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概率论葛余博答案

【篇一：

第一章随机事件和概率】

国十二大著名辅导机构出版的和他们内部非出版的考研数学辅导资料的绝大部分精髓，是一本含金量相当高、适应国家命题数学1，3，4类考研学子备考概数的全面基础系统延展与综合强化提高的优秀资料，也是作者的得意名作。

全书采用了作者系统的原创性的陈氏秘技和形象记忆掌握法，对三基的延拓层面系统夯实、通俗精炼，并奉献了读者渴望的评注，作者蛰伏6年完成，书中许多技巧，比如：

采用八大枢轴量全面解决区间估计和假设检验方略；对二元分布采用“陈式直角分割法”技巧；对常年考点的二元函数分布采用作者独创的“平移法和旋转法”方略等等，可谓精妙绝伦，几年来被我的学员们视若法宝。

而且每年都对相关内容作了大篇幅修改，本书使用的效果和威力两年来也受到全国广大学子的高度认可。

国家研究生入学选拔性考试己造成本科生的数学学习深度与大纲的要求存在较大的差距，考生如何弥补这一差距，并快速与国家考试要求接轨，是考生成功的关键，同时也是一个实际性困难。

《智轩考研数学红宝书》正是针对解决这一困难，参照教育部硕士研究生入学考试大纲2008和历年国题及其数十名著名考研辅导专家的资料和经验，经过反复研究和提炼精心打造、独具匠心编纂而成，旨在为莘莘考研学子架设一座成功的桥梁。

本书特别强调数学“三基”的全面训练，即基本概念与定义，基本性质与定理，基本运算与结论的夯实与正确拓展，然后全面分析22年来的四类国题，分析其命题历年之间的重复规律，进而研究目前尚未考到的知识点中可能出现的题型及其有哪些交叉知识点综合的题型。

作者深入而细致研究了教育部历年来主要知名考研命题专家的资料、风格及其校题，现已连续辅导了六届数学考研，积累了独特而卓有成效的经验，2007年辅导的学员参加2008年数学考研，平均成绩达到106分。

作者的辅导思路是：

1．首先严格按照考研数学大纲知识点全面抓三基，对教材的三基内容全面延伸，根据大纲的要求，恰当好处地拓宽拓深其外延与内涵，尤其是可能存在的死角与陷阱，帮助读者归纳总结。

2．全面研究了22年来（1987--2008）四类考研的国题和各校自主命题的数学ab或甲乙的真题，全方位揭密了考试范围、要求、难度、题型、题频及其解题方法和技巧。

3．广泛研究了国家命题组、大纲制定组和阅卷组40多位主要考研数学辅导资深专家（如蔡子华、潘鑫、单立波、铁军、李永乐、叶盛标、陈文灯、赵达夫、蔡燧林、胡金德、张天德、龚冬保、汪诚义、范培华、严守权、刘坤林、谭泽光、俞正光、葛余博、徐兵、王式安、余术、韩云端、曹显兵、黄先开、费允杰、尤承业、李昂、刘西恒、武忠祥、姚孟臣、龚兆仁、陈殿友、胡显佑、陈光曙、于长千、李大华、吴晓平等38位专家）的考研分析、复习方法和他们出版的有关考研数学的资料共计100余种，尤其是题型，然后提炼为自己题型例题和题型习题，自成特色体系，奉献给读者。

希望读者不遗余力重复三次地研究、记忆、理解、练习和总结。

3．对各知识点的应用进行了独家解题方法和技巧总结，以“陈氏10技”奉献给读者。

508

本套书分三部分，本书为第三部分的概率论与数理统计（共八大知识点），以浙江大学盛骤主编的第三版《概率论与数理统计》为基础教材，包括：

随机事件和概率；随机变量及其分布；多维随机变量及其分布；随机变量的数字特征；大数定律和中心极限定理；数理统计的基本概念；参数估计；假设检验等八大知识点。

由于在大纲范围内整个数学体系所考知识点共有22个，所以一般考研数学题量在23道左右。

从2003-2008年的试题来看，国家4类试题共用题目比例随年有大幅度提高，尤其是线性代数和概率论与数理统计近两年所考题目几乎完全相同，在各自的考试大纲范围内难度总体上趋于基本一致。

