故IBD\—运I齐-£I逐J5・+形尸一4舛咼^6
所以过仏B.D〔点的相切
若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率;
设A（0，b），Q3丁3,，5，又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN
4
（1）由已知椭圆焦点
（c，0）
在抛物线上，可得:
⑵由题设可知
N关于y轴
对称
0）,由
AMN的垂心为B，有
-或yb（舍去）
4
重心坐标
4
于b,M（于b,（于b,三），得QMN
X1,yj,N（X1,%）（X1
uuunUULT2
BMAN0X1（y1
3b）（y1b）0。
4
由点N（x「yj在抛物线上,
29
X1by1b，解得:
b2
由重心在抛物线上得：
3—
4
11b2,所以b=2,M（.5,—）,N（、5,-），又因为M22
16
N在椭圆上得：
a2，椭圆方程为
3
2
X
16
2
L1，抛物线方程为X2
42y4。
6•已知以原点0为中心,
F-.5,0为右焦点的双曲线C的离心率e
（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（II）如题（20）图，已知过点Mx1,y1
的直线l1：
x-|X4y1y4与过点
NX2,y2（其中X2x）的直线
l2：
x2x4y2y4的交点E在双
曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求OGH的面积。
解:
（I）的标准方程为密「（a>0,
6>0），则由题意c=e=—=孕，az
因此a=2,6=Jd-J=1,
C的标准方程为j--/=1・
C的渐近线方程为y=±yx,即x-2y=0和a+2y=0.
（n）解法一：
如答（20）图，由题意点E（孔，九）在直线2心“+4力y・4和ZjzXjX+
4如=4上，因此有衍牝+4）•伉=4,xax£+4力允=4,
故点M、N均在直线x£x+4yEy=4上,因此直线MN的方程为
xer+4ycy=4.
设G、H分别是直线MN与渐近线入-2y=0&x+2y=0的交点,
[XfX+4VrV
由方程纽
x-2y=0
22
解得北=
4
设MN与*轴的交点为Q,则在直线x£x+4nr=4中，令y=0得力=•（易知xc
%<#0）.注意到xJ-4/1=4J9
Sg=*・IOQI•In-/.I=盘・I石七土;I
42|xe|
"■M"*|xl-4yir
解法二:
设由方程组
r声=4”
伽=4-
X£='仇「
e利沧一处几靳先
-
因七1
卅科'则直线臥附的斜畢*-
舍F地
故直线必甲的方程为
y-y>
下同解法1*
（II）设直线PFi、PF?
的斜线分别为ki、k2.
koc、koD满足koAkoBkockoD0?
若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若
不存在，说明理由•
所以?
■*zT"*'-
更小・卩1「.
所1]d■竝山■k
F折求桶圆方程为
（n）（i）ws弋•：
方法-：
*>!
>><-UO）.F:
（lt0）tPF^PFz的国率分别为虹g且点P不衣历以ki工fki工0人丰0・・
又宜线PFfPF,的方程分别为y-AJx+Dty-^Cx-l）.
所以
*2—*1
2爲島+3b-k9
厂q・-Ta2■结论成匕
o>
方法二:
设9（4以》•则爲一召匚
因为点P不在工紬上.所以y9^0.又x»+力—2»所以土一鱼乂心一込竺乂口旦口如
*1h力>0
因此结论成立.
CH）解：
设AC"%儿力儿C（xc»yc）>DGr
"塔（卄1》J芋皿T，
联立贯线川I与橢圆的方程得
化简得《2卅+1）云+4卅工T绅一'
図此
由于
所以
目此
0>
■・,2対一2
和+刊一-巫耳V工皿=阪TH亍
OA.OB的斜甲存在.
