数学建模病床安排.docx
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数学建模病床安排
眼科病床的合理安排
摘要
本文就某医院眼科病床的安排问题建立了有优先级的多服务台的排队模型，给出了病床安排的方案，并且利用MATLAB编程仿真给出了当前等待队列具体的安排方案。
关键词：
1问题的重述
医院就医排队现象随处可见，患者无论是到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、还是等待住院等，排队等待服务已经变成大家都非常熟悉的现象。
现有某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
其中白内障手术较简单，目前该院是每周一、三做白内障手术，病人术前准备时间只需1、2天。
对于白内障双眼病人是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，术前准备时间大约2、3，主要是术后的观察时间较长。
考虑到手术医生的安排问题，通常情况下手术时间一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，安排病床时可不考虑手术条件的限制。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望能通过数学建模的方式来解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：
分析确定合理的评价指标体系来评价FCFS规则下病床安排模型的优劣。
问题二：
依据当前情况，建立合理的病床安排模型，确定出第二天安排病人住院的方案。
并对新的模型利用问题一中的指标体系做出评价。
问题三：
根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，告知病人其大致入住的时间区间。
问题四：
请在该住院部周六、周日不安排手术的前提下重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应该做出相应调整。
问题五：
有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
2问题的分析
对于第一问：
医院是为病人服务的单位，评价医院病床安排模型的优劣应该从病人能否顺利就医的角度考虑，对病人来说，等待入院和手术的时间越短越好，等待时间越短说明医院的效率越高；另一方面，同一天门诊的病人很多，在安排病人入院的先后顺序上，存在公平性的问题，所以，确定评价指标体系需要综合两方面的因素，即效率指标和公平性指标。
对于第二问：
本文首先对附件中的数据进行统计分析，发现眼科疾病就医的紧急程度、病人从住院到手术前的准备时间、病人从门诊挂号到入院前的等待时间、不同种类眼科疾病住院康复的时间，以及不同病症之间治疗的难易程度等因素，都会对病床的安排方案有不同程度上的影响。
所以选出各优先级的评价指标，并对选出来的指标进行处理，有选择的确定各项指标之间的最优权重，从而得到每个病人的第二天排队等待住院的顺序。
其次是依据有效数据，求解得到第二天的拟出院人数，依据最优权值确定有优先级的多服务台的排队模型，并给出病床安排的新方案，借助问题一中的模型评价指标体系对新的模型进行评价。
对于第三问，首先对统计的数据进行分析和计算，得出有效时间内每种病人到医院就诊的分布规律。
再对病人入院时间进行仿真，这次仿真需要借助模型二有优先级的多服务台的排队模型，确定每位病人的住院时间与出院时间。
简化约束条件后，建立每位病人住院时间与等待人数之间的回归模型，并最终使得等待住院得病人简单清楚地知道自己大致的住院时间。
对于第四问：
住院部对手术时间进行了调整，周六、周日不再安排手术，这样问题二中所建立的模型一将不再适用于现在的情况，需要对模型进行改进。
由于周六、周日不安排手术，因此对于病人等待手术时间的来说，原来可以在周四、周五入院而在周六、周日做手术的视网膜疾病、青光眼患者也必须在周六、周日继续等待，直到周二才能做手术，因此视网膜疾病、青光眼患者如果在周四和周五这段时间入院的话，肯定会占用至少周五、周六、周日、周一这四天的床位，这样安排会大大减小医院的病床的周转效率。