经济类命题连续几年并无任何经济特色的题目，也没有像早几年试卷那样的物理问题应用题出现。

而且，同一个考点，会在数学一、二、三、四试卷中按年份轮换出现。

高数甲乙或ab的理科类试卷也竭力模仿国家四类特点命题。

因此，本书提供的三基与拓展、例题与技巧、练习与模拟，都同时适应各类考生。

往年使用本书的考生成绩证实：

严格按此套资料复习三遍，确保取得理想成绩。

五星级提示：

在正式考试之前一星期内必须把本书的重要结论全面复习一遍！

！

书中难免存在不足，敬请批评指正。

陈秋成

2009年5月

509

第一篇概率论【数学1，3，4】

第一章随机事件和概率

考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验

考试要求

1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（bayes）公式。

3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。

f（x）?

p{x?

x}（?

）

考研数学体系的关系分为三类：

确定关系（函数）、逻辑关系（文氏）和不确定关系（概率）。

由于学子们以前学到的数学体系大多都是具有确定关系的函数研究，所以对概率论的备考在思维上比较难于转变，从而造成学习上的许多迷茫，本书的构架正是为解决这一困难而设计。

对抽象概念使用了生活化实例辅佐理解和掌握；对考纲的全部知识点阐述了系统的理论及其交叉融合；开辟了原创性技巧，例举了先进的系统题型，提供了独家解法秘诀。

一、三基与拓展

1.1随机现象

510

在个别试验中其结果没有规律，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。

比如：

每个人的着装爱好，当你只看到他或她穿1-2次衣服，不能找到其服装特点，但如果你观察其45次以上，就可以判断其喜欢穿何种颜色和款式的服装。

在数学领域中，有三类性质的量关系，一是确定性关系，采用函数关系描述；二是逻辑关系，采用布尔代数或文氏图描述；三是不确定关系，采用概率与统计描述。

1.2随机实验

对随机现象加以研究所进行的观察或试验，它具有以下三个特点：

（1）可以在相同条件下地重复地进行；

（2）事先可以知道试验所有可能出现的结果；

（3）但不可预测每次试验出现的是哪一个具体结果。

【例1】掷一颗骰子，它可能出现的所有可能的全部点数为1，2，3，4，5，6，我们只知道必有一个数字出现，但不能预测一定出现哪个数字。

1.3事件（随机事件）

1.3.1事件的概念

随机试验e的所有可能的结果组成的集合称为e的样本空间，记为s。

e中的每一结果，称为集合中的一个元素，也称为一个样本点。

样本空间s的任意子集称为e的随机事件，简称事件。

每一样本点称为基本事件。

如【例1】中，样本空间s?

1,2,3,4,5,6?

；1，2，3，4，5，6都是样本点；s?

1,2,3?

是事件，a?

等为基本事件。

在每次试验中，当且仅当某一子集中的一个样本点出现，就称对应该子集的事件发生；s是自身的子集，称为必然事件；?

不包含任何样本点，称为空集，又称为不可能事件。

1.3.2事件的8个文氏关系

事件既然是集合，因此，完全遵循集合的运算法则。

①包含：

b，a事件发生必导致b事件发生。

②相等：

b，a?

b且b?

a。

③和（并）：

b，a和b至少有一事件发生。

④互补：

，a?

，称为互逆或对立事件。

⑤差：

ab，称为差事件，a发生，而b不发生。

注意：

集合b可能比a大，只减去b与a相同的子集元素。

511

⑥积（交）：

ab，a和b同时发生。

⑦互斥：

，称为互斥或不相容事件。

⑧独立：

ab?

，称为事件a,b独立。

1.3.3常用的8大重要结论（画文氏图理解）

称为差积转换公式

⑧

注意：

符号?

，例如：

b，符号?

，例如：

ab?

a。

文氏图的画法：

用平面矩形区域表示样本?

，矩形内的点表示样本点（基本事件），圆a与圆b等表示相应的事件发生。

1.3.4频率

在相同条件下，进行了n次试验，若随机事件a在n次试验中发生了k次，则称fn?

事件a发生的频率。

k为n

1.4排列与组合

1.4.1加法原理与乘法原理

加法原理：

完成一件事，有n种方法，每一种方法有mn种选择，则完成这件事共有n种方法。

m1?

m2?