xA工0,xBH0■因此妊兴0』•匕+心=之+也=臥*尢"+匕轧土！
2
XaX>如工・
=2h十®兰主^■■h（2-诂、2>
2kx
S3—…X
Q-1
相似地可以得到Xc#O,%工0,愿界0丄址十&8
故心十屉〒址%+
_严為—新十上％—鱼
2Ct（^-D（*i+fet）
（Al^-1X%I1>
若点曲十‘匸+匕+张=乩黛宥h+島虫°或九电«1
5）岂杠+h■0时.结合（i〉的结论•可得Jtj・l沢质Ulin曙点P站坐掠为C0,2>
②当居虽弓】时•箱舍的鰭论，解钳趾=一M此时—I■不瞒足站护居，含去片此时点阀CD的方程为>-3（x-nj^立方裂盂十2盹■#4-召
铜此F脊申・
练上所述曲足乘件的点f的生皿駢35②煜申，
8.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点0对称，P是动点，且直线AP
1
与BP的斜率之积等于-
3
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：
是否存在点P使得△PAB与厶PMN的面积相等？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：
因为点B与A（1,1）关于原点0对称，所以点B得坐标为（1,1）.
设点P的坐标为（x,y）
22
故动点P的轨迹方程为x3y4（x1）
（II）解法一：
设点P的坐标为（xo,y。
），点M,N得坐标分别为（3,yM）,（3,yN）.
Vc1Vc1
则直线AP的方程为y10（x1），直线BP的方程为y10（x1）
Xo1X。
1
于是VPMN得面积
解法二：
若存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等，设点P的坐标为（xo,yo）
则1|PAgPB|sinAPB?
|PM|gPN|sinMPN.因为sinAPBsinMPN,
|PN||PB|
|3Xo|
|x1|
故存在点PS使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点P的坐标为（5屈、
（,）•
39
1
9•已知定点A（—1,0）,F（2,0），定直线I:
x=空，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线I的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交I于点M、N
（I）求E的方程；
（H）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由•
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理
运算能力•
解：
（1）设P（x,y），则..（x2）2y22|x
2
化简得x2——=1（y丰0）4分
3
（2）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x—2）（k^0）
（3—k）2x2+4k2x—（4k2+3）=0由题意知3—k2^0且厶＞0
设B（x1,y1）,C（x2,y2）,
4k2
X1X22
则k3
4k23
X1X2—
k23
y1y2=k2（X1—2）（X2—2）=k2[X1X2—2（x1+X2）+4]
2
—+4）
3
2
=k〈—孚
k23k2_9k2_k23
因为X1、X2M—1
所以直线AB的方程为y=」一（x+1）
x11
因此M点的坐标为（丄，纽）
22（X11）
ULUU33vULUT33y
FM（）,同理可得FN（=卫2）22（x11）22（x21）
UUUUUULT
因此FMgFN（
3）2
9y“2
2（X11）（X21）
81k2
k23
4（4^^4^1）
k23k23
=0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x=2,则B（2,3）,C（2,-3）
13UUUU33
AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为（一，），FM（—，）
2222
uuu
同理可得FN
UULUUULT
因此FMg=N
33）
2'2）
3）23（3）=0
222
UUUUUULT
综上FMgFN=0,即FM丄FN
故以线段MN为直径的圆经过点F
12分
2
X2
10.一条双曲线y1的左、右顶点分别为A1,A2，点P（X1,yJ,Q（X1,yj是双曲线
2
上不同的两个动点。
（1）求直线AiP与A2Q交点的轨迹E的方程式;
（2）若过点H（0,h）（h>1）的两条直线li和12与轨迹E都只有一个交点，且lil
求h的值。
fe：
⑴由.七忌対収曲线的左、右顶点知，庞0,九（庞,0）・
:
丁=—（不戸=必尺（卞-V2）；两式相乘得
两+寸2珂——J：
二幼而电貝亏川在収曲线上，所成互-x二1，二丄
—22亦亠22
故y2
2（x22），即冷y2
22
（2）设l1:
ykxh，则由l1l2知，l2：
y—xh。
k
2
t,x2
将l—:
ykxh代入y1得
2
x
（kxh）1，即（12k）x4khx2h20,
2
由l—与E只有一个交点知，16k2h24（12k2）（2h22）0,即
12k2h2。
11
同理，由l2与E只有一个交点知，12ph2，消去h2得字k2，即k21，从
k2k2
而h212k23，即h「3。
11.已知抛物线C:
y24x的焦点为F，过点K（1,0）的直线I与C相交于A、B两点，点
A关于x轴的对称点为D.
