学年高中数学第一章计数原理11第2课时计数原理的综合应用学案新人教A版.docx
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学年高中数学第一章计数原理11第2课时计数原理的综合应用学案新人教A版
第2课时 计数原理的综合应用
1.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题． 2.会根据实际问题合理分类或分步．
探究点1 组数问题
用0，1，2，3，4五个数字，
（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【解】
（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
1．[变问法]由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
解：
完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：
第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36个．
2．[变问法]在本例条件下，能组成多少个能被3整除的四位数？
解：
一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．
所以满足题设的四位数共有2×3×3×2×1＝36个．
解决组数间的方法
（1）明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置（末位或首位）分类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
（2）要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．
1.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）
A．6 B．9
C．12D．24
解析：
选B.根据0的位置进行分类：
第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.
2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）
A．120个B．80个
C．40个D．20个
解析：
选C.当十位数字为3时，个位数字和百位数字只能取1，2，能组成2个“伞数”；当十位数字为4时，个位数字和百位数字能取1，2，3，能组成3×2＝6个“伞数”；当十位数字为5时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，能组成4×3＝12个“伞数”；当十位数字为6时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，5，能组成5×4＝20个“伞数”，所以共能组成2＋6＋12＋20＝40个“伞数”．
探究点2 选（抽）取与分配问题
高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种 B．18种
C．37种D．48种
【解析】 法一：
（直接法）
以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：
第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9种；
第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27种．
综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37种．
法二：
（间接法）
先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：
4×4×4－3×3×3＝37种方案．
【答案】 C
解决抽取（分配）问题的方法
（1）当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．
（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：
去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有（ ）
A．24种B．48种
C．64种D．81种
解析：
选A.由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24种不同的参赛方法．
探究点3 涂色（种植）问题
（1）如图，要给地图上A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
（2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法．
【解】
（1）法一：
按A→B→C→D的顺序分步涂色．
第一步：
涂A区域，有4种不同的涂法；
第二步：
涂B区域，从剩下的3种颜色中任选1种颜色，有3种不同的涂法；
第三步：
涂C区域，再从剩下的2种不同颜色中任选1种颜色，有2种不同的涂法；
第四步：
涂D区域，从与B、C区域不同的2种不同颜色中任选1种，有2种不同的涂法．
根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48（种）不同的涂法．
法二：
按所用颜色的多少分类涂色．
第一类：
用三种颜色，有4×（3×2×1×1）＝24（种）不同的涂法；
第二类：
用四种颜色，有4×3×2×1＝24（种）不同的涂法．
根据分类加法计数原理，共有24＋24＝48（种）不同的涂法．
（2）分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.
（i）若第三块田放c：
a
b
c
第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4种方法．
（ii）若第三块田放a：
a
b
a
第四块有b或c两种方法：
①若第四块放c：
a
b
a
c
第五块有2种方法；
②若第四块放b：
a
b
a
b
第五块只能种作物c，共1种方法．
综上，共有3×2×（2×2＋2＋1）＝42种方法．
解决涂色（种植）问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：
（1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
（2）以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．
种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数．或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．
从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的①②③④各部分，若要求相邻的部分颜色不同，则不同的涂法共有多少种？
解：
依题意，可分两类情况：
①④不同色；①④同色．
第一类：
①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．
第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；
第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；
第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．
于是由分步乘法计数原理可得不同的涂法为5×4×3×2＝120（种）．
第二类：
①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．
第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．于是由分步乘法计数原理得不同的涂法有5×4×3＝60（种）．
综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180（种）．
1．（2018·苏州模拟）有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有（ ）
A．6种 B．5种
C．4种D．3种
解析：
选C.若选甲、乙二人，可以甲操作A种车床，乙操作B种车床，或甲操作B种车床，乙操作A种车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B种车床，丙操作A种车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B种车床，丙操作A种车床这一种选派方法．
故共有2＋1＋1＝4（种）不同的选派方法．故选C.
2．用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243B．252
C．261D．648
解析：
选B.0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，所以有重复数字的三位数有900－648＝252个．
3．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．84B．72
C．64D．56
解析：
选A.分两种情况：
①当A，C同色时，A有4种选法，D有3种选法，B也有3种选法，共有4×3×3＝36（种）涂色方法；②当A，C不同色时，A有4种选法，C有3种选法，B有2种选法，D也有2种选法，共有4×3×2×2＝48（种）涂色方法．由分类加法计数原理知总的涂色方法种数为36＋48＝84.