乘法原理：

完成一件事，有n个步骤，每个步骤方法有mn种方法，则完成这件事共有n种512

【篇二：

浅谈高中数学中的概率论知识】

txt>徐荷花澜沧一中

摘要：

概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支.在高中数学中,粗浅的介绍了概率论与数理统计的基本知识,但同学们仍然对概率论的整体图景没有一个清晰的认识.本文通过对概率论基本概念的介绍,引入两大概型,并浅略的介绍一下monte-carlo方法和bertrand奇论.

关键词：

概率论;古典概型;几何概型;monte-carlo方法;bertrand奇论;

abriefintroductiontotheprobabilitytheoryofmathematical

teachinginhighschool

abstract:

theprobabilitytheoryisabranchofmathematicswhichaimstostudythelawsofrandomphenomena.inhighschool,studentshavelearnthowtosolvesimpleprobabilityproblems,buttheystilldonothaveaclearunderstandingtotheprobabilitytheory.inthisarticle,wewillintroducethebasicconceptsoftheprobabilitytheory;advancetheclassicalprobabilitymodelsandgeometricalprobabilitymodels.eventually,wewillgiveabriefintroductiontomonte-carlomethodandbertrandparadox.

keywords:

theprobabilitytheory;classicalprobabilitymodels;geometricalprobabilitymodels;monte-carlomethod;bertrandparadox;

一、引言

二、概率论研究的对象和任务

一类现象,在个别实验或观测中呈现出不确定性,在大量重复实验或观测时,又具有统计规律性,我们称它是随机现象.随机现象中事件发生的可能性大小是客观存在的,因此可以对他进行量度.量度的数量指标就是概率.

三、事件与概率

一个试验,如果在一定条件下可重复,试验结果不止一个,并且每次试验时,我们不能肯定是哪一个结果出现,这样的试验称为随机试验.随机试验里最基本的不能在分解的结果叫做基本事件.由若干个基本结果组合而成的集合,我们称之为复合事件.基本事件和符合

事件,泛称事件.

利用集合论的概念,我们定义如下：

且有以下定理：

⑴?

∈?

⑵若ai∈?

i=1,2,…n,则ni=1ai∈?

⑷如至多可列个ai∈?

i=1,2,…n,则至多可列次的交集iai∈?

⑶如a,b∈?

则a?

a∩∈?

对以上定理我们不加证明,有兴趣的读者可以自行阅读相关书籍.

四、概率的定义

⑶可列可加性：

若ai∈?

i=1,2,…,且两两不相交,即aiaj=?

i≠j,便有

∞

p∞i=1ai=i=1pai则称p为定义在?

上的概率.称p（a）是事件a的概率.

对于概率的性质,我们有以下定理：

⑴p?

⑵有限可加性：

若ai∈?

i=1,2,…,n,且两两不相交,则pni=1ai=i=1pai⑶设a∈?

则p=1?

p（a）

⑷单调性：

如果a?

b,则p（a）≤p（b）

⑸连续性：

设ai∈?

单调,即ai?

ai+1或即ai?

ai+1,i=1,2,…,此时分别定义

∞

limn→∞an=∞n=1an或limn→∞an=n=1an,则plimn→∞an=limp（an）

n→∞

五、两大概型

1.古典概型

基本事件个数有限且等可能的概率模型,称之为古典概型.

na个样本点,则pa=

nan

pa=

两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布与超几何分布都是古典概型.

2.几何概型

古典概型,其基本事件有限且等可能.而几何概型则基本事件无限,且“等可能”.为了说明这一点,我们首先引出l-可测的概念.

l-可测：

一个区域或集合,若其n维体积可测,则称其为n维lebesgue可测,记为l-可测.

有了l-可测,我们如下定义几何概型.

3.monte-carlo方法

（buffon问题）平面上画有一族平行线,相邻两针相距为a.从上方足够高度处向此处投一长为l（a）的针.求此针与平行线相交的概率p.

从而针与平行线相交的概率

注意到频率的稳定性,如果投针次数为n,相交次数为n（≤n）,则当n足够大时,

2l2lnan

也就是说，只要合理的选定a和l（a）.并耐心的做这种投针试验足够多次,就能够以相

18551860188419011925

3204600103034082520

3.15333.1373.15953.14159293.1795

像这样,设计一个简单的试验,用概率统计的方法去求一个复杂问题的近似解,这就是著名的monte-carlo方法.

