上海市重点高中数学第一轮复习资料三函数及其性质.docx
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上海市重点高中数学第一轮复习资料三函数及其性质
第三章函数及其性质
2009年上海考试手册规定的考试内容：
1、函数的有关概念。
要求：
对所学数学只是有理性的认识，能用自己的语言进行叙述，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识点之间的联系；知道它们的用途。
对所学技能会进行独立的尝试性操作。
2、函数的运算。
要求：
对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。
3、函数关系式的建立。
要求：
能在新的情境中综合的、灵活的、创造性地运用所学知识和技能来解决有关问题。
4、函数的基本性质。
要求：
对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。
一、知识点归纳：
第一个点：
什么是函数？
在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f（x），，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域；和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
小提示：
1、函数的三要素：
定义域、值域、对应法则。
2、理解关键字“任意”：
在定义域中，对于一个确定的x，这个x是定义域内的任意一个值。
3、对应法则的理解：
对应法则是某一种运算规律。
etc:
（1）、的对应法则为取平方。
（2）、的对应法则为乘2加1。
4、理解关键字“唯一”：
通过运算，只能得到一个确定的值。
从对应的观点来看，有两种对应可以成为函数：
一对一和多对一。
图示：
Xyxy
一对一多对一
但是有一种情况不是函数：
图示：
Xy
一对多
第二个点：
反函数的定义。
对于函数y=f（x），设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数，记作，习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
小提示：
对于反函数来讲，我们对反函数和函数的定义加以区分，函数的定义是任取一个x，都有唯一的一个y与其对应，体现出的对应形式是一对一和多对一，但是对于反函数只有一对一才有反函数，而多对一不存在反函数，如果唯一的一个x对应唯一的y，这样能判断是否存在反函数。
另外，反函数还存在一个重要的性质：
函数的图象和它的反函数的图象是以直线y=x为对称轴的轴对称图形。
图示：
说明：
函数为互为反函数。
第三个点：
两个函数的和与积。
已知两个函数
和函数。
积函数。
第四个点：
奇函数与偶函数。
1、奇函数：
如果对于函数f（x）的定义域D内的任意实数a，都有f（-a）=-f（a），那么，称函数f（x）为奇函数。
2、偶函数：
如果对于函数f（x）的定义域D内任意实数a，都有f（-a）=f（a），那么称f（x）为偶函数。
小提示：
1、我们可以发现奇函数和偶函数的区分在于比较自变量a与-a的函数值关系，奇函数为相反值，偶函数为相等的关系。
2、函数定义域D关于原点对称是这个函数为奇函数（偶函数）的必要条件。
etc:
关于原点对称：
、。
不关于原点对称的：
。
4、图像：
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
偶函数奇函数
第五个点：
研究函数的单调性（增函数和减函数）。
对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值,
（1）、当时，都有，那么就说函数f（x）在这个区间上是增函数。
（2）、当时，都有，那么就说函数f（x）在这个区间上是减函数。
（3）、如果函数f（x）在这个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在这一区间是单调函数，这个区间叫做函数f（x）的单调区间。
小提示：
1、单调函数所具有的增或减是个符号特点，具备一般性，例如要验证增函数，不能验证在区间内的两个特殊值，只能验证在区间上的两个符号,如果当都有，这是增函数。
如果当都有，这是减函数。
增函数（）减函数（）
2、我们发现，两个函数的值大小是广义的概念而不是特殊的，如何选取有大小的时候来比较的大小，我们就要善于使用不等式的性质（做差比较法和做商比较法）。
图示：
判断函数在指定区间A上的单调性的过程图示:
设元：
设，且。
使符号在区间A内，并规定大小。
做差：
。
做差比较大小（同时我们也可以做商比较大小）。
变形：
使比较大小。
如果使做差比较大小：
>0
=0
<0
如果是做商比较大小：
>1
=1
<1
定论：
增函数还是减函数。
定论的依据：
（1）、当时，都有，那么就说函数f（x）在这个区间上是增函数。
（2）、当时，都有，那么就说函数f（x）在这个区间上是减函数。
第六个点：
周期函数。
对于函数，如果存在一个非零实数T，使得x取D内的每一个值时，都有等式f（x+T）=f（x），那么这个函数f（x）叫做周期函数，常数T叫做函数f（x）的周期。
小提示：
1、只有非零实数T，才能得到的等式为f（x+T）=f（x）。
2、对于一个周期函数f（x）来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期。
（周期函数会在三角函数中详解）
etc:
相关周期函数的图像。
随堂讲解练习指导：
1、求下列函数的定义域：
2、求下列函数的值域：
3、已知f（x）和g（x）分别是一个奇函数和一个偶函数，且试比较f
（1）、g（0）、g（-2）的大小。
、
4、已知函数的反函数，记，求g（x）的最小值。
5、判断下列函数的奇偶性：
6、已知函数,求函数f（x）的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
7、若函数在上为增函数，求实数a、b的取值范围。
8、已知函数，常数．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
9、若的图象与X轴有且只有一个交点，则实数a的值等于
__________
10、对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做函数的下确界，设有函数试问：
该函数是否有下确界，若有，求出的值，若没有，就填写没有。
___1
11、设，
①判断并证明的奇偶性；
1分别计算的值，并判断它们之间的关系，由此推出一个一般的关系式并给出证明；
2由②所得的一般结论，判断是否与已经学过的什么公式类似？
若是，试写出一个。
对照学过的公式，关于还能得到什么与②不同的关系式？
若存在，请你写出其中的一个。
12、设y=f（x）为R上的奇函数，且对于都有f（x+2）=-f（x）.
（1）证明:
f（x）为周期函数;
（2）证明:
x=1为对称轴;（3）若当时,,写出时,f（x）的解析式;（4）对于（3）中的f（x）,若非空,求实数a的取值范围.
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