所以我们需要对病人手术之前平均等待时间优先度进行改进，以适应现在的调整。
对于第五问，在考虑到医院住院部管理方便的前提下，适当确定各个疾病之间病床分配比例，但是在一般情形下，医院病床都安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，以便于所有病人的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短。
我们依然把题目中的疾病看成五类：
白内障，白内障（双眼）,视网膜疾病，青光眼，外伤，按照每类病的具体情况把病床分为5个部分。
这样分配之后，就可以把医院分为5个相互独立的子医院，每个子医院的床位只向负责的那类病人提供。
3符号的说明
第i类病人平均入院等待时间
第i各类病人平均术前浪费时间
第i类病人数占总数百分比
第
类病人星期
入院的术前等待时间
第i类病人星期j入院等待时间
第i类病人星期j入院的优先度
第t天第i类病人等待入院的队列长度
第t天病人等待入院总的队列长度
注：
其他符号在文中标注
4模型的假设
1、只要有空病床就让病人住院；
2、手术时间不计，始终有足够医生进行手术；
3、
5模型的建立与求解
5.1病床安排模型评价指标体系的建立（第一问）
5.1.1病情分类
因为不同病情的术前准备时间各不相同，且白内障双眼情况更为特殊，其两次手术需要在同一周内完成，所以视白内障单眼和双眼为不同的病情。
于是依据术前准备时间可将病人分为五类，如下表1：
表1病情的分类情况
类别
1类
2类
3类
4类
5类
病情
外伤
白内障（单）
白内障（双）
视网膜
青光眼
5.1.2系统分析
考虑病人在系统内的逗留时间，将其分为三段（入院等待时间、入院后术前等待时间以及术后住院时间），示意图如下：
5.1.3评价指标的建立
对病人来说，等待入院和手术的时间越短越好，等待时间越短说明医院的效率越高；另一方面，同一天门诊的病人很多，在安排病人入院的先后顺序上，存在公平性的问题，所以，确定评价指标体系需要综合两方面的因素，即效率指标和公平性指标。
（1）效率指标
题目未给出病人费用方面的信息，同时分析题目数据可知病床一直处于满员状态，病床的使用率在所考察的时间段内为100%，因此评价系统的效率，主要考察病人在系统中的平均逗留时间，包括平均入院等待时间、平均术前等待时间和平均术后住院时间。
平均入院等待时间：
外伤病人的等待时间已经保证为最短，对于其他病人，从门诊到入院的等待时间是要考虑的，入院等待时间越短，效率越高；
平均术前等待时间：
扣除必要的手术准备时间，这里白内障术前准备时间设定为2天，外伤为1天，青光眼和视网膜设定为3天。
平均住院时间进一步转化为平均术前浪费时间；病人入院后，术前浪费时间越长，病床占用越久，病床周转率就越低，效率就越低；平均入院等待时间和平均术前浪费时间可以通过调整入院安排来优化；
平均术后住院时间即康复期由病人体质来决定，非人为控制，因此对系统效率没有影响。
所有病人的平均入院等待时间
（1.1）
所有病人的平均术前浪费时间
（1.2）
表2每类病人人数统计
类别
总人数
所占百分比
1
55
15.76%
2
72
20.63%
3
82
23.50%
4
5
101
39
28.94%
11.17%
合计
349
1
将相应数据分别代入公式（1.1）和（1.2），即可求出所有病人的平均入院等待时间=10.71（天）和平均手术等待时间=2.44（天）。
系统效率的高低与平均入院等待时间
和平均术前浪费时间
成反比关系，因此可用倒数
、
作为基本效率指标。
系统综合效率E为基本效率指标的加权和
，
考虑到实际情况中，病人入院后等待手术时，由于占用床位，需要有一定的经济支付，同时医院的病床周转率也会下降，所以综合考虑，人们更看重平均术前浪费时间对效率的影响，因此对
赋予一个较大的权重，取
，
，算得
。
（2）公平性指标
从公平性考虑，希望尽量做到FCFS（Firstcome,Firstserve），这个指标必须考虑，否则会出现尽量收白内障病人入院，以改善效率指标的现象。
病床安排的公平与否体现在两方面：
同时门诊的两个病人，若同时入院，是公平的；一人比另一人后入院，存在不公平；相对延期入院的时间越长，病人感受的不公平强度越高。
