，0），所以设抛物线为y=ax2.把B（0.8，-2.4）代入上式，得-2.4=a·0.82.∴a=-.∴y=-x2.

当y=-（2.4-1.5）=-0.9时，-0.9=-x2，x=±.∴DE=﹤1.

∴DE宽小于1米．

3．问题（P22问题3）

解答：

（1）由图象知，图象与x轴两交点的坐标为（1.5，0），（-0.5，0）.

（2）当x=1.5或-0.5时，y=0，即x=1.5和x=-0.5是方程x2-x-=0的两个根.

（3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0），即方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2,即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个解；反过来，一元二次次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1，x2就是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两个交点的横坐标.

4．问题（P22“试一试”）

解答：

（1）观察图象知，当x＞1．5或x﹤-0.5时，y＞0；当-0.5＜x＜1.5时，y﹤0；

（2）不等式x2-x-＞0的解集为x＞1．5或x＜-0．5；不等式x2-x-＜0的解集为-0.5﹤x﹤1.5．

5．问题（P23问题4）

解答：

问题4实际上提出了一元二次方程的两种图象解法，这两种近似解法都正确，但是小刘的解法更简便一些，因为画抛物线比画直线要麻烦，所以小刘只要先画好一条抛物线y=x2，再根据待解的方程如ax2+bx+c=0（a≠0），先化成x2+x+=0；x2=-x-，再画出直线y=-，找出其交点横坐标.而其他同学的解法则每次都要根据题意画一条抛物线，较麻烦.

三、重点难点易错点讲解

重点难点：

1．根据函数图象求一元二次方程或一元二次不等式的近似解，在今后学习和中考中常见，因此是本节的重点，学习时要准确画出图象，仔细观察分析图象，明确图象上点的横坐标为x值，纵坐标为函数中y的值．2．用二次函数知识解决生产、生活中的问题，要综合考查同学们分析问题能力、数学建模能力，解决问题能力及灵活处理问题能力，它又是近年中考中的热点问题，因此既是重点又是难点，学习中应认真分析，独立思考，学会综合运用知识．

易错点：

在应用二次函数知识解决实际问题时，要正确理解题意．

【例】目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图26-3-2

（1）），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为85米．在所给的直角坐标系中（如图26-3-2

（2）），假设抛物线的表达式为y=ax2+b，请你根据上述数据求出a、b的值，并写出抛物线的表达式.（不要求写自变量的取值范围，a、b的值保留两个有效数字）.

错解：

∵桥拱高度OC=85m，即抛物线过点C（0，85），∴b=85.

又由已知，得AB=350×2（m）=700m，即点A，B的坐标分别为（-350，0），（350，0），

则有0=3502·a+85．解得a≈-0.00069．

所求抛物线的表达式为y=-0.00069x2+85．

正确解法：

∵桥拱高度OC=85m，即抛物线过点C（0，85），∴b=85.

又由已知，得AB=350m，即点A、B的坐标分别为（-175，0），（175，0），

则有0=1752·a+85．

解得a≈-0.0028．所求抛物线的表达式为y=-0.0028x2+85．

错解分析：

没弄清跨度的含义．

四、本节与科学技术社会

二次函数在工程设计，日常生活中应用较广泛，如我们常见的桥梁、涵洞、房屋及炮弹飞行等．

五、经典例题精讲

（一）一题多解

【例1】用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解．

思维入门指导：

（1）设y=2x2-4x-1，使y=0的x值即方程2x2-4x-1=0的解．

（2）化简2x2-4x-1=0，得x2＝2x+．设y1=x2，y2=2x+，它们的交点的横坐标即方程x2=2x+的解.

解法一：

设y=2x2-4x-1.画出抛物线y=2x2-4x-1.

由图象知，当x≈2.2或x≈-0.2时，y=0.

即方程2x2-4x-1=0的近似解为x1≈2.2，x2≈-0.2.

解法二：

将2x2-4x-1=0化简，得2x2=4x+1，x2=2x+.

在同一坐标系中，画出函数y=x2和y=2x+的图象如图26-3-4所示.

抛物线y=x2与直线y=2x+交于A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足横坐标约为2.2、-0.2.即x=2.2或x=-0.2时，y1=x2和y2=2x+相等，即x2=2x+，2x2-4x-1=0.