4．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？
解：
第一类：
一位数中除8外符合要求的有8个；
第二类：
两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有8×9个符合要求；
第三类：
三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有9×9个，而百位上数字是2的只有200符合．
所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162（个）．
知识结构
深化拓展
解决较为复杂的计数问题综合应用
合理分类，准确分步：
1．处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．
2．分类时要满足两个条件：
（1）类与类之间要互斥（保证不重复）；
（2）总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准．
3．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．
特殊优先，一般在后：
解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想.
[A 基础达标]
1．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（ ）
A．24种 B．4种
C．43种D．34种
解析：
选C.第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．
2．在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有（ ）
A．512个B．192个
C．240个D．108个
解析：
选D.能被5整除的四位数，可分为两类：
一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60个．
另一类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48个．由分类加法计数原理得所求的四位数共有60＋48＝108个．
3．（2018·福建厦门模拟）集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（ ）
A．9B．14
C．15D．21
解析：
选B.因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，
所以x∈{y，2}．
所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；
当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；
共有7＋7＝14种情况．即这样的点的个数为14.
4．（2018·福建漳州长泰一中高二下学期期中）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（ ）
A．64B．56
C．53D．51
解析：
选C.由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8×7＝56（个）对数式，其中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为1＋56－4＝53.故选C.
5．（2018·湖北八校联考）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复），有位车主上网自编号码，第一个号码（从左到右）想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码的所有可能情况有（ ）
A．180种B．360种
C．720种D．960种
解析：
选D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960（种）．
6．从集合{1，2，3，…，11}中任选2个元素作为椭圆方程
＋
＝1中的m和n，则落在矩形区域B＝{（x，y）||x|＜11且|y|＜9}内的椭圆个数为________．
解析：
根据题意，知当m＝1时，n可等于2，3，…，8，共对应7个不同的椭圆；当m＝2时，n可以等于1，3，…，8，共对应7个不同的椭圆．同理可得，当m＝3，4，5，6，7，8时，各分别对应7个不同的椭圆；当m＝9时，n可以等于1，2，…，8，共对应8个不同的椭圆；当m＝10时，共对应8个不同的椭圆．综上所述，对应的椭圆共有7×8＋8×2＝72（个）．
答案：
72
7．甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种推选方法．
解析：
分为三类：
①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6（种）选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10（种）选法．综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31（种）推选方法．
答案：
31
8．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则有________种不同的冠军获得情况．
解析：
可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步：
第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；
第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；
第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．
由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．
答案：
64
9．有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项．
（1）学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
（2）有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
解：
（1）三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个．
所以甲有6种不同的获奖情况．
（2）每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4＝64（种）．
10．把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．
（1）43251是这个数列的第几项？
（2）这个数列的第96项是多少？
解：
将由1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类，共五类，每类组成的数字数为：
4×3×2×1＝24个．
（1）万位数字为4，且比43251小的数的个数有：
3×2×1＋3×2×1＋2＋1＝15个，所以43251是这个数列的第3×24＋15＋1＝88项．
（2）因为96＝4×24，所以这个数列的第96项是45321.
[B 能力提升]
11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有（ ）
A．24种B．18种
C．12种D．6种
解析：
选B.法一：
（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故共有6×3＝18种不同的种植方法．
法二：
（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有24－6＝18种不同的种植方法．
12．（2018·内蒙古包头一中月考）如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种．
解析：
由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180（种）不同的涂色方案．
答案：
180
13．（2018·长沙模拟）用1，2，3，4四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
（1）写出这个数列的前11项；
（2）若an＝341，求项数n.
解：
（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133；
（2）比an＝341小的数有两类：
①首位是1或2：
1
×
×
2
×
×
3
1
×
3
2
×
3
3
×
②首位是3：
故共有：
2×4×4＋1×3×4＝44（项）．因此an＝341是该数列的第45项，即n＝45.
14．（选做题）用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①，②，③，④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色．
（1）若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
（2）若为乙着色时共有120种不同方法，求n的值．
解：
完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①，②，③，④着色时各自的方法数，再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数．
（1）为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．所以共有着色方法6×5×4×4＝480种．
（2）与
（1）的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n（n－1）（n－2）（n－3）．由n（n－1）（n－2）（n－3）＝120，
所以（n2－3n）（n2－3n＋2）－120＝0.
即（n2－3n）2＋2（n2－3n）－12×10＝0.
所以n2－3n－10＝0.所以n＝5.
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