从整个系统来看，不公平对待的病人越多，相对延期入院的时间越长，系统不公平程度越高。
因此系统的不公平程度要从相对延迟入院人数比例和相对不公平强度两方面定义。
定义两项基本公平性指标：
相对延迟比例
——同一天门诊的病人中，相对最早入院病人延迟i天入院的人数占总人数的比例；
相对不公平强度
——相对最早入院病人延迟i天入院的病人的延迟入院时间与最早入院病人的延迟时间之比。
以7月19日门诊的9名病人（外伤除外）为例（见下表），最早入院时间是7月31日，距门诊时间延迟12天，之后有5人延迟13天入院，相对最早入院的病人延迟1天，因此相对延迟比例为
，相对延迟强度为
，有2人延迟14天入院，相对最早入院的病人延迟21天，因此相对延迟比例为
，相对延迟强度为
。
表37月19日门诊病人入院时间
视网膜疾病
2008-7-19
2008-7-31
白内障
2008-7-19
2008-7-31
白内障（双眼）
2008-7-19
2008-8-1
视网膜疾病
2008-7-19
2008-8-1
视网膜疾病
2008-7-19
2008-8-1
青光眼
2008-7-19
2008-8-1
白内障
2008-7-19
2008-8-1
白内障
2008-7-19
2008-8-2
青光眼
2008-7-19
2008-8-2
每日病人不公平度
系统不公平度W为每日病人不公平度w的平均值。
（3）系统总评价指标
从系统效率指标E和系统不公平度W两项指标的含义可知，系统效率指标E是从正面效果对系统作出评价，系统不公平度W则是从负面效果对系统作出评价，从而可以定义
系统总评价指标=系统效率指标E∕系统不公平度W。
5.2建立合理的病床安排模型并评价（问题二，周末做手术）、
5.2.1问题分析
本问要求给出一个相对合理的病床安排模型，主要目标是提高系统效率，降低不公平度。
根据模型一中的数据分析
（2），例如：
对第4类（视网膜和青光眼病人），我们得出该类病人在周一和周六入院需要等待3天才能做手术，在其它时间必然等待2天做手术，同样道理，对其它数据也有如此分析得出该统计表。
统计出第
类病人在星期
入院的术前等待时间
，统计结果如下：
表4各类病人在不同时间入院的术前等待时间
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
1
2
7
3
星期二
1
1
6
2
星期三
1
5
5
2
星期四
1
4
4
2
星期五
1
3
3
2
星期六
1
2
2
3
星期日
1
1
1
2
5.2.2兼顾效率和公平性的入院安排原则以及优先度设定
就提高效率而言，一方面要缩短入院等待时间，更重要的是要缩短术前等待时间。
如果术前等待时间等于手术准备时间，则没有术前浪费时间，效率将大大提高。
结合数据分析可知：
在一周不同的日子让不同的病人优先入院，是提高效率的必然选择。
（1）第一原则：
不同类型的病人优先度不同，外伤病人优先度保持最高；在一周不同的日子，五类病人优先度有所变化。
如周日，外伤病人优先度最高，其次是白内障（双眼），白内障（单眼），另两类病人优先度较低。
考虑效率下的优先度可设定为手术准备时间的倒数。
特别规定外伤病人优先度设定为10；周日白内障双眼优先度设定为5（而不是1），原因是白内障双眼病人比白内障单眼病人少一次缩短术前等待时间的机会，因此在周日白内障双眼优先度要高于白内障单眼病人，即：
表5一周入院优先度设定表
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
10
1/2
1/7
1/3
星期二
10
1
1/6
1/2
星期三
10
1/5
1/5
1/2
星期四
10
1/4
1/4
1/2
星期五
10
1/3
1/3
1/2
星期六
10
1/2
1/2
1/3
星期日
10
1
5
1/2
（2）第二原则：
门诊后等待时间长的病人优先度应高于等待时间短的病人；
计算整个队列的平均门诊后等待时间，再用每个病人的等待时间除以平均等待时间，比值作为优先度
（3）第三原则：
等待入院队列中人数最多的那一类病人的优先度最高，人数最少的那一类病人的优先度最低。
用队列中某类病人数除以队列长度作为该类病人的优先度。