点拨：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标，即方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根.

（二）一题多变

【例2】画出函数y=x2-4x-3的图象，根据图象回答下列问题：

（1）图象与x轴交点的坐标是什么？

（2）方程x2-4x-3=0的解是什么？

（3）不等式x2-4x-3﹥0，x2-4x-3﹤0的解是什么？

（4）方程x2-4x-5=0的解是什么？

（5）不等式x2-4x-3﹥5，x2-4x-3﹤-2的解是什么？

解：

（1）x1≈4.6，x2≈-0.65，∴抛物线与x轴交点坐标为（4.6，0），（-0.65，0）.

（2）x1≈4.6，x2≈-0.65.

（3）不等式x2-4x-3﹥0的解为x﹤-0.65或x﹥4.6；

不等式x2-4x-3﹤0的解为-0.65﹤x﹤4.6．

（4）x2-4x-5=0的根为x1=5，x2=-1.

（5）x2-4x-3＞5的解为x1＞1.46或x﹤-5.46；

x2-4x-3＜-2的解为-0．24＜x﹤4.24．

（三）教材变型题

【例3】（P22问题3变型）画出函数y=x2+4x+3的图象，根据图象回答：

（1）方程x2+4x+2=0的解是什么？

（2）不等式x2+4x+5＞0的解集是什么？

（3）不等式x2+4x+1﹤O的解集是什么？

思维入门指导：

（1）x2+4x+2=0x2+4x+3=1，即求抛物线上纵坐标为1的点的横坐标；

（2）x2+4x+5＞0x2+4x+3＞-2即求纵坐标大于-2的点的横坐标；（3）x2+4x+1﹤0x2+4x+3﹤2，即求纵坐标小于2的点的横坐标．

解：

（1）画出函数y=x2+4x+3的图象如图26-3-5所示．

x2+4x+2=0即x2+4x+3=l．过（0，1）作y轴垂线，交抛物线于A、B，分别过A、B作x轴垂线，垂足分别为（-0.6，0），（-3.4，0）.

∴方程x2+4x+2=0的解为x1≈-0.6，x2≈-3.4．

（2）x2+4x+5＞0即x2+4x+3＞-2.过（0，-2）作y轴垂线与抛物线无交点，即抛物线上每个点的纵坐标都大于-2，即x2+4x+3﹥-2．

∴x2+4x+5＞0的解集为全体实数．

（3）x2+4x+1﹤0即x2+4x+3﹤2．过（0，2）作y轴垂线与抛物线交于C、D，分别过C、D作x轴垂线，垂足坐标为（-0.3，0），（–3.7，0）.由图象知，当-3.7﹤x﹤-0.3时，y﹤2，即x2+4x+3﹤2，x2+4x+1﹤0.

∴不等式x2+4x+1﹤0的解集约为-3.7﹤x﹤-0.3.

点拨：

ax2+bx+d=0，即ax2+bx+c=c-d；ax2+bx+d﹥0，即ax2+bx+c﹥c-d；ax2+bx+d﹤0，即ax2+bx+c﹤c-d.

（四）中考题

【例4】（2004，烟台，14分）如图26-3-6所示，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A（-3，0）、B（1，0），直径CD垂直于x轴于N，直线CE切⊙M于C，直线FG切⊙M于F，交CE于G，已知G点的横坐标为3．

（1）若抛物线y=-x2-2x+m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标；

（2）求直线DF的关系式；

（3）是否存在过点G的直线，使它与

（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？

若存在，请求出满足条件的直线的关系式；若不存在，请说明理由．

思维入门指导：

（1）中抛物线经过A、B、D三点，可将A或B的坐标代入函数关系式，求出m值；因为圆是一个轴对称图形，CD为⊙M直径，所以D在抛物线对称轴上.

解：

（1）把A（-3，0）代入y=-x2-2x+m，得0=-9+6+m，∴m=3．

∴抛物线为y=-x2-2x+3．点D在抛物线的对称轴上，所以D点横坐标为当x=-1时，y=-1+2+3=4，∴D（-1，4）.

（2）连结MG交y轴于H