（I）证明：
点F在直线BD上；
uuruuu8
（n）设FAg=B—,求BDK的内切圆M的方程
9
余析；本小題为解断儿何与平直句量埒合ED叵主要垮奁办物线的性庾.直线与因的谊直去系，克锻弓拋怖土位置哭冯-園的几何性质勻圖的方腥矿附暇、平面向植矿叢宜帆铮如決，奪査考生纬含忆用舸学叩识进行和虑证的龍力■.运算能力和解耒伺遷的能力，同时靑査T数黑纽巻思憬-左而平廉尽想.
解：
〔Q设卫（珂小）戶（叼丿）则D（*—尸小许直強人尸三处"1）仗尹0）谊入化陆整理得
2上2j
F/+（2以一4触+尸=5由心40*再Qvk'V,罚+七=2~血-阳=1
戸,_/a,A_灯.勺+1）山7+如44恥-1）_珈舟叼7）_八
b■A-rr*—jjp1;:
LF
Jtj—1七一1円—1（尤?
一1）（血—1）珂勺一（勺~h半1
-（珂-呱-1）I-F（和l）（x3il）r（F+1）（耳此+1）i-（k21）仙+Xj）-|
将勺亠先
。
以一491
-j—3呵宝=1■代入丄式：
麻得以二一M二士—
Jf164
.■J:
y=+—（x+11,3Tif：
3x+4rri-3=O或3兀-4^+3=0d
_片+一5一土第
吃r两（帀-曲）小
如:
力+历，-3二0如-T7y-3=a
54'和冷如切^的半即
MtWM的方腥为+产_”
12.如图，已知椭圆
x上
a2b2
1（a>b>0）的离心率为-2，以该椭圆上的点和椭圆的左、
右焦点Fi,F2为顶点的三角形的周长为
4（.21）.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
设直线PF,、PF2的斜率分别为
PF!
和PF2与椭圆的交点分别为
B和C、D.
（出）
存在,
ki、
k2，证明k,k21；
是否存在常数，使得ABCD
ABCD恒成立？
若存在,
的值；若不
请说明理由.
【解析】（I）由题意知，椭圆离心率为
—，得a■.2c，又2a22c4C、2I）,
所以可解得a2、0,c2，所以b2
a2
2
c4，所以椭圆的标准方程为
所以椭圆的焦点坐标为（2,0）,因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所
以该双曲线的标准方程为
（II）设点P（两，九），则咕丄—扁=』二，所以岳临=』4』4
西）+2xa-2环+2珀）_2
（IID假设存在常数处便得也E+
亦必）在双曲线上所创有号-一牛=1,即膚=彳_牛，所以
CD\=A卜£|・|CD|燻成立，则由Oil）®百呜=1,所以设玄线AE
的方程为尸=狀斗+2）,回頁线匚二的方程拘》=丄〔开+2）,k
由右程组
y=Jt（里十2）
a32消V^5（2疋+1）严+滤乙+$好一呂=0,设4珂必'承兀必卜—+—=1
84
则由韦达定理得；冏+花二弟gp
所LUAB■丘7乜可+可尸-4聞■兰钞fp,同理可得
1
\AB\\CD\4j5（l+P）4雀（1+P）
■4盂:
］厂容所囚?
？
在橄丸二芋，便得|朋|+|CD|=/l⑷卜|CD|恒咸立.
直线与圆锥曲线
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、
的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。
其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
13•已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.
（I）求曲线C的方程；
（H）是否存在正数m,对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都
uuuuuu
有FA?
FB0?
若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
冋車*比土盘£汲盘线与樂揚馥的抄赛黃护抛物彼M性厉等镇熬抄说.同时那誉it理运算的能放彳満井〕2弁〉
MiJ（X-1）:
+y2-x-5J（jt>0）»
（匕简尅尸=4x（a?
>0）.