三条原则分别给定每个病人不同的优先度，并以一定的权重将其综合。
兼顾效率和公平性，将三条规则的权重分别定为0.5，0.25，0.25。
5.2.3基于动态优先度的病床安排模型
从副表中的第一天开始逐天模拟
算法步骤：
1）计算当天所有等待入院病人的综合优先度，并根据优先级从高到低排序；
2）按顺序安排病人入院，推算今天入院的每个病人的手术时间，根据每类病人术后住院时间的分布律随机产生该病人的术后住院时间，进而推算出院时间；
3）统计当天出院的病人数，预留供外伤病人使用的床位（1张），得到空床数；
4）重复步骤1，2，3，直到最后一天。
5.2.4对新的病床安排，根据问题
（1）建立的评价指标体系作出评价。
将3的模拟过程运行100次，将每次的评价结果记录并求平均值。
5.2.5基于FCFS的病床安排模型的评价
5.2.6将平均评价值与FCFS模型的评价值作比较，给出适当评价。
5.3等待入院时间区间的预测
本问要求给出每天门诊病人等待入院时间区间预测的方法，并对表3中的病人在门诊后的等待入院时间做出预测。
等待入院时间与当前等待入院病人的队列长度和每天出院病人数两方面有关。
每天门诊病人可由各类病人服从的泊松分布获得，进而可得到当前队列长度。
每个病人术后住院时间是随机变量，使得每天出院病人数也是随机变量。
若能获得一定置信度下，每天出院病人数的一个区间估计，则可给出每天门诊病人等待入院时间的区间估计。
由于这一随机变量服从的分布规律难以获得，采用如下方法求取每天出院病人数的区间估计。
1．每天出院病人数的区间估计模型
（1）思路
将每天出院的病人数都视作随机变量
，数据可由基于动态优先度的病床安排模型统计得到，
为离散型随机变量，为了得到每天出院病人数的一个置信区间，令
的均值
表示平均每天出院病人数，于是
也是一个随机变量。
注意到随机变量
彼此独立且服从相同分布规律，根据中心极限定理，均值
近似服从
分布，
表示每天出院病人数的统计均值，由此可以给出
的95%置信度的区间估计。
（2）方法
为了得到正态总体
的样本，利用数据处理部分得到的每类病人每天门诊人数服从的分布和每类病人术后住院时间的分布律产生相应的随机数，用基于动态优先度的病床安排模型进行模拟，给出病床安排方案，统计每天出院的病人数并计算平均值，记为
，作为
的一个样本值。
将上述过程重复
次（
取500），得到一组
，然后计算这一组样本值的样本均值
和样本方差
，注意到
未知，设计估计量
，它近似服从
分布，于是每天出院病人数的统计均值的95%置信区间为
。
2．等待入院时间的区间估计
记
，
，若当前队列长度为L，令
，
，则95%置信度的等待入院时间区间为
。
六、周六、周日不安排手术时的病床安排模型和评价
本问要求在周六、周日不安排手术的情况下，利用基于动态优先度的病床安排模型和评价体系，找到一个有效率又公平的手术时间安排方案。
6.1分析
在周六、周日不安排手术的情况下，根据题意要求可知，
（1）白内障双眼病人由于手术要求在一周内完成且两次手术要间隔一天，因此可以安排的时间只有三种组合：
周一和周三，周二和周四，周三和周五（以下称为“一三方案”、二四方案”、三五方案”）；
（2）白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做，因此白内障单眼病人的手术时间与白内障双眼病人的一致；
（3）外伤病人手术周一至周五都可以安排，视网膜、青光眼病人手术安排在一周的另外三天。
因此本问就是要针对这三种手术安排方案分别运用基于动态优先度的病床安排模型进行病床安排，并用评价体系进行评价，以选择出兼顾效率和公平的手术时间安排方案。
6.2一三方案（ben.m，homearrange2.m，arrange.m，moni2.m）
白内障病人在周一、周三做手术，视网膜、青光眼病人在周二、周四、周五做手术，外伤、视网膜、青光眼病人术前准备时间将发生变化，重新统计结果如下表：
各类病人在不同时间入院的术前等待时间
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
1
2
7
3
星期二
1
1
6
2
星期三
1
5
5
2
星期四
1
4
4
5
星期五
3
3
3
4
星期六
2
2
2
3
星期日
1
1
1
2
相应优先度发生变化。