4.bertrand奇论问题:

在单位圆内随机的取一条弦,求其长超过该圆内接等边三角形边长的概率p.

这个几何概率问题,基于对术语“随机的”含义的不同解释,存在多种不同的答案.解i任何弦交圆周两点,不失一般性,先固定其中一定a于圆周上,以此点为顶点做一等边三角形.显然只有落入此三角形内的弦才满足要求,这种弦的另一端b跑过的弧长为整个圆周的1/3,故所求概率等于1/3.

解ii弦长只与它与圆心的距离相关,而与方向无关,因此可以假定它垂直于某一直径,且当且仅当它与圆心的距离小于1/2时,其长才大于,因此所求的概率为1/2.解iii弦被其中点唯一确定.当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时,弦长大于此小圆面积为大圆面积的1/4,故所求概率为1/4.

参考文献：

[1]葛余博.概率论与数理统计.北京:

清华大学出版社,2005年

[2]王晓峰等.概率论与数理统计教程.北京:

高等教育出版社,2007年

183~195

[4]degrootmh.probability.andssonandweiley.1975

【篇三：

2009考研数学真题数一及解析】

>一、选择题：

1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当x→0时，

f（）=x?

sin

ax与（）=（?

bx）等价无穷小，则（）

xln1

.（b）a=1,b=

（c）a=?

1,b6.6.=（d）a=?

1,b=

（a）a=1,b=

【解析与点评】考点：

无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见木艾迪考研数学春季基

化299》16、17等例题。

【答案】a

sinax?

aaxasinax

lim=lim=lim=lim

1cos

0xln（1?

bx）0x?

bx2?

x→x→x→0（）x→036asinaxa=lim

x→06b

axa

a=?

6b意味选项b，c错误。

aax=?

→0（x→0），a=，d错误，所以选a。

1故再由

其对角线划分为四个区域（dk

-1

max{}

＝（

）

dd1

≤1k≤4

-1

（a）i1（b）i2（c）i3（d）i4

【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称

性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季

地址：

清华同方科技广场b座609室

2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：

62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民

班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化299》117题，以及《考研数学三十六技》例18-4。

d,d关于x轴对称，而?

ycosx即被积函数是关于y的奇函数，所以

;

ycos（）cos即被积函数是关于x的

两区域关于y轴对称，x=yxd,d

i=i=0

∫∫

偶函数，由积分的保号性，1

，i=2

ycosxdxdy03

∫∫y

xdxdycos0

{（）,yy≥x,0≤x≤1}{（）,yy≤?

x,0≤x≤1}

所以正确答案为a。

（）

x（）

为

-10123-20123

-1

（d）

【解析与点评】考点：

函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。

由y=f（）的图形可见，其图像与x

轴及y轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数f（），由于f（x）有第一类间断点，f（）

只能为连续函数，不可导。

地址：

清华同方科技广场b座609室

2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：

62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民

x∈（?

1,0）时，f（x）0且为常数，应有f（）单调递增且为直线函数。

且单调递减。

x∈（0,1）时，f（x）0，f（）x∈（1,2）时，f（x）0，f（）单调递

≤0,

增。

x∈（2,3）时，f（x）=0，f（）为常值函数。

正确选项为d。

【答案】d。

（4）设有两个数列{}{}ann若liman=0则（

∞

n→∞

）

∞

∑

∞

∑

∞

（a）当n=1nn=1anbn收敛。

（b）当

发散时，∑ab发散。

n=1n=1

（c）当

b收敛时，∑∞

n=1

∑

n=1

（d）当

∑b发散时，∑

∞

n=1

∞n=1

abn

以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。

）

∑b收敛，则limb

=0，又

n→∞n

nn时b

lima

n=1

n→∞n

，必存在，使当

且a2（极限的有界性！

），a2bnb，立即由正项级数的直接比较法得到：

当

∑b收敛时，

收敛。

应选c。

∑

∞n=1

n=1

参见水木艾迪春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义-----微积分》（清华大学出版社）自测模拟题15.3，例15.4。

（）

an=n取

nbn=取

。

==1

（方法2）反例：

对a取ab

11aaar

a,（5）设a,2a是3维向量空间的一组基，则由1,22,33到基

基

a+a,a+a,a+a的过渡矩阵为（

1）

141?

121

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