（）1>谡过A簷⑷期伽A（n的血故八」曲ftc的仝血为卅心片）・%小
设f的方觀为肾冃刖十翩T由
X・**e和y：
-勺厂斗附r0・A=l6（I?
+flj）>0*r-4i
T-«
FM・FH<0o朗*1）（屯-1）+y；y==r,*;-（斗•斗）*I*>\y*<0②
乂其斗r*H帶丈②令KrT
琴丰弼n卄z
b"；?
L*m：
f扌Kh*r；）s^划打1*i"®山①武・不零武③尊价r
rtJa-"fijti*1©
屈仔总实數「所口不甞丈⑷对尸u畀成亞甞仰于
Bf"*&■*1^0*1$3^2^2弋卿丈1*2^5*
di比可知「召在iESfl/rxjra*S/M）乩比勵缚cvv两个交点厶&的任■Htfc.wnW-Ffi/2p3+2^5）R
14.已知椭圆E经过点A2,3,对称轴为坐标轴，焦点
1
Fi,F2在x轴上，离心率e一。
2
（I）求椭圆E的方程；
（n）求F1AF2的角平分线所在直线I的方程；
（川）在椭圆E上是否存在关于直线I对称的相异两点？
若存在，请找出；若不存在，说明理由。
■"小■■满分13分）本JB为施桶圆的建义及标准方程.橢圆的简单几何性质.W线的点斜式方程与
-股方程•点到直线的距离公式，点关于宜线的对称尊華础知识；考衣解析几何的并本思惣.纺:
合运算能力.探处盘识与创新意识・解：
（I）设IffilfflE的方程为手♦石…
由e■寺.即亍=as2c9得6：
=a'一疋=3c2・
X椭圆方程典有形式右+右"•
将/（2.3）代入上式.得-!
♦弓=1.舸得c@2.
cc
•・•ffi®£：
的方程为jy=1.
（n）解法1：
由（I〉知几（-2.0）tF,（2.0）•所以
支线片几的方程为wfa+2）.即3・-令+6=0・宜线A几的方釋为：
x=2.
由点A衽構USE上的位5S知.7T线/的斜甲为正数.
设P（「y）为（上任-点.则
3x-4/4-6
若3*-4y+6=5*-10.得•♦2y・B=r0（因其斜率为负.舍去）.于是.由3爲-4y*6=-5*♦10彳$2%・y■】=0,
所以貢线/的方程为：
2夏-y-1=0・
解法2：
一
-A（293）,Ft（-2t0）,F2（2,0）,/.4A；=（-4,・3）,观=（0.—3）・（-4,-3）+寺（0,-3）=・令（】，2）.
•••k—2.・••厶y-3=2（）-l）.BP2x-y-1=0・（HI）解法-
假设存在这样的两个不同的点«（xItyt）和C（心.
设〃C的中点为M（%.y0）t则x0=仏;“•y0=如于3
由于M在/上■故2x0-/0-l=0.①
又B,C在桶38上，所以有話+誇=1与佥♦脊=匚
轴式相减，得咅尹+暫久0,即（2巴/"，）+仪宀*严-”）“
将该式右为*•竺尹・］戈•-1.•答2—0,并将直线毗的斜率也和线段3C的中点表示代人该表达式中，得£f-■j^To=0，即3*0-2yt=0.②
障諸雷聶总器器響中点为也而这是不可能的.解法2：
假设存在B（和,川,5’了m）两点关于直线I对瞅则M忧，.%=,±设玄线必的方裡为丁八、“将其代人椭閑方程艺上*
】612
得-兀•次A程3/+4（-*“心"8,即宀心宀Hi
则叭与爲是该方程的两个根.
由韦达定理得■宀严叫
于是并+兀=-*（叼+x2）
22，
:
通、空的中点坐标为卜笔竽）.
44^*.
又线段RC的中点在直线y=2x-1上「普w1,得肌=4.
即/匚的中点坐标为（2,3）,与点川聲合，矛庸
-不存在謂足晚设条件的相异两点*
15.
1的左、右顶点为A、B，右焦点
在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆
为F。
设过点T（
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