对外伤病人，尽管周五、周六来门诊后要等待3天、2天才能手术，其优先度仍设为10，以保证同一天门诊的病人中外伤病人仍能最先入院。
一周入院优先度设定表
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
10
1/2
1/7
1/3
星期二
10
1
1/6
1/2
星期三
10
1/5
1/5
1/2
星期四
10
1/4
1/4
1/5
星期五
10
1/3
1/3
1/4
星期六
10
1/2
1/2
1/3
星期日
10
1
5
1/2
6.3二四方案（bed.m，homearrange3.m，arrange.m，moni4.m）
白内障病人在周二、周四做手术，视网膜、青光眼病人在周一、周三、周五做手术，各病人术前准备时间将发生变化，重新统计结果如下表：
各类病人在不同时间入院的术前等待时间
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
1
1
1
2
星期二
1
2
7
3
星期三
1
1
6
2
星期四
1
5
5
4
星期五
3
4
4
3
星期六
2
3
3
2
星期日
1
2
2
3
一周入院优先度设定表
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
10
1
5
1/2
星期二
10
1/2
1/7
1/3
星期三
10
1
1/6
1/2
星期四
10
1/5
1/5
1/4
星期五
10
1/4
1/4
1/3
星期六
10
1/3
1/3
1/2
星期日
10
1/2
1/2
1/3
6.4三五方案（bed.m，homearrange4.m，arrange.m，moni4.m）
白内障病人在周三、周五做手术，视网膜、青光眼病人在周一、周二、周四做手术，各病人术前准备时间将发生变化，重新统计结果如下表：
各类病人在不同时间入院的术前等待时间
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
1
2
2
3
星期二
1
1
1
2
星期三
1
2
7
5
星期四
1
1
6
4
星期五
3
5
5
3
星期六
2
4
4
2
星期日
1
3
3
2
一周入院优先度设定表
1类（外伤）
2类（白内障单眼）
3类（白内障双眼）
4、5类（视、青）
星期一
10
1/2
1/2
1/3
星期二
10
1
5
1/2
星期三
10
1/2
1/7
1/5
星期四
10
1
1/6
1/4
星期五
10
1/5
1/5
1/3
星期六
10
1/4
1/4
1/2
星期日
10
1/3
1/3
1/2
6.5三种方案的评价和选择
利用数据处理部分得到的每类病人每天门诊人数服从的分布和每类病人术后住院时间的分布律产生相应的随机数，用基于动态优先度的病床安排模型进行模拟，给出三种手术方案下的病床安排方案，用评价指标体系作出评价，选择最优评价的方案。
6模型的评价与推广
6.1模型的优点
在第一问中，我们分别从医院和病人的角度考虑，同时兼顾到医院和病人双方的利益，确定了六个合理的指标构成体系，较为全面地评价题中病床安排模型的优点与缺点。
问题二中，我们建立多服务台排队模型，并根据优先级给每个病人进行打分，然后按得分的高低来安排病床。
这种安排方案弥补了FCFS规则的最大缺点，即病床的周转次数少，使用效率低。
还有，多服务台排队的方案大大缩短了在外排队等待入院的队列，同时在一定的程度上兼顾了公平性。
问题三，我们利用计算机仿真给出一个大致的方案，考虑到存在较大的误差，我们寻找等待时间与队列长度的关系，建立回归模型，得到较好的方案。
6.2模型的缺点
我们建立多服务台排队模型是，主要目标是使医院的病床的周转次数增加，减少在外等待的病人，虽然在一定程度上兼顾了公平，但是分配上的公平上仍存在着不合理的地方，使病人等待手术时间有所增加，某类病人入院的人数比原来的有所下降。
6.3模型的推广
本模型虽然存在一些不足之处，但是得到的结果还是较为合理的。
本模型还可以用于加油站、电话亭、公交座位等领域。
在指标的方面再考虑全面，得到的结果会更让人满意。
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